高級中學精品試卷PAGEPAGE1湖北省武漢市2023屆高三下學期四月調研數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得，，則，故選：C．2.若復數是純虛數，則實數（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，則，有.故選：A3.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗.故選：D.4.正六邊形ABCDEF中，用和表示，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設邊長為2，如圖，設交于點，有，，則，故選：B.5.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，1852年英國來華傳教士偉烈亞力將《孫子算經》中“物不知數”問題的解法傳至歐洲.1874年英國數學家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”，“中國剩余定理”講的是一個關于同余的問題．現有這樣一個問題：將正整數中能被3除余1且被2除余1的數按由小到大的順序排成一列，構成數列，則（）A.55 B.49 C.43 D.37〖答案〗A〖解析〗正整數中既能被3除余1且被2除余1的數，即被6除余1，那么，有.故選：A6.設拋物線的焦點為F，準線為l，P是拋物線上位于第一象限內的一點，過P作l的垂線，垂足為Q，若直線QF的傾斜角為，則（）A3 B.6 C.9 D.12〖答案〗B〖解析〗依題意，，，，又，，則為等邊三角形，有，故選：B.7.閱讀下段文字：“已知為無理數，若為有理數，則存在無理數，使得為有理數；若為無理數，則取無理數，，此時為有理數．”依據這段文字可以證明的結論是（）A.是有理數 B.是無理數C.存在無理數a，b，使得為有理數 D.對任意無理數a，b，都有為無理數〖答案〗C〖解析〗這段文字中，沒有證明是有理數條件，也沒有證明是無理數的條件，AB錯誤；這段文字的兩句話中，都說明了結論“存在無理數a，b，使得為有理數”，因此這段文字可以證明此結論，C正確；這段文字中只提及存在無理數a，b，不涉及對任意無理數a，b，都成立的問題，D錯誤.故選：C8.已知直線與函數的圖象恰有兩個切點，設滿足條件的所有可能取值中最大的兩個值分別為和，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗對于任意，，，的范圍恒定，只需考慮的情況，設對應的切點為，，，設對應的切點為，，，，，，只需考慮，，其中的情況，則，，其中，；又，，，；令，則，在上單調遞增，又，，又，，；令，則，令，則，在上單調遞增，，即，在上單調遞減，，，；綜上所述：.故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.某市2022年經過招商引資后，經濟收入較前一年增加了一倍，實現翻番，為更好地了解該市的經濟收入的變化情況，統計了該市招商引資前后的年經濟收入構成比例，得到如下扇形圖：則下列結論中正確的是（）A招商引資后，工資性收入較前一年增加B.招商引資后，轉移凈收入是前一年的1.25倍C.招商引資后，轉移凈收入與財產凈收入的總和超過了該年經濟收入的D.招商引資后，經營凈收入較前一年增加了一倍〖答案〗AD〖解析〗設招商引資前經濟收入為，而招商引資后經濟收入為，則對于A，招商引資前工資性收入為，而招商引資后的工資性收入為，所以工資性收入增加了，故A正確；對于B，招商引資前轉移凈收入為，招商引資后轉移凈收入為，所以招商引資后，轉移凈收入是前一年的倍，故B錯誤；對于C，招商引資后，轉移凈收入與財產凈收入的總和為，所以招商引資后，轉移凈收入與財產凈收入的總和低于該年經濟收入的，故C錯誤；對于D，招商引資前經營凈收入為，招商引資后轉移凈收入為，所以招商引資后，經營凈收入較前一年增加了一倍，故D正確.故選：AD.10.橢圓的一個焦點和一個頂點在圓上，則該橢圓的離心率的可能取值有（）A. B. C. D.