天津市天津一中2024屆數學高一下期末質量跟蹤監視試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知，則的最小值是（）A．2 B．6 C．2 D．22．函數圖像的一個對稱中心是（）A． B． C． D．3．如圖，位于處的海面觀測站獲悉，在其正東方向相距40海里的處有一艘漁船遇險，并在原地等待營救．在處南偏西且相距20海里的處有一救援船，其速度為海里小時，則該船到求助處的時間為（）分鐘．A．24 B．36 C．48 D．604．設，，，若則，的值是（）A．， B．，C．， D．，5．已知圓錐的母線長為6，母線與軸的夾角為30°，則此圓錐的體積為（）A． B． C． D．6．在ΔABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若3asinC=A．π6 B．π3 C．2π7．邊長為的正三角形中，點在邊上，，是的中點，則（）A． B． C． D．8．函數的部分圖像如圖所示，則A．B．C．D．9．如圖所示，在ΔABC，已知∠A:∠B=1:2，角C的平分線CD把三角形面積分為3:2兩部分，則cosAA．13 B．12 C．310．某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學去參加演講比賽，事件“至少1名女生”與事件“全是男生”（）A．是互斥事件，不是對立事件B．是對立事件，不是互斥事件C．既是互斥事件，也是對立事件D．既不是互斥事件也不是對立事件二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知數列{an}、{bn}都是公差為1的等差數列，且a1+b1=512．已知數列前項和，則該數列的通項公式______.13．函數的最小正周期是________.14．數列的前項和，則__________.15．已知函數，對于上的任意，，有如下條件：①；②；③；④．其中能使恒成立的條件序號是__________．16．已知，且，則________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(1)求的最值、單調遞減區間；（2）先把的圖象向左平移個單位，再把圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），得到函數的圖象，求的值.18．如圖，在中，，為內一點，.（1）若，求；（2）若，求的面積.19．有n名學生，在一次數學測試后，老師將他們的分數（得分取正整數，滿分為100分），按照，，，，的分組作出頻率分布直方圖（如圖1），并作出樣本分數的莖葉圖（如圖2）（圖中僅列出了得分在，的數據）.（1）求樣本容量n和頻率分布直方圖中x、y的值；（2）分數在的學生中，男生有2人，現從該組抽取三人“座談”，求至少有兩名女生的概率.20．在中，內角所對的邊分別為，已知，且.（1）求；（2）若，求的值.21．已知函數.（1）求的單調遞增區間；（2）求在區間的最大值和最小值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】試題分析：因為,故.考點：基本不等式的運用，考查學生的基本運算能力．2、B【解題分析】

由題得,解出x的值即得函數圖像的一個對稱中心.【題目詳解】由題得,所以，所以圖像的對稱中心是．當k=1時，函數的對稱中心為.故選B【題目點撥】本題主要考查三角函數圖像的對稱中心的求法，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎題.3、A【解題分析】

利用余弦定理求出的長度，然后根據速度、時間、路程之間的關系求出時間即可.【題目詳解】由題意可知：，運用余弦定理可知：該船到求助處的時間，故本題選A.【題目點撥】本題考查了余弦定理的應用，考查了數學運算能力.4、B【解題分析】

由向量相等的充要條件可得：，列出方程組，即可求解，得到答案．【題目詳解】由題意，向量，，，又因為，所以，所以，解得，故選B．【題目點撥】本題主要考查了平面向量的數乘運算及向量相等的充要條件，其中解答中熟記向量的共線條件，列出方程組求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．5、B【解題分析】

根據母線長和母線與軸的夾角求得底面半徑和圓錐的高，代入體積公式求得結果.【題目詳解】由題意可知，底面半徑；圓錐的高圓錐體積本題正確選項：【題目點撥】本題考查錐體體積的求解問題，屬于基礎題.6、A【解題分析】

根據正弦定理asinA=csinC將題干等式化為3sinAsin【題目詳解】∵3asinC=3ccosA，所以3sinAsin【題目點撥】本題考查運用正弦定理求三角形內角，屬于基礎題。7、D【解題分析】

，故選D．8、A【解題分析】試題分析：由題圖知，，最小正周期，所以，所以.因為圖象過點，所以，所以，所以，令，得，所以，故選A.【考點】三角函數的圖像與性質【名師點睛】根據圖像求解析式問題的一般方法是：先根據函數圖像的最高點、最低點確定A，h的值，由函數的周期確定ω的值，再根據函數圖像上的一個特殊點確定φ值．9、C【解題分析】

