過關綜合測評第六章測評(時間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.(2021安徽廬陽校級期末)下列說法正確的是()A.若|a|=|b|,則a=b或a=bB.若a,b互為相反向量,則a+b=0C.零向量是沒有方向的向量D.若a,b是兩個單位向量,則a=b答案B解析當|a|=|b|時,a,b可能不共線,故A錯誤;若a,b互為相反向量,則a=b,a+b=0,故B正確;零向量的方向不確定,為任意方向,不能說零向量沒有方向,故C錯誤;若a,b是兩個單位向量,則|a|=|b|,而方向可能不同,故D錯誤.故選B.2.(2021安徽廬陽校級期末)已知兩點A(4,1),B(7,3),則與向量AB同向的單位向量是()A.35,-4C.-45,答案A解析∵A(4,1),B(7,3),∴AB=(3,4),故與向量AB同向的單位向量為AB|AB|=3.(2021全國甲卷)在△ABC中,已知B=120°,AC=19,AB=2,則BC=()A.1 B.2 C.5 D.3答案D解析設BC=x,由余弦定理得19=4+x22×2x·cos120°,解得x=3或x=5(舍).故選D.4.(2021北京朝陽校級月考)已知a=(1,2),b=(2,m),若a⊥(a+2b),則實數m的值為()A.14 B.12 C.1 D答案A解析∵a=(1,2),b=(2,m),∴a·b=22m.又a⊥(a+2b),∴a·(a+2b)=a2+2a·b=544m=0,解得m=14.故選A5.(2021四川巴中模擬)已知向量OA=(1,2),OB=(2,3),OC=(3,t).若A,B,C三點共線,則實數t=()A.4 B.5 C.4 D.5答案A解析向量OA=(1,2),OB=(2,3),OC=(3,t).若A,B,C三點共線,則存在實數x,使OC=xOA+(1x)OB,即3=x+2(1-6.(2021湖南郴州期末)已知平面向量PA,PB滿足|PA|=|PB|=1,PA·PB=12.若|BC|=1,則|ACA.21 B.31C.2+1 D.3+1答案D解析∵|PA|=|PB|=1,PA·PB=∴cos∠APB=PA·PB|∴∠APB=23π.由余弦定理,得AB2=PA2+PB22PA·PBcos∠APB=1+1+1=3.∴AB=3,則|AB|=3.∴當AB與BC同向共線時,|AC|有最大值3+1.7.(2021北京模擬)在等腰梯形ABCD中,AB=2CD,M為BC的中點,則AM=()A.12AB+C.34AB+答案B解析如圖所示,在等腰梯形ABCD中,AB=2CD,∴CD=12DC=又M為BC的中點,∴BM+CM=又AM=∴2AM=(AB+BM)+(=32∴AM=故選B.8.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,A=30°,BC邊上的高為1,則△ABC面積的最小值為()A.25 B.23C.2+3 D.2+5答案B解析設△ABC的面積為S,BC邊上的高為h,則h=1,∴S=12bcsinA=14bc,即bc=4又S=12ah=12∴S2=14a2=14(c2+b22bccosA)=14(c2+b23bc)≥14(2bc3bc)=2-34bc=2-34×4S=(23)S,當且僅當b=c故△ABC面積的最小值為23.故選B.二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.已知向量a=(1,3),b=(2,1),c=(3,5),則下列選項正確的有()A.(a+2b)∥c B.(a+2b)⊥cC.|a+c|=10+34 D.|a+c|=2|答案AD解析a+2b=(3,5),故A正確,B錯誤;|a+c|=(1+3)2+(3-5)2=25=2|b|10.(2021廣東寶安校級期末)設P是△ABC所在平面內的一點,AB+AC=3AP,則(A.PA+PB=0 B.PBC.PA+AB=PB D答案CD解析因為AB+AC=3AP,所以PB-PA+PC-PA3AP=0,即PA+PB+PC=0,故11.(2021江蘇建鄴校級月考)已知滿足C=30°,AB=4,AC=b的△ABC有兩個,那么b可能是()A.5 B.6 C.7 D.8答案ABC解析在△ABC中,C=30°,AB=4,AC=b,由正弦定理,得ABsinC=ACsinB,即4sin30°=bsinB,解得sinB=b8.由題意知,當sinB∈12,1時,滿足條件的△ABC有兩個,12.(2021江蘇常州期末)在△ABC中,滿足cos2A+cos2B=1,則下列說法正確的是()A.A+B=πB.|tanA|=cosBcosC.若A,B為不同象限的角,則tan(A+B)+2tanAD.sin2A+sin2答案BC解析對于A,由cos2A+cos2B=1,得|cosB|=|sinA|,可得A+B=π2或AB=π2,故A錯誤;對于B,由|cosB|=|sinA|,得|tanA|=cosBcosA,故B正確;對于C,因為A,B為不同象限的角,所以tanAtanB=1,所以A,B中必有一角大于π2,所以C∈0,π2,tanC>0,所以tan(A+B)+2tanA+tanB=tanC+2(tanAtanB-1)·tanC=tanC+1tanC≤2,當且僅當tanC=1時,等號成立,故C正確;對于D,因為sin2A+sin2B+sin2C=sin[(A+B)+(AB)]+sin[(A+B)(AB)]+sin2C=2sin(A+B)cos(AB)+2sinCcosC=2sinCcos(AB)2sinCcos(A+B)=4sinAsin三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.(2021湖南懷化期末)在水流速度為4km/h的河流中,有一艘船沿與水流垂直的方向以8km/h的速度(船在靜水中的速度)航行,則船實際航行的速度的大小為km/h.

