高中數學選修2-3《2.3離散型隨機變量的均值與方差》測試卷

解析版

一.解答題(共50小題)

1.某校高一年級模仿《中國詩詞大會》節目舉辦學校詩詞大會，進入正賽的條件為：電腦

隨機抽取10首古詩，參賽者能夠正確背誦6首及以上的進入正賽.若學生甲參賽，他背

誦每一首古詩的正確的概率均為上.

2

(1)求甲進入正賽的概率；

(2)若進入正賽，則采用積分淘汰制，規則是：電腦隨機抽取4首古詩，每首古詩背誦

正確加2分，錯誤減1分.由于難度增加，甲背誦每首古詩正確的概率為2,求甲在正

5

賽中積分X的概率分布列及數學期望.

【分析】(1)甲進入正賽，即甲答對的題目數為6,7,8,9或者10道，分別根據二項

分布的相關公式計算概率相加即可；

(2)列出正賽中X的所有可能的取值，分別計算概率，列出分布列計算期望即可.

【解答】解：(1)甲進入正賽的概率為P=

1010

C?oX(1)+c]0(1)叫C；oX(1)+c?0X4叫叫X吊1。=/嚴

(「6+r7+p8+p9+p10)=J.

L10L10u10u10L10512

所以甲進入正賽的概率為期；

512

(2)甲的積分X的可能的取值為8分，5分，2分，-1分，-4分，

4

則P(X=8)=rV心)4=16,p(x=5)=「3心)33=_52，p(X=2)=

F15，6251八5)5625

。涌)2/)2=黑，

P(X=-1)=c：xN祗)」謹,P(X=-4)=c：X隹)4=裝，

所以X的概率分布列為：

X852-1-4

P1696216216811

625625625625625

所以E(X)=8X16+5X-92+2X212-216-4*一雙=生

6256256256256255

第1頁共54頁

所以甲在正賽中積分X的數學期望為匹.

5

【點評】本題考查了離散型隨機變量的分布列與數學期望的計算問題，考查分析和解決

問題的能力，是中檔題.

2.現有一款智能學習APP,學習內容包含文章學習和視頻學習兩類，且這兩類學習互不影

響.已知該APP積分規則如下：每閱讀一篇文章積1分，每日上限積5分；觀看視頻累

計3分鐘積2分，每日上限積6分.經過抽樣統計發現，文章學習積分的概率分布表如

表1所示，視頻學習積分的概率分布表如表2所示.

表1

文章學習積分12345

概率工2工工

g?-90

表2

視頻學習積分246

概率_1

-3

（1）現隨機抽取1人了解學習情況，求其每日學習積分不低于9分的概率；

（2）現隨機抽取3人了解學習情況，設積分不低于9分的人數為"求E的概率分布及

數學期望.

【分析】（1）直接利用已知條件求出概率.

所以概率吟吟得吟卷方《

所以每日學習積分不低于（9分）的概率為至，

9

（2）由題意可知，隨機變量§的所有可能取值為0,1,2,3.

由（1）知每個人積分不低于（9分）的概率為5.

9

第2頁共54頁

則p（E=o）=*）3=_^；

p（曰）=4盧）.《）2=四=里;

3^9）%，729243

P（H）=C鴻）峙嗡嗡;

i=3）借尸子爵

所以，隨機變量S的概率分布列為

0123

P6480100125

729243243729

64

所以E（S）=o?.+1,241300125^5

7297297297293

所以，隨機變量W的數學期望為”.

3

【點評】本題考查的知識要點：概率的應用，數學期望的應用，主要考查學生的運算能

力和轉換能力及分類討論思想的應用，屬于基礎題型.

3.一個盒子中裝有大小相同的2個白球、3個紅球，現從中先后有放回地任取球兩次，每

次取一個球，看完后放回盒中.