由兩個三角形的面積比，得到邊ACCB=32，利用正弦定理【題目詳解】∵角C的平分線CD，∴∠ACD=∠BCD∵S∴設AC=3x,CB=2x，∵∠A:∠B=1:2，設∠A=α,∠B=2α，在ΔABC中，利用正弦定理2xsin解得：cosα=【題目點撥】本題考查三角形面積公式、正弦定理在平面幾何中的綜合應用.10、C【解題分析】至少1名女生的對立事件就是全是男生.因此事件“至少1名女生”與事件“全是男生”既是互斥事件，也是對立事件二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1【解題分析】

根據等差數列的通項公式把abn轉化到a1+(bn-1)【題目詳解】S=[=[=na1=4n+n(n-1)故答案為：12【題目點撥】本題主要考查等差數列通項公式和前n項和的應用，利用分組求和法是解決本題的關鍵．12、【解題分析】

由，n≥2時，兩式相減，可得{an}的通項公式；【題目詳解】∵Sn＝2n2（n∈N*），∴n＝1時，a1＝S1＝2；n≥2時，an＝Sn﹣＝4n﹣2，a1＝2也滿足上式，∴an＝4n﹣2故答案為【題目點撥】本題考查數列的遞推式，考查數列的通項，屬于基礎題．13、【解題分析】

根據函數的周期公式計算即可.【題目詳解】函數的最小正周期是.故答案為【題目點撥】本題主要考查了正切函數周期公式的應用，屬于基礎題．14、【解題分析】

根據數列前項和的定義即可得出．【題目詳解】解：因為所以．故答案為：．【題目點撥】考查數列的定義，以及數列前項和的定義，屬于基礎題．15、③④【解題分析】∵g（x）=[（﹣x）2﹣cos（﹣x）]=[x2﹣cosx]=g（x），∴g（x）是偶函數，∴g（x）圖象關于y軸對稱，∵g′（x）=x+sinx＞0，x∈（0，]，∴g（x）在（0，]上是增函數，在[﹣，0）是減函數，故③x1＞|x2|；④時，g（x1）＞g（x2）恒成立，故答案為：③④．點睛：此題考查的是函數的單調性的應用；已知表達式，根據表達式判斷函數的單調性，和奇偶性，偶函數在對稱區間上的單調性相反，根據單調性的定義可知，增函數自變量越大函數值越大，減函數自變量越大函數值越小。16、【解題分析】試題分析：由得：解方程組：得：或因為，所以所以不合題意，舍去所以，所以，答案應填：.考點：同角三角函數的基本關系和兩角差的三角函數公式.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），，單調遞減區間為；（2）.【解題分析】

（1）函數，得最大值為，并解不等式，得到函數的單調遞減區間；（2）由平移變換、伸縮變換得到函數，再把代入求值.【題目詳解】（1）因為，所以當時，，當時，.由，所以函數的單調遞減區間為.（2）的圖象向左平移個單位得：，再把圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）得：，當時，.【題目點撥】本題考查三角函數中的輔助角公式、三角函數的性質、圖象變換等知識，對三角函數圖象與性質進行綜合考查.18、（1）；（2）.【解題分析】

（1）求出，，中由余弦定理即可求得；（2）設，利用正弦定理表示出，求得，利用面積公式即可得解.【題目詳解】（1）在中，，為內一點，，，所以，中，由余弦定理得：所以中，由余弦定理得：；（2），設，在中，，在中，由正弦定理，即，，所以，的面積.【題目點撥】此題考查解三角形，對正余弦定理的綜合使用，涉及兩角差的正弦公式以及同角三角函數關系的使用，綜合性較強.19、（1），，；（2）【解題分析】

（1）利用之間的人數和頻率即可求出，進而可求出、；（2）列出所有基本事件，再找到符合要求的基本事件即可得解.【題目詳解】（1）由題意可知，樣本容量，，.（2）由題意知，分數在的學生共有5人，其中男生2人，女生3人，分別設編號為，和，，，則從該組抽取三人“座談”包含的基本事件：，，，，，，，，，，共計10個.記事件A“至少有兩名女生”，則事件A包含的基本事件有：，，，，，，，共計7個.所以至少有兩名女生的概率為.【題目點撥】本題考查了頻率分布直方圖和古典概型概率的求法，屬于基礎題.20、（1）；（2）.【解題分析】

（1）根據誘導公式、正弦定理、同角三角函數基本關系式，結合已知等式，化簡，結合，可得A的值；（2）由已知根據余弦定理可得，利用正弦定理可得聯立即可解得λ的值．【題目詳解】（1），，；（2），，而，，而，所以有.【題目點撥】本題考查了誘導公式、正弦定理、同角三角函數基本關系式