題型八函數的實際應用類型一最優方案問題（專題訓練）1.某通訊公司就上寬帶網推出A，B，C三種月收費方式．這三種收費方式每月所需的費用y（元與上網時間x(h)的函數關系如圖所示，則下列判斷錯誤的是A．每月上網時間不足25h時，選擇A方式最省錢 B．每月上網費用為60元時，B方式可上網的時間比A方式多C．每月上網時間為35h時，選擇B方式最省錢 D．每月上網時間超過70h時，選擇C方式最省錢【答案】D【分析】A、觀察函數圖象，可得出：每月上網時間不足25

h時，選擇A方式最省錢，結論A正確；B、觀察函數圖象，可得出：當每月上網費用≥50元時，B方式可上網的時間比A方式多，結論B正確；C、利用待定系數法求出：當x≥25時，yA與x之間的函數關系式，再利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出當x=35時yA的值，將其與50比較后即可得出結論C正確；D、利用待定系數法求出：當x≥50時，yB與x之間的函數關系式，再利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出當x=70時yB的值，將其與120比較后即可得出結論D錯誤．綜上即可得出結論．【解析】A、觀察函數圖象，可知：每月上網時間不足25

h時，選擇A方式最省錢，結論A正確；B、觀察函數圖象，可知：當每月上網費用≥50元時，B方式可上網的時間比A方式多，結論B正確；C、設當x≥25時，yA=kx+b，將（25，30）、（55，120）代入yA=kx+b，得：，解得：，∴yA=3x-45（x≥25），當x=35時，yA=3x-45=60＞50，∴每月上網時間為35h時，選擇B方式最省錢，結論C正確；D、設當x≥50時，yB=mx+n，將（50，50）、（55，65）代入yB=mx+n，得：，解得：，∴yB=3x-100（x≥50），當x=70時，yB=3x-100=110＜120，∴結論D錯誤．故選D．【點睛】本題考查了函數的圖象、待定系數法求一次函數解析式以及一次函數圖象上點的坐標特征，觀察函數圖象，利用一次函數的有關知識逐一分析四個選項的正誤是解題的關鍵．2.某文化用品商店出售書包和文具盒，書包每個定價40元，文具盒每個定價10元，該店制定了兩種優惠方案：方案一，買一個書包贈送一個文具盒；方案二：按總價的九折付款，購買時，顧客只能選用其中的一種方案．某學校為給學生發獎品，需購買5個書包，文具盒若干（不少于5個）．設文具盒個數為x（個），付款金額為y（元）．（1）分別寫出兩種優惠方案中y與x之間的關系式；方案一：y1=_________；方案二：y2=__________．（2）若購買20個文具盒，通過計算比較以上兩種方案中哪種更省錢？（3）學校計劃用540元錢購買這兩種獎品，最多可以買到__________個文具盒（直接回答即可）．【答案】（1）10x+150；9x+180；（2）詳解見解析；（3）40.【解析】（1）由題意，可得y1=40×5+10（x–5）=10x+150，y2=（40×5+10x）×0.9=9x+180．故答案為：10x+150，9x+180；（2）當x=20時，y1=10×20+150=350，y2=9×20+180=360，因為350<360，所以可看出方案一省錢；（3）如果10x+150≤540，那么x≤39，如果9x+180≤540，那么x≤40，所以學校計劃用540元錢購買這兩種獎品，最多可以買到40個文具盒．故答案為：40．【名師點睛】（1）根據方案一，買一個書包贈送一個文具盒；方案二：按總價的九折付款，即可得出兩種優惠方案中y與x之間的關系式；（2）將x=20分別代入（1）中關系式，通過計算比較兩種方案中哪種更省錢即可；（3）根據購買時，顧客只能選用其中的一種方案，所以分別求出y≤540時兩種方案中x的最大整數值，比較即可得到答案．