（1）求兩次取得的球顏色相同的概率;

（2）若在2個白球上都標上數字1,3個紅球上都標上數字2,記兩次取得的球上數字之

和為X,求X的概率分布列與數學期望E（X）.

【分析】（1）每次取得白球的概率為2,取得紅球的概率為3,根據相互獨立事件的積

55

事件的概率乘法公式求解即可；

（2）隨機變量X的所有可能的取值分別為2,3,4,分別求出對應的概率，列出分布列

求期望即可.

【解答】解：（1）依題意，每次取球，取得紅球的概率為3,取得白球的概率為2,

55

所以兩次取得的球顏色相同的概率尸=2x-+-x-=—：

555525

（2）根據題意，隨機變量X的所有可能的求值分別為2,3,4,

且尸（x=2）=2><2=_￡,p（x=3）=「1x2x3=21,p（x=4）=3'旦=

55252552555

9

25

第3頁共54頁

所以隨機變量X的分布列為:

X234

P4129

252525

所以E(X)=2X-L+3X￡+3X_L=3.

252525

【點評】本題考查了古典概型的概率，離散型隨機變量的概率分布列，主要考查分析解

決問題的能力和計算能力，屬于中檔題.

4.2020年6月，第十六屆歐洲杯足球賽將在12個國家的13座城市舉行.某體育網站組織

球迷對德國、西班牙、法國、葡萄牙四支熱門球隊進行競猜，每位球迷可從四支球隊中

選出一支球隊，現有三人參與競猜.

(1)若三人中每個人可以選擇任何一支球隊，且選擇每個球隊都是等可能的，求四支球

隊中恰好有兩支球隊有人選擇的概率；

(2)若三人中有一名女球迷，假設女球迷選擇德國隊的概率為工，男球迷選擇德國隊的

3

概率為2,記x為三人中選擇德國隊的人數，求x的分布列和數學期望.

5

C2c2

【分析】(1)由題意結合古典概型計算公式可知滿足題意的概率值為p二三生二..

(2)由題知f=0,1,2,3,計算相應的概率值可得p(g=o)=且，p(&=i)=ai,

2525

p(&=2)=-匕，p(^=3)=—＞據此得到相應的分布列，計算其數學期望為E(G)=&.

157515

【解答】解：(1)設恰好有兩支球隊被人選擇為事件A,

由于三人等可能的選擇四支球隊中的任意一支，有43種不同選擇，

每種選擇可能性相等，故恰好有兩支球隊被人選擇有種不同選擇，

所以2口)=上產=生?

4316

(2)由題知彳=0,1,2,3,

且p(&=0)x(卷

P(&=l)=yx(f)24XC2XfXf=^8__11

25~25

P(=2)=1XC2xf44)2=^-^

-15'P(&⑻飛X()-

第4頁共54頁

的分布列為:

0123

p61144

25251575

，E(g)=0*++1乂圣+2乂魯+3乂嚏於

N3N31L510X0

【點評】本題主要考查古典概型概率公式，離散型隨機變量的分布列和數學期望等知識,

意在考查學生的轉化能力和計算求解能力，是中檔題.

5.某射擊小組有甲、乙、丙三名射手，己知甲擊中目標的概率是旦，甲、丙二人都沒有擊

4

中目標的概率是工，乙、丙二人都擊中目標的概率是上.甲乙丙是否擊中目標相互獨立.

124

(1)求乙、丙二人各自擊中目標的概率；

(2)設乙、丙二人中擊中目標的人數為X,求X的分布列和數學期望.

【分析】(1)設甲、乙、丙擊中目標分別記為事件A,B,C,貝P(A)=與，且

4

P(A)P(C)=-j

-,由此能求出乙、丙二人各自擊中目標的概率.

P(B)P(C)q

(2)由題意X的可能取值為0,1,2,分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和

E(X).