〖答案〗BCD〖解析〗，圓與軸的交點坐標為或，與軸的交點為，而橢圓的焦點在軸，當焦點是，右頂點，此時，離心率，當焦點是，上頂點，此時，那么，離心率，當焦點是，上頂點，此時，那么，離心率故選：BCD.11.函數的圖像可能是（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗，當時,,A選項正確；，，,時,有兩個根,且時,根據極值點判斷，故C選項正確,D選項錯誤；當時,有兩個根,且此時,故B選項正確.故選：ABC．12.三棱錐中，，，，直線PA與平面ABC所成的角為，直線PB與平面ABC所成的角為，則下列說法中正確的有（）A.三棱錐體積的最小值為B.三棱錐體積的最大值為C.直線PC與平面ABC所成的角取到最小值時，二面角的平面角為銳角D.直線PC與平面ABC所成的角取到最小值時，二面角的平面角為鈍角〖答案〗ACD〖解析〗如圖（1）所示，作平面，連接，因為直線PA與平面ABC所成的角為，直線PB與平面ABC所成的角為，所以，即所以，即，以所在的直線為軸，以的垂直平分線為軸，建立如圖（2）平面直角坐標系，設，，，則，整理得，可得圓心，半徑，設點圓與軸的交點分別為，可得，因為，所以又由且，所以，則，，所以A正確，B錯誤；因為，可設，設與平面所成角為，且，可得，且，又由，令，根據斜率的結合意義，可得表示圓與定點連線的斜率，又由與圓相切時，可得，解得或，即，當時，此時取得最小值，即最小時，此時H在外部，如圖（3）所示，此時二面角的平面角為銳角，的平面角為鈍角，所以C、D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.的展開式中含項的系數為______．〖答案〗〖解析〗的通項公式為，所以的展開式中含項為，所以展開式中含項的系數為．故〖答案〗為：.14.半正多面體亦稱“阿基米德體”，是以邊數不全相同的正多邊形為面的多面體．如圖，將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，如此共可截去八個三棱錐，得到一個有十四個面的半正多面體，它的各棱長都相等，其中八個面為正三角形，六個面為正方形，稱這樣的半正多面體為二十四等邊體．則得到的二十四等邊體與原正方體的體積之比為______．〖答案〗〖解析〗設棱長為2，則所以原正方體的體積為，所以二十四等邊體為，所以二十四等邊體與原正方體的體積之比為．故〖答案〗為：.15.直線：和：與x軸圍成的三角形是等腰三角形，寫出滿足條件的k的兩個可能取值：______和______．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗令直線的傾斜角分別為，則，當圍成的等腰三角形底邊在x軸上時，，；當圍成的等腰三角形底邊在直線上時，，，，整理得，而，解得；當圍成的等腰三角形底邊在直線上時，，，所以k的兩個可能取值，.故〖答案〗為：；16.在同一平面直角坐標系中，P，Q分別是函數和圖象上的動點，若對任意，有恒成立，則實數m的最大值為______．〖答案〗〖解析〗，令，，則當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，故在處取得極小值，也是最小值，故，故，當且僅當時，等號成立，令，，則，令，則在上恒成立，故在上單調遞增，又，故當時，，當時，，故時，，單調遞減，當時，，單調遞增，故在處取得極小值，也時最小值，最小值為，設，由基本不等式得，，當且僅當，，時，等號成立，故，則．故〖答案〗為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.記數列的前n項和為，對任意，有．（1）證明：是等差數列；（2）若當且僅當時，取得最大值，求的取值范圍．（1）證明：因為①，則②①－②可得，故為等差數列．（2）解：若當且僅當時，取得最大值，則有,得則，，故的取值范圍為．18.設的內角A，B，C所對的邊分別為，，，且有．（1）求角A；（2）若BC邊上的高，求．解：（1）（1）由題意得：，則，有，即，因為所以．（2）由，則，所以，有，則，又，則．19.如圖，在邊長為4的正三角形ABC中，E，F分別為邊AB，AC的中點．