湖南省兩校聯考2024屆數學高一第二學期期末教學質量檢測試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若向量，且，則等于（）A． B． C． D．2．設，則的取值范圍是（）A． B． C． D．3．在中，，，則的外接圓半徑為（）A．1 B．2 C． D．4．已知，若關于x的不等式的解集為，則（）A． B． C．1 D．75．將函數的圖象上各點沿軸向右平移個單位長度，所得函數圖象的一個對稱中心為（）A． B． C． D．6．已知，且，則實數的值為（）A．2 B． C．3 D．7．從1，2，3，…，9這個9個數中任取5個不同的數，則這5個數的中位數是5的概率等于（）A．57 B．59 C．28．若a=(3,2)，bA．（3，－4） B．（－3，4） C．（3，4） D．（－3，－4）9．已知函數，若對于恒成立，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．10．已知中，，，，則BC邊上的中線AM的長度為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．數列的前項和為，，，則________．12．已知，是夾角為的兩個單位向量，向量，，若，則實數的值為________.13．的值域是______.14．已知函數，則______.15．數列中，其前n項和,則的通項公式為______________..16．函數的值域為________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．設函數和都是定義在集合上的函數，對于任意的，都有成立，稱函數與在上互為“互換函數”．（1）函數與在上互為“互換函數”，求集合；（2）若函數（且）與在集合上互為“互換函數”，求證：；（3）函數與在集合且上互為“互換函數”，當時,，且在上是偶函數,求函數在集合上的解析式．18．已知數列中，，點在直線上，其中.（1）令，求證數列是等比數列；（2）求數列的通項；（3）設、分別為數列、的前項和是否存在實數，使得數列為等差數列？若存在，試求出，若不存在，則說明理由.19．已知向量，且（1）當時，求及的值；（2）若函數的最小值是，求實數的值.20．2019年4月23日“世界讀書日”來臨之際，某校為了了解中學生課外閱讀情況，隨機抽取了100名學生，并獲得了他們一周課外閱讀時間（單位：小時）的數據，按閱讀時間分組：第一組[0,5),第二組[5,10)，第三組[10,15)，第四組[15,20)，第五組[20,25]，繪制了頻率分布直方圖如下圖所示．已知第三組的頻數是第五組頻數的3倍．（1）求的值，并根據頻率分布直方圖估計該校學生一周課外閱讀時間的平均值；（2）現從第三、四、五這3組中用分層抽樣的方法抽取6人參加校“中華詩詞比賽”．經過比賽后，從這6人中隨機挑選2人組成該校代表隊，求這2人來自不同組別的概率．21．如圖，中，，角的平分線長為1．(1)求；(2)求邊的長．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】

根據坐標形式下向量的平行對應的等量關系，即可計算出的值，再根據坐標形式下向量的加法即可求解出的坐標表示.【題目詳解】因為且，所以，所以，所以.故選：B.【題目點撥】本題考查根據坐標形式下向量的平行求解參數以及向量加法的坐標運算，難度較易.已知，若則有.2、B【解題分析】

由同向不等式的可加性求解即可.【題目詳解】解：因為，所以，又，，所以，故選：B.【題目點撥】本題考查了不等式的性質，屬基礎題.3、A【解題分析】

由同角三角函數關系式,先求得.再結合正弦定理即可求得的外接圓半徑.【題目詳解】中,由同角三角函數關系式可得由正弦定理可得所以,即的外接圓半徑為1故選:A【題目點撥】本題考查了同角三角函數關系式的應用,正弦定理求三角形外接圓半徑,屬于基礎題.4、B【解題分析】

由韋達定理列方程求出，即可得解．【題目詳解】由已知及韋達定理可得，，，即，，所以．故選：．【題目點撥】本題考查一元二次方程和一元二次不等式的關系、韋達定理的應用等，屬于一般基礎題．5、A【解題分析】

先求得圖象變換后的解析式，再根據正弦函數對稱中心，求出正確選項.【題目詳解】向右平移的單位長度，得到，由解得，當時，對稱中心為，故選A.【題目點撥】本小題主要考查三角函數圖象變換，考查三角函數對稱中心的求法，屬于基礎題.6、D【解題分析】

根據二角和與差的正弦公式化簡，，再切化弦，即可求解.【題目詳解】由題意又解得故選：【題目點撥】本題考查兩角和與差的正弦公式，屬于基礎題.7、C【解題分析】試題分析：設事件為“從1，2，3，…，9這9個數中5個數的中位數是5”，則基本事件總數為種，事件所包含的基本事件的總數為：，所以由古典概型的計算公式知，，故應選.考點：1.古典概型；8、D【解題分析】

直接利用向量的坐標運算法則化簡求解即可．【題目詳解】解：向量a=（3，2），b則向量2b-故選D．【題目點撥】本題考查向量的坐標運算，考查計算能力．9、A【解題分析】

首先設，將題意轉化為，即可，再分類討論求出，解不等式組即可.【題目詳解】，恒成立，等價于，恒成立.令，對稱軸為.即等價于，即可.當時，得到，解得：.當時，得到，解得：.當時，得到，解得：.綜上所述：.故選：A【題目點撥】本題主要考查二次不等式的恒成立問題，同時考查了二次函數的最值問題，分類討論是解題的關鍵，屬于中檔題.10、A【解題分析】

利用平行四邊形對角線的平方和等于四條邊的平方和，求的長．【題目詳解】延長至，使，連接、，如圖所示；由題意知四邊形是平行四邊形，且滿足，即，解得，所以邊上的中線的長度為．故選：A．【題目點撥】本題考查平行四邊形對角線的平方和等于四條邊的平方和應用問題，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、18【解題分析】

