2024屆江蘇省海安市南莫中學高一數學第二學期期末經典試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若正實數滿足，且恒成立，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．2．已知數列的前項和（），那么（）A．一定是等差數列B．一定是等比數列C．或者是等差數列，或者是等比數列D．既不可能是等差數列，也不可能是等比數列3．圖1是我國古代數學家趙爽創制的一幅“勾股圓方圖”（又稱“趙爽弦圖”)，它是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形.受其啟發，某同學設計了一個圖形，它是由三個全等的鈍角三角形與中間一個小正三角形拼成一個大正三角形，如圖2所示，若，，則線段的長為（)A．3 B．3.5 C．4 D．4.54．己知數列和的通項公式分別內，，若，則數列中最小項的值為（）A． B．24 C．6 D．75．己知某三棱錐的三視圖如圖所示，其中正視圖和側視圖都是邊長為2的等邊三角形，則該三棱錐的體積為（）A． B． C． D．6．若實數x，y滿足，則z＝x+y的最小值為（）A．2 B．3 C．4 D．57．在正方體中，E，F，G，H分別是，，，的中點，K是底面ABCD上的動點，且平面EFG，則HK與平面ABCD所成角的正弦值的最小值是（）A． B． C． D．8．在中，角，，所對的邊為，，，且為銳角，若，，，則（）A． B． C． D．9．在中，角的對邊分別為，且.若為鈍角，，則的面積為()A． B． C． D．510．設，，，則的最小值為（）A．2 B．4 C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，，則當最大時，________.12．若八個學生參加合唱比賽的得分為87，88，90，91，92，93，93，94，則這組數據的方差是______13．已知不等式的解集為，則________.14．已知變量x，y線性相關，其一組數據如下表所示.若根據這組數據求得y關于x的線性回歸方程為，則______.x1245y5.49.610.614.415．若是等比數列，，，且公比為整數，則______.16．在正方體中，是棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值為__________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知的內角所對的邊分別為，且，.（1）若，求角的值；（2）若,求的值.18．在等差數列中，已知，．（1）求數列的前項和的最大值；（2）若，求數列前項和．19．已知四棱錐的底面為直角梯形，，，底面，且，是的中點.（1）求證：直線平面；（2）若，求二面角的正弦值.20．在中，內角A，B，C的對邊分別是ɑ，b，c，已知，.(1)求角C；(2)求面積的最大值.21．如圖，四棱錐，平面ABCD，四邊形ABCD是直角梯形，，，，E為PB中點.（1）求證：平面PCD；（2）求證：.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解題分析】

先利用基本不等求出的最小值，然后根據恒成立，可得，再求出a的范圍．【題目詳解】因為正實數x，y滿足，，當且僅當，即時取等號，恒成立，所以只需，，，的取值范圍為，故選：A.【題目點撥】本題主要考查不等式恒成立問題以及基本不等式求最值，解題時注意“一正、二定、三相等”的應用，本題屬于中檔題.2、C【解題分析】試題分析：當時，，，∴數列是等差數列．當時，，∴數列是等比數列．綜上所述，數列或是等差數列或是等比數列考點：等差數列等比數列的判定3、A【解題分析】

設，可得，求得，在中，運用余弦定理，解方程可得所求值．【題目詳解】設，可得，且，在中，可得，即為，化為，解得舍去），故選．【題目點撥】本題考查三角形的余弦定理，考查方程思想和運算能力，屬于基礎題．4、D【解題分析】

根據兩個數列的單調性，可確定數列，也就確定了其中的最小項．【題目詳解】由已知數列是遞增數列，數列是遞減數列，且計算后知，又，∴數列中最小項的值是1．故選D．【題目點撥】本題考查數列的單調性，數列的最值．解題時依據題意確定大小即可．本題難度一般．5、B【解題分析】

先找到三視圖對應的幾何體原圖，再求幾何體的體積.【題目詳解】由題得三視圖對應的幾何體原圖是如圖所示的三棱錐A-BCD，所以幾何體的體積為.故選B【題目點撥】本題主要考查三視圖找到幾何體原圖，考查三棱錐體積的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.6、D【解題分析】

由約束條件畫出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優解，聯立方程組求得最優解的坐標，代入目標函數得答案.【題目詳解】由實數，滿足作出可行域，如圖：聯立，解得，化目標函數為，由圖可知，當直線過時，直線在軸上的截距最小，此時有最小值為.故選：D.【題目點撥】本題考查簡單的線性規劃，考查了數形結合的解題思想方法，屬于基礎題.7、A【解題分析】

根據題意取的中點，可得平面平面，從而可得K在上移動，平面，即可HK與平面ABCD所成角中最小的為【題目詳解】如圖，取的中點，連接，由E，F，G，H分別是，，，的中點，所以，，且，則平面平面，若K是底面ABCD上的動點，且平面EFG，則K在上移動，由正方體的性質可知平面，所以HK與平面ABCD所成角中最小的為，不妨設正方體的邊長為，在中，.故選：A【題目點撥】本題考查了求線面角，同時考查了面面平行的判定定理，解題的關鍵是找出線面角，屬于基礎題.8、D【解題分析】