將沿EF翻折至，得到四棱錐，P為的中點．（1）證明：平面；（2）若平面平面EFCB，求直線與平面BFP所成的角的正弦值．（1）證明：取的中點Q，連接,則有，且，又，且，故，且，則四邊形EFPQ為平行四邊形，則，又平面，平面，故平面．（2）解：取EF中點O，BC中點G，由平面平面EFCB，且交線為EF，故平面EFCB，此時，兩兩垂直，以O為原點，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則可得，，，，由P為中點，故，則，，，設平面BFP的法向量，則，即，故取，故所求角的正弦值為，所以直線與平面BFP所成的角的正弦值為．20.中學階段，數學中的“對稱性”不僅體現在平面幾何、立體幾何、〖解析〗幾何和函數圖象中，還體現在概率問題中．例如，甲乙兩人進行比賽，若甲每場比賽獲勝概率均為，且每場比賽結果相互獨立，則由對稱性可知，在5場比賽后，甲獲勝次數不低于3場的概率為．現甲乙兩人分別進行獨立重復試驗，每人拋擲一枚質地均勻的硬幣．（1）若兩人各拋擲3次，求拋擲結果中甲正面朝上次數大于乙正面朝上次數的概率；（2）若甲拋擲次，乙拋擲n次，，求拋擲結果中甲正面朝上次數大于乙正面朝上次數的概率．解：（1）設甲正面朝上次數等于乙正面朝上次數的概率，，由對稱性可知則甲正面朝上次數大于乙正面朝上次數的概率和甲正面朝上次數小于乙正面朝上次數的概率相等，故；（2）可以先考慮甲乙各拋賽n次的情形，①如果出現甲正面朝上次數等于乙正面朝上次數，將該情形概率設為，則第次甲必須再拋擲出證明朝上，才能使得最終甲正面朝上次數大于乙正面朝上次數；②如果出現甲正面朝上次數小于乙正面朝上次數，則第次無論結果如何，甲正面朝上次數仍然不大于乙正面朝上次數，將該情形概率設為；③如果出現甲正面朝上次數大于乙正面朝上次數，則第次無論結果如何，甲正面朝上次數仍然大于乙正面朝上次數，將該情形概率設為，由對稱性可知，故，而由，可得．21.過點的動直線與雙曲線交于兩點，當與軸平行時，，當與軸平行時，．（1）求雙曲線的標準方程；（2）點是直線上一定點，設直線的斜率分別為，若為定值，求點的坐標．解：（1）由題意可知：雙曲線過點，，將其代入方程可得：，解得：，雙曲線的標準方程為：.（2）方法一：設，點與三點共線，，（其中，），，，又，整理可得：，當時，，，不合題意；當時，由得：，設，則，，若為定值，則根據約分可得：且，解得：；當時，，此時；當時，為定值.方法二：設，直線，由得：，為方程的兩根，，則，由得：，由可得：，同理可得：，則，若為定值，則必有，解得：或或，又點在直線上，點坐標為；當直線斜率為時，坐標為，若，此時；當直線斜率不存在時，坐標為，若，此時；綜上所述：當時，為定值.22.已知函數，其中．（1）證明：恒有唯一零點；（2）記（1）中的零點為，當時，證明：圖像上存在關于點對稱的兩點．（1）證明：，又，令，則，遞增，令，則，遞減，而時，，時，有，，可得恒有唯一零點．（2）解：因為，故，要證圖像上存在關于點對稱的兩點，即證方程有解；，令，，令，則，令，當時，，則，遞增，當時，，則，遞減，故，因為，故，又時，，時，，故先負后正再負，則先減再增再減，又，且時，，時，，故先正后負再正再負，則先增再減再增再減，又時，，時，，而，故在區間存在兩個零點，則原題得證！湖北省武漢市2023屆高三下學期四月調研數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得，，則，故選：C．2.若復數是純虛數，則實數（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，則，有.故選：A3.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗.故選：D.4.正六邊形ABCDEF中，用和表示，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設邊長為2，如圖，設交于點，有，，則，故選：B.5.