【解答】解：(1)設甲、乙、丙擊中目標分別記為事件4,B,C,

則P(4)=2,

4

/P(—A)P—(C)1E((143-)[l-P(C)]^1y

且有｛,叫，

P(B)P(C)-1P(B)P(C)-1

解得p(B)=3,pco=2.

83

二.乙擊中目標的概率為3,丙擊中目標的概率為2.

83

(2)由題意X的可能取值為0,1,2,

P(X=2)=X

4

P(X=0)=P(B)P(C)=—X—=—>

8324

第5頁共54頁

P(X=l)=1-P(X=0)-P(X=2)=耳

24

.?.X的分布列為：

X012

P513_1

24247

【點評】本題考查概率、離散型隨機變量的分布列、數學期望的求法，考查對立事件概

率計算公式、相互獨立事件概率乘法公式等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題.

6.為了豐富學生的課余生活，某校決定在每周的同一時間開設舞蹈、美術、聲樂、棋類四

門校本活動課程，甲、乙、丙三位同學每人均在四門校本活動課程中隨機選一門進行學

習，假設三人選擇課程時互不影響，且每人選擇每一課程都是等可能的.

(1)求甲、乙、丙三人均不選擇舞蹈課程的概率

(2)設X為甲、乙、丙三人中選擇舞蹈課程的人數，求X的概率分布和數學期望E(X).

【分析】(1)利用相互對立與相互獨立事件的概率計算公式即可得出甲、乙、丙三人均

不選擇舞蹈課程的概率P.

(2)由題意可得：X=0,1,2,3.利用互斥事件的概率計算公式、相互獨立事件的概

率計算公式即可得出分布列、數學期望.

【解答】解：(1)甲、乙、丙三人均不選擇舞蹈課程的概率P=/)3=符.

(2)由題意可得：X=0,1,2,3.

P(X=0)P(X=1)=riXAxAx—=-^->P(X=2)=p2xAxAxA=

643444643444

2,P(X=3)=23=工.

6464

.?.x的概率分布列:

X0123

P(X)272791

64646464

.?.數學期望E(X)=ox2±+1X.2L+2XA.+3XJL=-3.

646464644

【點評】本題考查了互斥事件、相互獨立與對立事件的概率計算公式、分布列與數學期

望，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

第6頁共54頁

7.袋中裝有9只球，其中標有數字1,2,3,4的小球各2個，標數字5的小球有1個，從

袋中任取3個小球，每個小球被取出的可能性都相等，用W表示取出的3個小球上的最

大數字.

（1）求取出的3個小球上的數字互不相同的概率;

（2）求隨機變量己的分布列和期望.

【分析】（1）一次取出的3個小球上的數字互不相同的事件記為A,利用古典概型概率

公式求解即可.

（2）.由題意可知孑所有可能的取值為：2,3,4,5；求出概率，得到分布列，然后求

解期望.

【解答】解：（1）.一次取出的3個小球上的數字互不相同的事件記為A

則N為一次取出的3個小球上有兩個數字相同,

rlrl

v9

（2）.由題意可知?所有可能的取值為：2,3,4,5；

C豺;+C；C：41

P(&=2)=

C98421

方以+C；以164

P(&=3)=

8421

C6C2+C6C2363

P(&=4)=,

C9847

2

^￡r128.1,

nP(=5)=c3=84=3

的分布列為：

g2345

P143,1

五五73

則E（&）=2X《+3X言+4X曰+5X《第

答：隨機變量t的期望是費.

【點評】本題考查離散型隨機變量的分布列以及期望的求法，考查分析問題解決問題的

第7頁共54頁

能力.

8.某同學理科成績優異，今年參加了數學，物理，化學，生物4門學科競賽.已知該同學

數學獲一等獎的概率為2,物理，化學，生物獲一等獎的概率都是工，且四門學科是否

32

獲一等獎相互獨立.

（1）求該同學至多有一門學科獲得一等獎的概率;

（2）用隨機變量X表示該同學獲得一等獎的總數，求X的概率分布和數學期望E（X）.

