2024屆湖南省瀏陽市第二中學、五中、六中三校高一數學第二學期期末調研模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．甲：（是常數）乙：丙：（、是常數）丁：（、是常數），以上能成為數列是等差數列的充要條件的有幾個（）A．1 B．2 C．3 D．42．已知數列的通項公式，前n項和為，若，則的最大值是（）A．5 B．10 C．15 D．203．對某班學生一次英語測試的成績分析，各分數段的分布如下圖（分數取整數），由此，估計這次測驗的優秀率（不小于80分）為（）A．92% B．24% C．56% D．76%4．若實數x,y滿足x2y2A．4，8 B．8，+5．采用系統抽樣方法從人中抽取人做問卷調查，為此將他們隨機編號為，，，，分組后某組抽到的號碼為1．抽到的人中，編號落入區間的人數為（）A．10 B． C．12 D．136．已知函數，（），若對任意的（），恒有，那么的取值集合是（）A． B． C． D．7．甲、乙兩名選手參加歌手大賽時，5名評委打的分數用如圖所示的莖葉圖表示，s1，s2分別表示甲、乙選手分數的標準差，則s1與s2的關系是()．A．s1＞s2 B．s1＝s2 C．s1＜s2 D．不確定8．記復數的虛部為，已知滿足，則為（）A． B． C．2 D．9．已知數列的前項和為，若，則（）A． B． C． D．10．設是數列的前項和，時點在拋物線上，且的首項是二次函數的最小值，則的值為（）A．45 B．54 C．36 D．－18二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．古希臘數學家阿波羅尼斯在他的巨著《圓錐曲線論》中有一個著名的幾何問題：在平面上給定兩點，，動點滿足（其中和是正常數，且），則的軌跡是一個圓，這個圓稱之為“阿波羅尼斯圓”，該圓的半徑為__________．12．數列中，，，，則的前2018項和為______.13．已知正方體中,，分別為,的中點,那么異面直線與所成角的余弦值為______.14．一條河的兩岸平行，河的寬度為560m，一艘船從一岸出發到河對岸，已知船的靜水速度，水流速度，則行駛航程最短時，所用時間是__________（精確到）．15．已知是奇函數，且，則_______．16．已知一組數1，2，m，6，7的平均數為4，則這組數的方差為______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數列為等差數列，為前項和，，（1）求的通項公式；（2）設，比較與的大小；（3）設函數，，求，和數列的前項和.18．已知數列滿足，且（，且）.（1）求證：數列是等差數列；（2）求數列的通項公式（3）設數列的前項和，求證：.19．要測量底部不能到達的電視塔AB的高度,在C點測得塔頂A的仰角是45°,在D點測得塔頂A的仰角是30°,并測得水平面上的∠BCD=120°,CD="40"m,則電視塔的高度為多少？20．甲、乙兩位同學參加數學應用知識競賽培訓，現分別從他們在培訓期間參加的若干次測試成績中隨機抽取8次，記錄如下：（Ⅰ）分別估計甲、乙兩名同學在培訓期間所有測試成績的平均分；（Ⅱ）從上圖中甲、乙兩名同學高于85分的成績中各選一個成績作為參考，求甲、乙兩人成績都在90分以上的概率；（Ⅲ）現要從甲、乙中選派一人參加正式比賽，根據所抽取的兩組數據分析，你認為選派哪位同學參加較為合適？說明理由.21．（1）求證：（2）請利用（1）的結論證明：（3）請你把（2）的結論推到更一般的情形，使之成為推廣后的特例，并加以證明：（4）化簡：.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】

由等差數列的定義和求和公式、通項公式的關系，以及性質，即可得到結論.【題目詳解】數列是等差數列，設公差為，由定義可得（是常數），且（是常數），，令，即（、是常數），等差數列通項，令，即（、是常數），綜上可得甲乙丙丁都對.故選：D.【題目點撥】本題考查等差數列的定義和通項公式、求和公式的關系，考查充分必要條件的定義，考查推理能力，屬于基礎題.2、B【解題分析】