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，1852年英國來華傳教士偉烈亞力將《孫子算經》中“物不知數”問題的解法傳至歐洲.1874年英國數學家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”，“中國剩余定理”講的是一個關于同余的問題．現有這樣一個問題：將正整數中能被3除余1且被2除余1的數按由小到大的順序排成一列，構成數列，則（）A.55 B.49 C.43 D.37〖答案〗A〖解析〗正整數中既能被3除余1且被2除余1的數，即被6除余1，那么，有.故選：A6.設拋物線的焦點為F，準線為l，P是拋物線上位于第一象限內的一點，過P作l的垂線，垂足為Q，若直線QF的傾斜角為，則（）A3 B.6 C.9 D.12〖答案〗B〖解析〗依題意，，，，又，，則為等邊三角形，有，故選：B.7.閱讀下段文字：“已知為無理數，若為有理數，則存在無理數，使得為有理數；若為無理數，則取無理數，，此時為有理數．”依據這段文字可以證明的結論是（）A.是有理數 B.是無理數C.存在無理數a，b，使得為有理數 D.對任意無理數a，b，都有為無理數〖答案〗C〖解析〗這段文字中，沒有證明是有理數條件，也沒有證明是無理數的條件，AB錯誤；這段文字的兩句話中，都說明了結論“存在無理數a，b，使得為有理數”，因此這段文字可以證明此結論，C正確；這段文字中只提及存在無理數a，b，不涉及對任意無理數a，b，都成立的問題，D錯誤.故選：C8.已知直線與函數的圖象恰有兩個切點，設滿足條件的所有可能取值中最大的兩個值分別為和，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗對于任意，，，的范圍恒定，只需考慮的情況，設對應的切點為，，，設對應的切點為，，，，，，只需考慮，，其中的情況，則，，其中，；又，，，；令，則，在上單調遞增，又，，又，，；令，則，令，則，在上單調遞增，，即，在上單調遞減，，，；綜上所述：.故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.某市2022年經過招商引資后，經濟收入較前一年增加了一倍，實現翻番，為更好地了解該市的經濟收入的變化情況，統計了該市招商引資前后的年經濟收入構成比例，得到如下扇形圖：則下列結論中正確的是（）A招商引資后，工資性收入較前一年增加B.招商引資后，轉移凈收入是前一年的1.25倍C.招商引資后，轉移凈收入與財產凈收入的總和超過了該年經濟收入的D.招商引資后，經營凈收入較前一年增加了一倍〖答案〗AD〖解析〗設招商引資前經濟收入為，而招商引資后經濟收入為，則對于A，招商引資前工資性收入為，而招商引資后的工資性收入為，所以工資性收入增加了，故A正確；對于B，招商引資前轉移凈收入為，招商引資后轉移凈收入為，所以招商引資后，轉移凈收入是前一年的倍，故B錯誤；對于C，招商引資后，轉移凈收入與財產凈收入的總和為，所以招商引資后，轉移凈收入與財產凈收入的總和低于該年經濟收入的，故C錯誤；對于D，招商引資前經營凈收入為，招商引資后轉移凈收入為，所以招商引資后，經營凈收入較前一年增加了一倍，故D正確.故選：AD.10.橢圓的一個焦點和一個頂點在圓上，則該橢圓的離心率的可能取值有（）A. B. C. D.〖答案〗BCD〖解析〗，圓與軸的交點坐標為或，與軸的交點為，而橢圓的焦點在軸，當焦點是，右頂點，此時，離心率，當焦點是，上頂點，此時，那么，離心率，當焦點是，上頂點，此時，那么，離心率故選：BCD.11.函數的圖像可能是（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗，當時,,A選項正確；，，,時,有兩個根,且時,根據極值點判斷，故C選項正確,D選項錯誤；當時,有兩個根,且此時,故B選項正確.故選：ABC．12.三棱錐中，，，，直線PA與平面ABC所成的角為，直線PB與平面ABC所成的角為，則下列說法中正確的有（）A.三棱錐體積的最小值為B.三棱錐體積的最大值為C.直線PC與平面ABC所成的角取到最小值時，二面角的平面角為銳角D.