3.為了做好防疫工作，學校準備購進一批消毒液．已知2瓶A型消毒液和3瓶B型消毒液共需41元，5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53元．（1）這兩種消毒液的單價各是多少元？（2）學校準備購進這兩種消毒液共90瓶，且B型消毒液的數量不少于A型消毒液數量的，請設計出最省錢的購買方案，并求出最少費用．【答案】（1）種消毒液的單價是7元，型消毒液的單價是9元；（2）購進種消毒液67瓶，購進種23瓶，最少費用為676元【分析】（1）根據題中條件列出二元一次方程組，求解即可；（2）利用由（1）求出的兩種消毒液的單價，表示出購買的費用的表達式，根據購買兩種消毒液瓶數之間的關系，求出引進表示瓶數的未知量的范圍，即可確定方案．【詳解】解：（1）設種消毒液的單價是元，型消毒液的單價是元．由題意得：，解之得，，答：種消毒液的單價是7元，型消毒液的單價是9元．（2）設購進種消毒液瓶，則購進種瓶，購買費用為元．則，∴隨著的增大而減小，最大時，有最小值．又，∴．由于是整數，最大值為67，即當時，最省錢，最少費用為元．此時，．最省錢的購買方案是購進種消毒液67瓶，購進種23瓶．【點睛】本題考查了二元一次不等式組的求解及利用一次函數的增減性來解決生活中的優化決策問題，解題的關鍵是：仔細審題，找到題中的等量關系，建立等式進行求解．4.某鮮花銷售公司每月付給銷售人員的工資有兩種方案．方案一：沒有底薪，只付銷售提成；方案二：底薪加銷售提成．如圖中的射線，射線分別表示該鮮花銷售公司每月按方案一，方案二付給銷售人員的工資（單位：元）和（單位：元）與其當月鮮花銷售量x（單位：千克）（）的函數關系．（1）分別求﹑與x的函數解析式（解析式也稱表達式）；（2）若該公司某銷售人員今年3月份的鮮花銷售量沒有超過70千克，但其3月份的工資超過2000元．這個公司采用了哪種方案給這名銷售人員付3月份的工資？【答案】（1），；（2）【分析】（1）根據圖像中l1和l2經過的點，利用待定系數法求解即可；（2）分別根據方案一和方案二列出不等式組，根據解集情況判斷即可．【詳解】解：（1）根據圖像，l1經過點（0，0）和點（40，1200），設的解析式為，則，解得：，∴l1的解析式為，設的解析式為，由l2經過點（0，800），（40，1200），則，解得：，∴l2的解析式為；（2）方案一：，即，解得：；方案二：，即，即，無解，∴公司沒有采用方案二，∴公司采用了方案一付給這名銷售人員3月份的工資．【點睛】本題考查了一次函數的實際應用，一元一次不等式組的應用，解題的關鍵是結合圖像，求出兩種方案對應的解析式．5.某通訊公司就手機流量套餐推出三種方案，如下表：A方案B方案C方案每月基本費用（元）2056266每月免費使用流量（兆）1024m無限超出后每兆收費（元）nnA，B，C三種方案每月所需的費用y（元）與每月使用的流量x（兆）之間的函數關系如圖所示．（1）請直接寫出m，n的值．（2）在A方案中，當每月使用的流量不少于1024兆時，求每月所需的費用y（元）與每月使用的流量x（兆）之間的函數關系式．（3）在這三種方案中，當每月使用的流量超過多少兆時，選擇C方案最劃算？【答案】（1）；（2）；（3）當每月使用的流量超過3772兆時，選擇C方案最劃算【分析】（1）m的值可以從圖象上直接讀取，n的值可以根據方案A和方案B的費用差和流量差相除求得；（2）直接運用待定系數法求解即可；（3）計算出方案C的圖象與方案B的圖象的交點表示的數值即可求解．【詳解】解：（1）．（2）設函數表達式為，把，代入，得，解得，∴y關于x的函數表達式．（注：x的取值范圍對考生不作要求）（3）（兆）．由圖象得，當每月使用的流量超過3772兆時，選擇C方案最劃算．【點睛】本題考查一次函數的應用，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數形結合的思想解答．