【分析】（1）該同學至多有一門學科獲得一等獎是指四門學科均沒有獲得一等獎或四六

學科中恰有一門獲得一等獎，由此能求出該同學至多有一門學科獲得一等獎的概率.

（2）用隨機變量X表示該同學獲得一等獎的總數，則X的可能取值為0,1,2,3,4,

分別求出相應的概率，由此能求出X的概率分布列和數學期望E（X）.

【解答】解：（1）該同學至多有一門學科獲得一等獎是指:

四門學科均沒有獲得一等獎或四六學科中恰有一門獲得一等獎,

,該同學至多有一門學科獲得一等獎的概率:

p=（i-Z）（i-A）（i-A）（i-A）+2.（i-A）（i-A）（i-A）+3義工x（i-2）

3222322223

(1-1)(1-1)=1.

224

（2）用隨機變量X表示該同學獲得一等獎的總數，則X的可能取值為0,1,2,3,4,

=(i-2)(i-A）（i-l）（i-

P(X=0)2)=24)

322

=fx(ix(i4)+3x(i-f)x4x(iT)x(T)=

P(X=l)X(

/J//Ct

5

24

P(X=2)=3xgx5x(1X(1-5)+(1X《x!x(1-5)]=上

322322224

P(X=3)=3X^X(l-!)X《Xq+(1欄)X《X!x5=二，

32，22322224

21112

P(X=4)=-=-X-=-X-=-X==令’

322224

?,?X的概率分布列為:

X01234

p15972

2424242424

數學期望E(X)=QX^+1X^+2XA+3X^+4XA=^

第8頁共54頁

【點評】本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列、數學期望的求法，考查

二項分布等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題.

9.某物理老師準備從3道經典題和5道原創題中隨機選擇4道題組成一份物理競賽試卷.

(1)求該試卷至少有1道經典題的概率；

(2)根據以往對試卷的評價分析，經典題評價指數一般為a(a為常數)，原創題評價指

數一般為24.試卷的評價指數為每道題的評價指數之和，求這份物理競賽試卷評價指數

的概率分布及數學期望.

【分析】(1)設“至少有1道經典題”為事件A,則事件A的對立事件仄為“隨機選擇4

道題中沒有經典題”，利用對立事件概率計算公式能求出該試卷至少有1道經典題的概率.

(2)設隨機變量X表示這份物理競賽試卷評價指數，x表示選用經典題的條數，則x的

所有可能取值為0,1,2,3,依題意X=ax+2a(4-x)=8a-“x,故X的可能取值為

8a,la,6a,5a,分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和E(X).

【解答】解：(1)設“至少有1道經典題”為事件4,

則事件A的對立事件可為“隨機選擇4道題中沒有經典題”，

則P(A)-P(A)=1-上=11.

C414

該試卷至少有1道經典題的概率為」S.

14

(2)設隨機變量X表示這份物理競賽試卷評價指數，

x表示選用經典題的條數，則x的所有可能取值為0,1,2,3,

第9頁共54頁

X8。7a6a5a

P1_33_1

五7714

E(X)=8aX-^-+7aX-1"+6aX"|"+5aX

14771414

【點評】本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列、數學期望的求法，考查

對立事件概率計算公式等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題.

10.已知集合4={1,2,3,4}和集合B={1,2,3,???,”},其中心5,"CN*.從集合A

中任取三個不同的元素，其中最小的元素用S表示；從集合8中任取三個不同的元素，

其中最大的元素用7表示.記X=7-S.

(1)當〃=5時，求隨機變量X的概率分布和數學期望￡(X)；

(2)求P(X=〃一3).

【分析】(1)計算X的取值對應的S和T的取值，利用組合數公式計算概率，得出分布

列和數學期望；

(2)利用組合數公式計算概率.