直線PC與平面ABC所成的角取到最小值時，二面角的平面角為鈍角〖答案〗ACD〖解析〗如圖（1）所示，作平面，連接，因為直線PA與平面ABC所成的角為，直線PB與平面ABC所成的角為，所以，即所以，即，以所在的直線為軸，以的垂直平分線為軸，建立如圖（2）平面直角坐標系，設，，，則，整理得，可得圓心，半徑，設點圓與軸的交點分別為，可得，因為，所以又由且，所以，則，，所以A正確，B錯誤；因為，可設，設與平面所成角為，且，可得，且，又由，令，根據斜率的結合意義，可得表示圓與定點連線的斜率，又由與圓相切時，可得，解得或，即，當時，此時取得最小值，即最小時，此時H在外部，如圖（3）所示，此時二面角的平面角為銳角，的平面角為鈍角，所以C、D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.的展開式中含項的系數為______．〖答案〗〖解析〗的通項公式為，所以的展開式中含項為，所以展開式中含項的系數為．故〖答案〗為：.14.半正多面體亦稱“阿基米德體”，是以邊數不全相同的正多邊形為面的多面體．如圖，將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，如此共可截去八個三棱錐，得到一個有十四個面的半正多面體，它的各棱長都相等，其中八個面為正三角形，六個面為正方形，稱這樣的半正多面體為二十四等邊體．則得到的二十四等邊體與原正方體的體積之比為______．〖答案〗〖解析〗設棱長為2，則所以原正方體的體積為，所以二十四等邊體為，所以二十四等邊體與原正方體的體積之比為．故〖答案〗為：.15.直線：和：與x軸圍成的三角形是等腰三角形，寫出滿足條件的k的兩個可能取值：______和______．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗令直線的傾斜角分別為，則，當圍成的等腰三角形底邊在x軸上時，，；當圍成的等腰三角形底邊在直線上時，，，，整理得，而，解得；當圍成的等腰三角形底邊在直線上時，，，所以k的兩個可能取值，.故〖答案〗為：；16.在同一平面直角坐標系中，P，Q分別是函數和圖象上的動點，若對任意，有恒成立，則實數m的最大值為______．〖答案〗〖解析〗，令，，則當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，故在處取得極小值，也是最小值，故，故，當且僅當時，等號成立，令，，則，令，則在上恒成立，故在上單調遞增，又，故當時，，當時，，故時，，單調遞減，當時，，單調遞增，故在處取得極小值，也時最小值，最小值為，設，由基本不等式得，，當且僅當，，時，等號成立，故，則．故〖答案〗為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.記數列的前n項和為，對任意，有．（1）證明：是等差數列；（2）若當且僅當時，取得最大值，求的取值范圍．（1）證明：因為①，則②①－②可得，故為等差數列．（2）解：若當且僅當時，取得最大值，則有,得則，，故的取值范圍為．18.設的內角A，B，C所對的邊分別為，，，且有．（1）求角A；（2）若BC邊上的高，求．解：（1）（1）由題意得：，則，有，即，因為所以．（2）由，則，所以，有，則，又，則．19.如圖，在邊長為4的正三角形ABC中，E，F分別為邊AB，AC的中點．將沿EF翻折至，得到四棱錐，P為的中點．（1）證明：平面；（2）若平面平面EFCB，求直線與平面BFP所成的角的正弦值．（1）證明：取的中點Q，連接,則有，且，又，且，故，且，則四邊形EFPQ為平行四邊形，則，又平面，平面，故平面．（2）解：取EF中點O，BC中點G，由平面平面EFCB，且交線為EF，故平面EFCB，此時，兩兩垂直，以O為原點，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則可得，，，，由P為中點，故，則，，，設平面BFP的法向量，則，即，故取，故所求角的正弦值為，所以直線與平面BFP所成的角的正弦值為．20.中學階段，數學中的“對稱性”不僅體現在平面幾何、立體幾何、〖解析〗幾何和函數圖象中，還體現在概率問題中．例如，甲乙兩人進行比賽，若甲每場比賽獲勝概率均為，且每場比賽結果相互獨立，則由對稱性可知，在5場比賽后，甲獲勝次數不低于3場的概率為．現甲乙兩人分別進行獨立重復試驗，