6.黔東南州某銷售公司準備購進A、B兩種商品，已知購進3件A商品和2件B商品，需要1100元；購進5件A商品和3件B商品，需要1750元．（1）求A、B兩種商品的進貨單價分別是多少元？（2）若該公司購進A商品200件，B商品300件，準備把這些商品全部運往甲、乙兩地銷售．已知每件A商品運往甲、乙兩地的運費分別為20元和25元；每件B商品運往甲、乙兩地的運費分別為15元和24元．若運往甲地的商品共240件，運往乙地的商品共260件．①設運往甲地的A商品為（件），投資總運費為（元），請寫出與的函數關系式；②怎樣調運A、B兩種商品可使投資總費用最少？最少費用是多少元？（投資總費用＝購進商品的費用＋運費）【答案】（1）A商品的進貨單價為200元，B商品的進貨單價為250元；（2）①；②最佳調運方案為：調運240件B商品到甲地，調運200件A商品、60件B商品到乙地．最小費用為125040元【分析】（1）設A商品的進貨單價為x元，B商品的進貨單價為y元，根據購進3件A商品和2件B商品，需要1100元；購進5件A商品和3件B商品，需要1750元列出方程組求解即可；（2）①設運往甲地的A商品為x件，則設運往乙地的A商品為（200﹣x）件，運往甲地的B商品為（240﹣x）件，運往乙地的B商品為（60+x）件，根據投資總運費＝運往甲、乙兩地運費之和列出函數關系式即可；②根據投資總費用＝購買商品的費用+總運費，列出函數關系式，由自變量的取值范圍是：0≤x≤200，根據函數的性質判斷最佳運輸方案并求出最低費用．【詳解】解：（1）設A商品的進貨單價為x元，B商品的進貨單價為y元，根據題意，得，解得：，答：A商品的進貨單價為200元，B商品的進貨單價為250元；（2）①設運往甲地的A商品為x件，則設運往乙地的A商品為（200﹣x）件，運往甲地的B商品為（240﹣x）件，運往乙地的B商品為（60+x）件，則y＝20x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24（60+x）＝4x+10040，∴y與x的函數關系式為y＝4x+10040；②投資總費用w＝200×200+300×250+4x+10040＝4x+125040，自變量的取值范圍是：0≤x≤200，∵k＝4＞0，∴y隨x增大而增大．當x＝0時，w取得最小值，w最小＝125040（元），∴最佳調運方案為：調運240件B商品到甲地，調運200件A商品、60件B商品到乙地，最小費用為125040元．答：調運240件B商品到甲地，調運200件A商品、60件B商品到乙地總費用最小，最小費用為125040元．【點睛】本題考查了一次函數的應用和二元一次方程組的應用，關鍵是根據投資總費用＝購進商品的費用+運費列出函數關系式．7.下面圖片是七年級教科書中“實際問題與一元一次方程”的探究3電話計費問題月使用費/元主叫限定時間/min主叫超時費/（元/min）被叫方式一581500.25免費方式二883500.19免費考慮下列問題：①設一個月內用移動電話主叫為min（t是正整數）根據上表，列表說明：當t在不同時間范圍內取值時，按方式一和方式二如何計費②觀察你的列表，你能從中發現如何根據主叫時間選擇省錢的計費方式嗎？通過計算驗證你的看法．小明升入初三再看這個問題，發現兩種計費方式，每一種都是因主叫時間的變化而引起計費的變化，他把主叫時間視為在正實數范圍內變化，決定用函數來解決這個問題．（1）根據函數的概念，小明首先將問題中的兩個變量分別設為自變量x和自變量的函數y，請你幫小明寫出：x表示問題中的__________，y表示問題中的__________．并寫出計費方式一和二分別對應的函數解析式；（2）在給出的正方形網格紙上畫出（1）中兩個函數的大致圖象，并依據圖象直接寫出如何根據主叫時間選擇省錢的計費方式．