【解答】解：(1)S的可能取值為1,2,T的可能取值為3,4,5；

則X的可能取值為1,2,3,4,

P(X=l)=C-?±=J_,P(X=2)=與?-1+-!?烏=_j_,

C：C540c：C5C4C520

r2r2r2r2r2

P(X=3)=—|-?—1-=A,P(X=4)=—|>?一!"=*_,

「3,3'3「2g「3「320

v4v5v4Jv5

X的分布列為:

X1234

P1339

4020京20

E(X)-1XA+2X_S_+3XS.+4X_5_=

4208204

(2)S的可能取值為1,2,T的取值可能為3,4,5,……，n,

.?.當X=〃-3時，5=1,T=n-2,或S=2,T=n-1.

222

：.P(X=n-3)/_3+工.C吁=3心一：3)(211—).

C：C：C4C：2n(n-l)(n-2)

【點評】第一問考察了隨機變量的分布列和數學期望的求解問題，計算概率時需考慮全

第10頁共54頁

面；第二問和第一問方法上類似，注意分析清楚兩種情況，利用組合的方法列出公式求

解，展開組合公式計算得出結果，總體難度適中.

11.甲、乙兩位同學進入新華書店購買數學課外閱讀書籍，經過篩選后，他們都對4,B,

C三種書籍有購買意向.己知甲同學購買書籍4,B,C的概率分別為3,1,1,乙同

423

學購買書箱A,B,C的概率分別為2,1,1,假設甲、乙是否購買A,B,C三種書

322

箱相互獨立.

（1）求甲同學購買3種書箱的概率：

（2）設甲、乙同學購買2種書箱的人數為X,求X的概率分布列和數學期望.

【分析】（1）根據相互獨立事件的概率乘法公式，容易計算甲同學購買3種書箱的概率;

（2）分別計算甲、乙同學購買2種書籍的概率為“，P2,可得pi=p2,所以X?8（2,

巨），求出分布列，期望即可.

12

【解答】解：（1）記“甲同學購買3種書籍”為A,則P（A）=lX-X-=--

4238

答:甲同學購買3種書籍的概率為工；

8

（2）設甲、乙同學購買2種書籍的概率為pi，p2,

則m/吟X"H吟吟+"/乂1=5

312

211911115

P2==x4X-=-+■=-x4Xx4X

32232232212

所以Pi=P2，所以X?3(2,A)

12

2

coXX-

P(X=0)249P(X=l)=「1X—p

1441212

(X=2)X2X(―)。=-^-

“人"2)<12，144

所以X的分布列為:

X012

p497025

144144144

E（X）=0*49+1義一（。_+2><_2」._=a,

1441441446

答所求數學期望為

6

【點評】本題考查了相互獨立事件的概率乘法公式，考查了二項分布，考查離散型隨機

第11頁共54頁

變量的概率分布列和數學期望，考查分析解決問題的能力，屬于中檔題.

12.某種產品的質量以其質量指標值衡量，并依據質量指標值劃分等級如表:

質量指標值加25WmV3515WmV25或35WmOV"7〈15或45WmV

<4565

等級一等品二等品三等品

某企業從生產的這種產品中抽取100件產品作為樣本，檢測其質量指標值，得到右

圖的率分布直方圖.（同一組數據用該區間的中點值作代表）

（1）該企業為提高產品質量，開展了質量提升月”活動，活動后再抽樣

檢測，產品三等品數y近似滿足y?a（io,15,loo）,請測算“質量提升月”活動后這

種產品的“二等品率“（一、二等品其占全部產品百分比）較活動前提高多少個百分點？

（2）若企業每件一等品售價180元，每件二等品售價150元，每件三等品售價120元，

以樣本中的頻率代替相應概率，現有一名聯客隨機購買兩件產品，設其支付的費用為X

（單位：元），求X的分布列及數學期望.

【分析】（1）求出樣本中一等品和二等品在樣本中所占比例為80%,得到100件產品中

三等品為15件，推出一、二等品率增加了5個百分點.