利用，化簡得到數列是首項為，公比為的等比數列，利用,即可求解.【題目詳解】,即所以數列是首項為，公比為的等比數列即所以故答案為：【題目點撥】本題主要考查了與的關系以及等比數列的通項公式，屬于基礎題.12、【解題分析】

由題意得，且，，由=，解得即可.【題目詳解】已知，是夾角為的兩個單位向量，所以，得，若解得故答案為【題目點撥】本題考查了向量數量積的運算性質，考查了計算能力，屬于基礎題．13、【解題分析】

對進行整理，得到正弦型函數，然后得到其值域，得到答案.【題目詳解】，因為所以的值域為.故答案為：【題目點撥】本題考查輔助角公式，正弦型函數的值域，屬于簡單題.14、【解題分析】

根據題意令f（x）＝，求出x的值，即可得出f﹣1（）的值．【題目詳解】令f（x）＝+arcsin（2x）＝，得arcsin（2x）＝﹣，∴2x＝﹣，解得x＝﹣，∴f﹣1（）＝﹣．故答案為：﹣．【題目點撥】本題考查了反函數以及反正弦函數的應用問題，屬于基礎題．15、【解題分析】

利用遞推關系，當時，，當時，，即可求出.【題目詳解】由題知：當時，.當時，.檢驗當時，，所以.故答案為：【題目點撥】本題主要考查根據數列的前項和求數列的通項公式，體現了分類討論的思想，屬于簡單題.16、【解題分析】

利用反三角函數的單調性即可求解.【題目詳解】函數是定義在上的增函數，函數在區間上單調遞增，，，函數的值域是.故答案為：【題目點撥】本題考查了反三角函數的單調性以及反三角函數值，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）見解析（3），【解題分析】

（1）利用列方程，并用二倍角公式進行化簡，求得或，進而求得集合.（2）由，得（且），化簡后根據的取值范圍，求得的取值范圍.（3）首先根據為偶函數，求得當時，的解析式，從而求得當時，的解析式.依題意“當，恒成立”，化簡得到，根據函數解析式的求法，求得時，以及，進而求得函數在集合上的解析式.【題目詳解】（1）由得化簡得，，所以或．由解得或，，即或，．又由解得，．所以集合，或，即集合．（2）證明：由，得（且）．變形得，所以．因為，則，所以．（3）因為函數在上是偶函數，則．當，則，所以．所以，因此當時，．由于與函數在集合上“互換函數”，所以當，恒成立．即對于任意的恒成立．即．于是有，，．上述等式相加得，即．當（）時,，所以．而，，所以當時，，【題目點撥】本小題主要考查新定義函數的理解和運用，考查二倍角公式和特殊角的三角函數值，考查指數運算和指數函數的值域，考查根據函數的奇偶性求函數的解析式，考查化歸與轉化的數學思想方法，考查分析、思考與解決問題的能力，屬于難題.18、（1）證明過程見詳解；（2）；（3）存在實數，使得數列為等差數列.【解題分析】

（1）先由題意得到，再由，得到，即可證明結論成立；（2）先由（1）求得，推出，利用累加法，即可求出數列的通項；（3）把數列an}、{bn}通項公式代入an+2bn，進而得到Sn+2T的表達式代入Tn，進而推斷當且僅當λ＝2時，數列是等差數列．【題目詳解】（1）因為點在直線上，所以，因此由得所以數列是以為公比的等比數列；（2）因為，由得，故，由（1）得，所以，即，所以，，…，，以上各式相加得：所以；（3）存在λ＝2，使數列是等差數列．由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，an+2bn＝n﹣2∴又=∴，∴當且僅當λ＝2時，數列是等差數列．【題目點撥】本題主要考查等差數列與等比數列的綜合，熟記等比數列的定義，等比數列的通項公式，以及等差數列與等比數列的求和公式即可，屬于常考題型.19、（1），（2）.【解題分析】

（1）以向量為載體求解向量數量積、模長，我們只需要把向量坐標表示出來，最后用公式就能輕松完成；（2）由（1）可以把表達式求出，最終化成二次復合型函數模式，考慮軸與區間的位置關系，我們就能對函數進行進一步的研究.【題目詳解】（1）因為，所以又因為，所以（2），當時，.當時，不滿足.當時，，，不滿足.綜上，實數的值為.【題目點撥】在研究三角函數相關的性質（值域、對稱中心、對稱軸、單調性……）我們都是將其化為（或者余弦、正切相對應）的形式，利用整體思想，我們能比較方便的去研究他們相關性質.第二問中我們其實就是求最小值問題，當然摻雜了二次函數的“軸變區間定”的考點.，綜合性較強.20、（1）a=0.06，平均值為12.25小時（2）【解題分析】

（1）由頻率分布直方圖可得第三組和第五組的頻率之和，第三組的頻率，由此能求出a和該樣本數據的平均數，從而可估計該校學生一周課外閱讀時間的平均值；（2）從第3、4、5組抽取的人數分別為3、2、1，設為A，B，C，D，E，F，利用列舉法能求出從該6人中選拔2人，從而得到這2人來自不同組別的概率．【題目詳解】（1）由頻率分布直方圖可得第三組和第五組的頻率之和為，第三組的頻率為∴該樣本數據的平均數所以可估計該校學生一周課外閱讀時間的平均值為小時．（2）易得從第3、4、5組抽取的人數分別為3、2、1，設為，則從該6人中選拔2人的基本事件有：共15種，其中來自不同的組別的基本事件有：，共1