（注：坐標軸單位長度可根據需要自己確定）【答案】（1）主叫時間，計費；方式一：；方式二：；（2）見解析，當主叫時間在270分鐘以內選方式一，270分鐘時兩種方式相同，超過270分鐘選方式二【分析】（1）根據題意即可知道x、y的實際意義，根據兩種方式的計算方式即可列出分段式函數關系式；（2）根據函數表達式，描點法畫出函數圖像即可．【詳解】解：（1）根據題意可知：x表示主叫時間，y表示計費，通過表格數據可知兩種方式都屬于分段函數，主叫超時費即為一次函數“k”值，即可直接寫出函數表達式為：方式一：方式二：（2）大致圖象如下：，解得x=270，由圖可知：當主叫時間在270分鐘以內選方式一，270分鐘時兩種方式相同，超過270分鐘選方式二．【點睛】本題考查了一次函數的表達式求法和函數圖像的畫法，結合函數圖像確定方案選擇問題，理解數據與函數的關系是解決問題的關鍵．8.“中國人的飯碗必須牢牢掌握在咱們自己手中”．為擴大糧食生產規模，某糧食生產基地計劃投入一筆資金購進甲、乙兩種農機具，已知購進2件甲種農機具和1件乙種農機具共需3.5萬元，購進1件甲種農機具和3件乙種農機具共需3萬元．（1）求購進1件甲種農機具和1件乙種農機具各需多少萬元？（2）若該糧食生產基地計劃購進甲、乙兩種農機具共10件，且投入資金不少于9.8萬元又不超過12萬元，設購進甲種農機具m件，則有哪幾種購買方案？哪種購買方案需要的資金最少，最少資金是多少？（3）在（2）的方案下，由于國家對農業生產扶持力度加大，每件甲種農機具降價0.7萬元，每件乙種農機具降價0.2萬元，該糧食生產基地計劃將節省的資金全部用于再次購買甲、乙兩種農機具（可以只購買一種），請直接寫出再次購買農機具的方案有哪幾種？【答案】（1）購進1件甲種農機具需1.5萬元，購進1件乙種農機具需0.5萬元；（2）有三種方案：方案一：購買甲種農機具5件，乙種農機具5件；方案二：購買甲種農機具6件，乙種農機具4件；方案三：購買甲種農機具7件，乙種農機具3件；方案一需要資金最少，最少資金是10萬元；（3）節省的資金再次購買農機具的方案有兩種：方案一：購買甲種農機具0件，乙種農機具15件；方案二：購買甲種農機具3件，乙種農機具7件【分析】（1）設購進1件甲種農機具需x萬元，購進1件乙種農機具需y萬元，根據題意可直接列出二元一次方程組求解即可；（2）在（1）的基礎之上，結合題意，建立關于m的一元一次不等式組，求解即可得到m的范圍，從而根據實際意義確定出m的取值，即可確定不同的方案，最后再結合一次函數的性質確定最小值即可；（3）結合（2）的結論，直接求出可節省的資金，然后確定降價后的單價，再建立二元一次方程，并結合實際意義進行求解即可．【詳解】解：（1）設購進1件甲種農機具需x萬元，購進1件乙種農機具需y萬元．根據題意，得，解得：，答：購進1件甲種農機具需1.5萬元，購進1件乙種農機具需0.5萬元．（2）根據題意，得，解得：，∵m為整數，∴m可取5、6、7，∴有三種方案：方案一：購買甲種農機具5件，乙種農機具5件；方案二：購買甲種農機具6件，乙種農機具4件；方案三：購買甲種農機具7件，乙種農機具3件．設總資金為W萬元，則，∵，∴W隨m的增大而增大，∴當時，（萬元），∴方案一需要資金最少，最少資金是10萬元．（3）由（2）可知，購買甲種農機具5件，乙種農機具5件時，費用最小，根據題意，此時，節省的費用為（萬元），降價后的單價分別為：甲種0.8萬元，乙種0.3萬元，設節省的資金可購買a臺甲種，b臺乙種，則：，由題意，a，b均為非負整數，∴滿足條件的解為：或，∴節省的資金再次購買農機具的方案有兩種：方案一：購買甲種農機具0件，乙種農機具15件；方案二：購買甲種農機具3件，乙種農機具7件．【點睛】本題考查二元一次方程組、一元一次不等式組以及一次函數的實際應用，找準等量關系，理解一次函數的性質是解題關鍵．9.