（2）隨機變量X的所有可能取值為240,270,300,330,360.求出概率，得到分布列，

然后求解期望即可.

【解答】解：（1）根據抽樣調查數據知，樣本中一等品和二等品共有：（0.5+0.18+0.12）

X100=80（件）

在樣本中所占比例為80%,

活動后產品三等品數y近似滿足y?“（io,15,100）,

所以100件產品中三等品為15件，一、二等品數為100-15=85（件）合格率為85%,

所以一、二等品率增加了5個百分點.

（2）由樣品估計總體知，該企業隨機抽取一件產品為一等品的概率為工，二等品的概率

2

第12頁共54頁

為丑_,三等品的概率為上，

105

隨機變量X的所有可能取值為240,270,300,330,360.

P(X=240)=44凄，

I313

P(X=270)=C；x/X亳承，

乙1U3

x

P(X=300)=CJxfx-14^W

P(X=330)=C；x/x今哈.

P(X=360)=yX^=^>

所以X的分布列為：

X240270300330360

P(X)132931

2525looIo24

X的數學期望E（X）=240X上+270X2+300X-^-+330X義+360X4=318?

N31UU1U4

【點評】本題考查離散型隨機變量的分布列以及期望的求法，是基本知識的考查.

13.某大學綜合評價面試測試中，共設置兩類考題：A類題有4個不同的小題，B類題有3

個不同的小題.某考生從中任抽取3個不同的小題解答.

（1）求該考生至少抽取到2個A類題的概率；

（2）設所抽取的3個小題中B類題的個數為X,求隨機變量X的分布列與均值.

【分析】（1）利用古典概率與互斥事件概率計算公式即可得出.

（2）設所抽取的3個小題中8類題的個數為X,則X的取值為0,1,2,3.利用超幾

何分布列計算公式即可得出.

C2c1+c3

【解答】解：（1）該考生至少抽取到2個A類題的概率尸=一

C；35

（2）設所抽取的3個小題中8類題的個數為X,則X的取值為0,1,2,3.

C3C2p1p1p2

空=型，P(X=2)=嶺=絲，P(X

p(x=o)=T=_L,p(x=i)=—

C；35,35,35

=3)=—^=J_,

C；35

,隨機變量x的分布列為：

第13頁共54頁

X0123

P418121

35353535

均值￡X=OX_L+1X_1§.+2X.11+3XJ^=J..

353535357

【點評】本題考查了古典概率與互斥事件概率計算公式、超幾何分布列計算公式及其數

學期望計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

14.盒子中放有大小形狀完全相同的10個球，其中4個紅球，6個白球.

（1）某人從這盒子中有放回地隨機抽取3個球，求至少抽到1個紅球的概率；

（2）某人從這盒子中不放回地隨機抽取3個球，記每抽到1個紅球得紅包獎勵20元，

每抽到1個白球得紅包獎勵10元，求該人所得獎勵彳的分布列和數學期望.

【分析】（1）記至少抽到1個紅球的事件為A,

法1：至少抽到1個紅球的事件，分為三種情況，即抽到1個紅球，抽到2個紅球和抽到

3個紅球，利用獨立重復實驗概率乘法求解即可；

法2：至少抽到1個紅球的事件的對立事件為3次均沒有取到紅球（或3次均取到白球）,

利用對立事件概率公式求解即可.

（2）由題意，隨機變量？可能的取值為30,40,50,60,求出概率得到分布列，然后求

解期望.

【解答】解：（1）記至少抽到1個紅球的事件為A,

法1：至少抽到1個紅球的事件，分為三種情況，即抽到1個紅球，抽到2個紅球和抽到

3個紅球，每次是否取得紅球是相互獨立的，且每次取到紅球的概率均為2,

5

所以P⑷=嗎q）電2+c辭）2*卷+曰（看）3=攝；

答：至少抽到1個紅球的概率為里，

125

法2：至少抽到1個紅球的事件的對立事件為3次均沒有取到紅球（或3次均取到白球）,

每次取到紅球的概率均為2（每次取到白球的概率均為3）,

55

所以P（A）=1-竟聲）3=里-；

35125

答：至少抽到1個紅球的概率為里.