將的通項公式分解因式，判斷正負分界處，進而推斷的最大最小值得到答案.【題目詳解】數列的通項公式當時，當或是最大值為或最小值為或的最大值為故答案為B【題目點撥】本題考查了前n項和為的最值問題，將其轉化為通項公式的正負問題是解題的關鍵.3、C【解題分析】試題分析：．故C正確．考點：頻率分布直方圖．4、A【解題分析】

利用基本不等式得x2y2【題目詳解】∵x2y2≤(x2+y2)24∴x2故選A．【題目點撥】本題考查基本不等式求最值問題，解題關鍵是掌握基本不等式的變形應用：ab≤(a+b)5、C【解題分析】

由題意可得抽到的號碼構成以11為首項、以30為公差的等差數列，求得此等差數列的通項公式為an＝30n﹣19，由401≤30n﹣21≤755，求得正整數n的個數，即可得出結論．【題目詳解】∵960÷32＝30，∴每組30人，∴由題意可得抽到的號碼構成以30為公差的等差數列，又某組抽到的號碼為1，可知第一組抽到的號碼為11，∴由題意可得抽到的號碼構成以11為首項、以30為公差的等差數列，∴等差數列的通項公式為an＝11+（n﹣1）30＝30n﹣19，由401≤30n﹣19≤755，n為正整數可得14≤n≤25，∴做問卷C的人數為25﹣14+1＝12，故選C．【題目點撥】本題主要考查等差數列的通項公式，系統抽樣的定義和方法，根據系統抽樣的定義轉化為等差數列是解決本題的關鍵，比較基礎．6、A【解題分析】當時，，畫出圖象如下圖所示，由圖可知，時不符合題意，故選.【題目點撥】本題主要考查含有絕對值的不等式的解法，考查選擇題的解題策略中的特殊值法.主要的需要滿足的是，根據不等式的解法，大于在中間，小于在兩邊，可化簡為，左右兩邊為二次函數，中間可以由對數函數圖象平移得到，由此畫出圖象驗證是否符合題意.7、C【解題分析】

先求均值，再根據標準差公式求標準差，最后比較大小.【題目詳解】乙選手分數的平均數分別為所以標準差分別為因此s1＜s2，選C.【題目點撥】本題考查標準差，考查基本求解能力.8、A【解題分析】

根據復數除法運算求得，從而可得虛部.【題目詳解】由得：本題正確選項：【題目點撥】本題考查復數虛部的求解問題，關鍵是通過復數除法運算得到的形式.9、A【解題分析】

再遞推一步，兩個等式相減，得到一個等式，進行合理變形，可以得到一個等比數列，求出通項公式，最后求出數列的通項公式，最后求出，選出答案即可.【題目詳解】因為，所以當時，，兩式相減化簡得：，而，所以數列是以為首項，為公比的等比數列，因此有，所以，故本題選A.【題目點撥】本題考查了已知數列遞推公式求數列通項公式的問題，考查了等比數列的判斷以及通項公式，正確的遞推和等式的合理變形是解題的關鍵.10、B【解題分析】

根據點在拋物線上證得數列是等差數列，由二次函數的最小值求得首項，進而求得的值.【題目詳解】由于時點在拋物線上，所以，所以數列是公差為的等差數列.二次函數，所以.所以.故選：B【題目點撥】本小題主要考查等差數列的證明，考查二次函數的最值的求法，考查等差數列前項和公式，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

設，由動點滿足（其中和是正常數，且），可得，化簡整理可得.【題目詳解】設，由動點滿足（其中和是正常數，且），所以，化簡得，即，所以該圓半徑故該圓的半徑為.【題目點撥】本題考查圓方程的標準形式和兩點距離公式，難點主要在于計算.12、2【解題分析】

直接利用遞推關系式和數列的周期求出結果即可．【題目詳解】數列{an}中，a1＝1，a2＝2，an+2＝an+1﹣an，則：a2＝a2﹣a1＝1，a4＝a2﹣a2＝﹣1，a5＝a4﹣a2＝﹣2，a1＝a5﹣a4＝﹣1，a7＝a1﹣a5＝1，…所以：數列的周期為1．a1+a2+a2+a4+a5+a1＝0，數列{an}的前2018項和為：（a1+a2+a2+a4+a5+a1）+…+（a2011+a2012+a2012+a2014+a2015+a2011）+a2017+a2018，＝0+0+…+0+（a1+a2）＝2．故答案為：2【題目點撥】本題考查的知識要點：數列的遞推關系式的應用，數列的周期的應用，主要考查學生的運算能力和轉化能力，屬于基礎題．13、【解題分析】