利用正弦定理化簡，再利用三角形面積公式，即可得到，由，求得，最后利用余弦定理即可得到答案．【題目詳解】由于，有正弦定理可得：，即由于在中，，，所以，聯立，解得：，由于為銳角，且，所以所以在中，由余弦定理可得：，故（負數舍去）故答案選D【題目點撥】本題考查正弦定理，余弦定理，以及面積公式在三角形求邊長中的應用，屬于中檔題．9、B【解題分析】

先由正弦定理求出c的值，再由C角為銳角求出C角的正余弦值，利用角C的余弦公式求出b的值，帶入，及可求出面積．【題目詳解】因為，，所以．又因為，且為銳角，所以，．由余弦定理得：，解得，所以．故選B.【題目點撥】本題考查利用正余弦定理解三角形，三角形的面積公式，屬于中檔題．10、D【解題分析】

利用基本不等式可得，再結合代入即可得出答案．【題目詳解】解：∵，，，∴，∴，當且僅當即，時等號成立，∴，故選：D．【題目點撥】本題主要考查基本不等式求最值，要注意條件“一正二定三相等”，屬于中檔題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

根據正切的和角公式，將用的函數表示出來，利用均值不等式求最值，求得取得最大值的，再用倍角公式即可求解.【題目詳解】故可得則當且僅當，即時，此時有故答案為：.【題目點撥】本題考查正切的和角公式，以及倍角公式，涉及均值不等式的使用.12、1.1【解題分析】

先求出這組數據的平均數，由此能求出這組數據的方差．【題目詳解】八個學生參加合唱比賽的得分為87，88，90，91，92，93，93，94，則這組數據的平均數為：（87+88+90+91+92+93+93+94）＝91，∴這組數據的方差為：S2[（87﹣91）2+（88﹣91）2+（90﹣91）2+（91﹣91）2+（92﹣91）2+（93﹣91）2+（93﹣91）2+（94﹣91）2]＝1.1．故答案為1.1．【題目點撥】本題考查方差的求法，考查平均數、方差的性質等基礎知識，考查了推理能力與計算能力，是基礎題．13、-7【解題分析】

結合一元二次不等式和一元二次方程的性質，列出方程組，求得的值，即可得到答案.【題目詳解】由不等式的解集為，可得，解得，所以.故答案為：.【題目點撥】本題主要考查了一元二次不等式的解法，以及一元二次方程的性質，其中解答中熟記一元二次不等式的解法是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.14、4.3【解題分析】

由所給數據求出，根據回歸直線過中心點可求解．【題目詳解】由表格得到，，將樣本中心代入線性回歸方程得.故答案為：4.3【題目點撥】本題考查線性回歸直線方程，掌握回歸直線的性質是解題關鍵，即回歸直線必過中心點．15、512【解題分析】

由題設條件知和是方程的兩個實數根，解方程并由公比q為整數，知，，由此能夠求出公比，從而得到.【題目詳解】是等比數列，

，，

，，

和是方程的兩個實數根，

解方程，

得，，

公比q為整數，

，，

，解得，

.故答案為：512【題目點撥】本題考查等比數列的通項公式的求法，利用了等比數列下標和的性質，是基礎題.解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化.16、【解題分析】

假設正方體棱長，根據//，得到異面直線與所成角，計算，可得結果.【題目詳解】假設正方體棱長為1，因為//，所以異面直線與所成角即與所成角則角為如圖，所以故答案為：【題目點撥】本題考查異面直線所成的角，屬基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）或；（2）、.【解題分析】

（1）由先求的值，再求角即可；（2）先由求出，再根據求出即可.【題目詳解】（1）由已知，又，所以，即，或；（2）因為，由可得，又因為，所以，即，總之、.【題目點撥】本題主要考查正弦定理、余弦定理及三角形面積公式的應用，屬常規考題.18、(1)9；(2)【解題分析】

（1）利用等差數列公式得到，當時，最大為9（2）討論和兩種情況，分別計算得到答案.【題目詳解】(1)，又，所以令，得所以當時，最大為.(2)由（1）可知，當時，，所以當時，，所以.綜上所述：【題目點撥】本題考查了等差數列的通項公式，前N項和最大值，絕對值求和，找到通項公式的正負分界處是解題的關鍵，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.19、（1）證明見解析；（2）．【解題分析】

（1）取中點，連結，，推導出，，從而平面平面，由此能證明直線平面；（2）以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角的余弦值．【題目詳解】（1）證明：取中點，連結，，，是的中點，，，，，平面平面，平面，直線平面．（2）解：，，底面，，是的中點，，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，則，0，，，1，，，0，，，2，，，1，，，1，，，1，，，1，，，0，，設平面的法向量，，，則，取，得.設平面的法向量，，，則，取，得.設二面角的平面角為，則．二面角的余弦值為．【題目點撥】本題主要考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查運算求解能力，屬于中檔題．20、（1）；（2）【解題分析】

（1）利用正弦定理邊化角可求得，由的范圍可求得結果；（2）利用余弦定理和基本不等式可求得的最大值，代入三角形面積公式可求得結果.【題目詳解】（1）由正弦定理得：，即又（2）由余弦定理得：（當且僅當時取等號），即面積的最大值為【題目點撥】本題考查解三角形的相關知識，涉及到正弦定理邊化角的應用、余弦定理解三角形、基本不等式求積的最大值、三角形面積公式的應用；求解面積的最大值的關鍵是能夠在余弦定理的基礎上，利用基本不等式來求解兩邊之積的最大值.21、