125

（2）由題意，隨機變量孑可能的取值為30,40,50,60,

第14頁共54頁

1

P（己=30）=-\P（t=40）

C36

^10

1

-

p（e=6o）

30

所以隨機變量t的分布表為:

30405060

P31

0~2Io30

所以隨機變量《的數學期望為優=30X』+40xJL+50Xa+60X2=42（元）

621030

【點評】本題考查離散型隨機變量的分布列以及期望的求法，獨立重復實驗的應用，考

查計算能力.

15.一輛汽車前往目的地需要經過4個有紅綠燈的路口.汽車在每個路口遇到綠燈的概率為

3（可以正常通過），遇到紅燈的概率為工（必須停車）.假設汽車只有遇到紅燈或到達

44

目的地才停止前進，用隨機變量t表示前往目的地途中遇到紅燈數和綠燈數之差的絕對

值.

（1）求汽車在第3個路口首次停車的概率；

（2）求孑的概率分布和數學期望.

【分析】（D汽車在第3個路口首次停車是指汽車在前兩個路口都遇到綠燈，在第3個

路口遇到綠燈，由此利用相互獨立事件概率乘法公式能求出汽車在第3個路口首次停車

的概率.

（2）設前往目的地途中遇到綠燈數為X,則X?8（4,3）,用隨機變量？表示前往目的

4

地途中遇到紅燈數和綠燈數之差的絕對值.1的可能取值為0,2,4,P（彳=0）=P（X

=2）=-^,P聶=2）=P（X=l）+P（X=3）P（S=4）=P（X=4）+P

256256

（x=o）=B_,由此能求出1的概率分布列和數學期望E（S）.

256

【解答】解：（1）汽車在第3個路口首次停車是指汽車在前兩個路口都遇到綠燈，在第3

個路口遇到綠燈，

...汽車在第3個路口首次停車的概率為：

第15頁共54頁

(2)設前往目的地途中遇到綠燈數為X,則X?B(4,3),

4

用隨機變量W表示前往目的地途中遇到紅燈數和綠燈數之差的絕對值.

則E的可能取值為0,2,4,

P(?=0)=尸(X=2)=c2產中『懸，

P9=2)=P(X=l)+P(X=3)

=c：q)(?+c渭尸.)=瑞

P(W=4)=P(X=4)+P(X=0)=(g)4+(A)4=.82L,

44256

...2的概率分布列為：

024

P5412082

256256256

數學期望E=QX-^-+2X-^^-+4X-^-=—■

u256'256"25632

【點評】本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列、數學期望的求法，考查

相互獨立事件概率乘法公式、二項分布的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔

題.

16.已知某盒子中共有6個小球，編號為1號至6號，其中有3個紅球、2個黃球和1個綠

球，這些球除顏色和編號外完全相同.

(1)若從盒中一次隨機取出3個球，求取出的3個球中恰有2個顏色相同的概率；

(2)若從盒中逐一取球，每次取后立即放回，共取4次，求恰有3次取到黃球的概率：

(3)若從盒中逐一取球，每次取后不放回，記取完黃球所需次數為X,求隨機變量X的

分布列及數學期望E(X).

【分析】(1)分同紅色和同黃色兩類；

(2)4次獨立重復試驗，發生3次；

(3)古典概型概率公式可得.

C2c1+C2cl

【解答】解(1)取出的3個球中恰有2個顏色相同的概率P=332&=迫；

020

(2)若從盒中逐一取球，每次取后立即放回，則取得黃球的概率為2=工

63

則恰有3次取到黃球的概率尸=C3X(1)3(1-1)=