異面直線所成角，一般平移到同一個平面求解．【題目詳解】連接DF，異面直線與所成角等于【題目點撥】異面直線所成角，一般平移到同一個平面求解．不能平移時通常考慮建系，利用向量解決問題．14、6【解題分析】

先確定船的方向，再求出船的速度和時間.【題目詳解】因為行程最短，所以船應該朝上游的方向行駛，所以船的速度為km/h,所以所用時間是.故答案為6【題目點撥】本題主要考查平面向量的應用，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎題.15、【解題分析】

根據奇偶性定義可知，利用可求得，從而得到；利用可求得結果.【題目詳解】為奇函數又即，解得：本題正確結果：【題目點撥】本題考查根據函數的奇偶性求解函數值的問題，屬于基礎題.16、【解題分析】

先根據平均數計算出的值，再根據方差的計算公式計算出這組數的方差.【題目詳解】依題意.所以方差為.故答案為：.【題目點撥】本小題主要考查平均數和方差的有關計算，考查運算求解能力，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）；（3），，【解題分析】

（1）利用基本元的思想，將已知轉化為的形式列方程組，解方程組求得的值，從而求得數列的通項公式.（2）利用裂項求和法求得表達式，判斷出，利用對數函數的性質得到，由此得到.（3）首先求得，當時，根據的表達式，求得的表達式.利用分組求和法求得當時的表達式，并根據的值求得的分段表達式.【題目詳解】（1）為等差數列，，得，∴（2）∵，∴，又，∴.（3）由分段函數，可以得到：，，當時，，故當時，，又符合上式所以.【題目點撥】本小題主要考查等差數列基本量的計算，考查裂項求和法、分組求和法，考查運算求解能力，屬于中檔題.18、（1）詳見解析；（2）；（3）詳見解析.【解題分析】

（1）用定義證明得到答案.（2）推出（3）利用錯位相減法和分組求和法得到，再證明不等式.【題目詳解】解：（1）由，得，即.∴數列是以為首項，1為公差的等差數列.（2）∵數列是以為首項，1為公差的等差數列，∴，∴.（3）.∴，∴.【題目點撥】本題考查了等差數列的證明，分組求和法，錯位相減法，意在考查學生對于數列公式方法的靈活運用.19、40m．【解題分析】試題分析：本題是解三角形的實際應用題，根據題意分析出圖中的數據，即∠ADB=30°，∠ACB=45°，所以，可以得出在Rt△ABD中，BD=AB，在Rt△ABC中，∴BC=AB．在△BCD中，由余弦定理，得BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos∠BCD，代入數據，運算即可得出結果．試題解析：根據題意得，在Rt△ABD中，∠ADB=30°，∴BD=AB，在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∴BC=AB．在△BCD中，由余弦定理，得BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos∠BCD，∴3AB2=AB2+CD2-2AB·CDcos120°整理得AB2-20AB-800=0，解得，AB=40或AB=-20（舍）．即電視塔的高度為40m考點：解三角形．20、（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）見解析【解題分析】

（Ⅰ）由莖葉圖中的數據計算、，進而可得平均分的估計值；（Ⅱ）求出基本事件數，計算所求的概率值；（Ⅲ）答案不唯一.從平均數與方差考慮，派甲參賽比較合適；從成績優秀情況分析，派乙參賽比較合適.【題目詳解】（Ⅰ）由莖葉圖中的數據，計算，，由樣本估計總體得，甲、乙兩名同學在培訓期間所有測試成績的平均分分別均約為分.（Ⅱ）從甲、乙兩名同學高于分的成績中各選一個成績，基本事件是，甲、乙兩名同學成績都在分以上的基本事件為，故所求的概率為.（Ⅲ）答案不唯一.派甲參賽比較合適，理由如下：由（Ⅰ）知，，，，因為，，所有甲的成績較穩定，派甲參賽比較合適；派乙參賽比較合適，理由如下：從統計的角度看，甲獲得分以上（含分）的頻率為，乙獲得分以上（含分）的頻率為，因為，所有派