“中國人的飯碗必須牢牢掌握在咱們自己手中”．為擴大糧食生產規模，某糧食生產基地計劃投入一筆資金購進甲、乙兩種農機具，已知購進2件甲種農機具和1件乙種農機具共需萬元，購進1件甲種農機具和3件乙種農機具共需3萬元．（1）求購進1件甲種農機具和1件乙種農機具各需多少萬元？（2）若該糧食生產基地計劃購進甲、乙兩種農機具共10件，且投入資金不少于萬元又不超過12萬元，設購進甲種農機具件，則有哪幾種購買方案？（3）在（2）的條件下，哪種購買方案需要的資金最少，最少資金是多少?【答案】（1）購進1件甲種農機具需1.5萬元，購進1件乙種農機具需0.5萬元；（2）購進甲種農機具5件，乙種農機具5件；購進甲種農機具6件，乙種農機具4件；購進甲種農機具7件，乙種農機具3件；（3）購進甲種農機具5件，乙種農機具5件所需資金最少，最少資金為10萬元．【分析】（1）設購進1件甲種農機具需x萬元，購進1件乙種農機具需y萬元，然后根據題意可得，進而求解即可；（2）由（1）及題意可得購進乙種農機具為（10-m）件，則可列不等式組為，然后求解即可；（3）設購買農機具所需資金為w萬元，則由（2）可得，然后結合一次函數的性質及（2）可直接進行求解．【詳解】解：（1）設購進1件甲種農機具需x萬元，購進1件乙種農機具需y萬元，由題意得：，解得：，答：購進1件甲種農機具需1.5萬元，購進1件乙種農機具需0.5萬元．（2）由題意得：購進乙種農機具為（10-m）件，∴，解得：，∵m為正整數，∴m的值為5、6、7，∴共有三種購買方案：購進甲種農機具5件，乙種農機具5件；購進甲種農機具6件，乙種農機具4件；購進甲種農機具7件，乙種農機具3件；．（3）設購買農機具所需資金為w萬元，則由（2）可得，∵1＞0，∴w隨m的增大而增大，∴當m=5時，w的值最小，最小值為w=5+5=10，答：購進甲種農機具5件，乙種農機具5件所需資金最少，最少資金為10萬元．【點睛】本題主要考查一次函數、二元一次方程組及一元一次不等式組的應用，熟練掌握一次函數、二元一次方程組及一元一次不等式組的應用是解題的關鍵．10.獼猴嬉戲是王屋山景區的一大特色，獼猴玩偶非常暢銷．小李在某網店選中，兩款獼猴玩偶，決定從該網店進貨并銷售．兩款玩偶的進貨價和銷售價如下表：類別價格款玩偶款玩偶進貨價（元/個）銷售價（元/個）（1）第一次小李用元購進了，兩款玩偶共個，求兩款玩偶各購進多少個；（2）第二次小李進貨時店規定款玩偶進貨數量不得超過款玩偶進貨數量的一半．小李計劃購進兩款玩偶共個，應如何設計進貨方案才能獲得最大利潤，最大利潤是多少？（3）小李第二次進貨時采取了（2）中設計的方案，并且兩次購進的玩偶全部售出，請從利潤率的角度分析，對于小李來說哪一次更合算？（注：利潤率）【答案】（1）款20個，款10個；（2）款10個，款20個，最大利潤是460元；（3）第二次更合算．理由見解析【分析】（1）根據題意列二元一次方程組，解方程組即可；（2）根據條件求得利潤的解析式，再判斷最大利潤即可；（3）分別求出第一次和第二次的利潤率，比較之后即可知道哪一次更合算．【詳解】（1）設，兩款玩偶分別為個，根據題意得：解得：答：兩款玩偶，款購進20個，款購進10個．（2）設購進款玩偶a個，則購進款個,設利潤為y元則（元）款玩偶進貨數量不得超過款玩偶進貨數量的一半，又且為整數，當時，y有最大值（元）款個，款個，最大利潤是元．（3）第一次利潤（元）第一次利潤率為：第二次利潤率為：第二次的利潤率大，即第二次更劃算．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，最大利潤方案問題，利潤率求解等問題，一次函數最值問題，理解題意，根據題意列出方程組是解題的關鍵．11.某商店計劃采購甲、乙兩種不同型號的平板電腦共20臺，已知甲型平板電腦進價1600元，售價2000元；乙型平板電腦進價為2500元，售價3000元．（1）設該商店購進甲型平板電腦x臺，請寫出全部售出后該商店獲利y與x之間函數表達式．（2）若該商店采購兩種平板電腦的總費用不超過39200元，全部售出所獲利潤不低于8500元，請設計出所有采購方案，并求出使商店獲得最大利潤的采購方案及最大利潤．【分析】（1）根據利潤等于每臺電腦的利潤乘以臺數列得函數關系式即可；（2）根據題意列不等式組，求出解集，根據解集即可得到四種采購方案，由（1）的函數關系式得到當x取最小值時，y有最大值，將x＝12代入函數解析式求出結果即可．【解析】（1）由題意得：y＝（2000﹣1600）x+（3000﹣2500）（20﹣x）＝﹣100x+10000，∴全部售出后該商店獲利y與x之間函數表達式為y＝﹣100x+10000；（2）由題意得：1600x+2500(20-x)≤39200400x+500(20-x)≥8500解得12≤x≤15，∵x為正整數，∴x＝12、13、14、15，共有四種采購方案：①甲型電腦12臺，乙型電腦8臺，②甲型電腦13臺，乙型電腦7臺，③甲型電腦14臺，乙型電腦6臺，④甲型電腦15臺，乙型電腦5臺，∵y＝﹣100x+10000，且﹣100＜0，∴y隨x的增大而減小，∴當x取最小值時，y有最大值，即x＝12時，y最大值＝﹣100×12+10000＝8800，∴采購甲型電腦12臺，乙型電腦8臺時商店獲得最大利潤，最大利潤是8800元．12.某汽車運輸公司為了滿足市場需要，推出商務車和轎車對外租賃業務．下面是樂山到成都兩種車型的限載人數和單程租賃價格表：車型每車限載人數（人）租金（元/輛）商務車6300轎車4（1）如果單程租賃2輛商務車和3輛轎車共需付租金1320元，求一輛轎車的單程租金為多少元？（2）某公司準備組織34名職工從樂山赴成都參加業務培訓，擬單程租用商務車或轎車前往．在不超載的情況下，怎樣設計租車方案才能使所付租金最少？【分析】（1）設租用一輛轎車的租金為x元，根據“單程租賃2輛商務車和3輛轎車共需付租金1320元”列方程解答即可；（2）分三種情況討論：①只租用商務車；②只租用轎車；③混和租用兩種車．分別求出每種情況所需租金，再比較大小即可解答．【解析】（1）設租用一輛轎車的租金為x元，由題意得：300×2+3x＝1320，解得x＝240，答：租用一輛轎車的租金為240元；（2）①若只租用商務車，∵346∴只租用商務車應租6輛，所付租金為300×6＝1800（元）；②若只租用轎車，∵344∴只租用轎車應租9輛，所付租金為240×9＝2160（元）；③若混和租用兩種車，設租用商務車m輛，租用轎車n輛，租金為W元．由題意，得6m+4n=34W=300m+240n由6m+4n＝34，得4n＝﹣6m+34，∴W＝300m+60（﹣6m+34）＝﹣60m+2040，∵﹣6m+34＝4n≥0，∴m≤17∴1≤m≤5，且m為整數，∵W隨m的增大而減小，∴當m＝5時，W有最小值1740，此時n＝1．綜上，租用商務車5輛和轎車1輛時，所付租金最少為1740元．13.暑期將至，某健身俱樂部面向學生推出暑期優惠活動，活動方案如下．方案一：購買一張學生暑期專享卡，每次健身費用按六折優惠；方案二：不購買學生暑期專享卡，每次健身費用按八折優惠．設某學生暑期健身x（次），按照方案一所需費用為y1（元），且y1＝k1x+b；按照方案二所需費用為y2（元），且y2＝k2x．其函數圖象如圖所示．（1）求k1和b的值，并說明它們的實際意義；（2）求打折前的每次健身費用和k2的值；（3）八年級學生小華計劃暑期前往該俱樂部健身8次，應選擇哪種方案所需費用更少？說明理由．【分析】（1）把點（0，30），（10，180）代入y1＝k1x+b，得到關于k1和b的二元一次方程組，求解即可；（2）根據方案一每次健身費用按六折優惠，可得打折前的每次健身費用，再根據方案二每次健身費用按八折優惠，求出k2的值