答案45解析由題意,如圖,OA表示水流速度,OB表示船在靜水中的速度,則OC表示船的實際速度.則|OA|=4,|OB|=8,∠AOB=90°,∴|OC|=42+82∴實際速度的大小為45km/h.14.(2021全國乙卷)記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,面積為3,B=60°,a2+c2=3ac,則b=.

答案22解析由題意可知△ABC的面積S=12acsin60°=3,整理得ac=4.結合已知得a2+c2=3ac=12因為B=60°,由余弦定理可得b2=a2+c22accosB=122×4×cos60°=8,所以b=22.15.(2021安徽蕪湖模擬)已知a,b,c是單位向量,a+b+c=0,則|ab|=.

答案3解析由a+b+c=0,得a+b=c,∴(a+b)2=(c)2.∵a,b,c是單位向量,∴a·b=12∴|ab|=(a16.(2021浙江卷)在△ABC中,∠B=60°,AB=2,M是BC的中點,AM=23,則AC=,cos∠MAC=.

答案213解析由題意作出圖形,如圖,在△ABM中,由余弦定理得AM2=AB2+BM22BM·BA·cosB,即12=4+BM22BM×2×12解得BM=4(負值舍去),所以BC=2BM=2CM=8.在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC22AB·BC·cosB=4+642×2×8×12=所以AC=213.在△AMC中,由余弦定理的推論,得cos∠MAC=AC四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)已知平面上點A(4,1),B(3,6),D(2,0),且BC=(1)求|AC|;(2)若點M的坐標為(1,4),用基底{AB,AD}表示解(1)設點C的坐標為(x,y),已知點A(4,1),B(3,6),D(2,0),所以BC=(x3,y6),AD=(2,1).又BC=AD,所以x所以點C的坐標為(1,5),AC=(3,4),所以|AC|=(-3)2(2)已知點M(1,4),所以AM=(5,3),AB=(1,5),AD=(2,1).設AM=λAB+μAD,即-5=-λ-2μ18.(12分)(2021安徽定遠校級期末)已知向量a=(1,2),b=(3,x),c=(2,y),且a∥b,a⊥c.(1)求b與c;(2)若m=2ab,n=a+c,求向量m,n的夾角的大小.解(1)由a∥b,得x2×3=0,解得x=6.由a⊥c,得1×2+2y=0,解得y=1.故b=(3,6),c=(2,1).(2)∵m=2ab=(1,2),n=a+c=(3,1),∴m·n=1×32×1=5,|m|=(-1)2+(-2∴cos<m,n>=m·n|又0≤<m,n>≤π,∴向量m,n的夾角為3π19.(12分)(2021安徽瑤海月考)已知海島A四周8海里內有暗礁,有一貨輪由西向東航行,在B處望見島A在北偏東75°,航行202海里后,在C處望見此島在北偏東30°,若貨輪不改變航向繼續前進,有沒有觸礁危險?請說明理由.解沒有觸礁危險,理由如下:如圖所示,由題意知,∠ABC=15°,∠ACD=60°,∴∠BAC=45°.在△ABC中,BC=202,由正弦定理得AC=BCsin15°sin45°=40sin15°=在直角三角形ACD中,AD=AC?sin60°=15256>8,從而可知貨輪不改變航向繼續前進沒有觸礁的危險.20.(12分)(2021浙江北侖校級期中)如圖,在直角梯形ABCD中,角B是直角,AD=2BC,AB=AD=2,E為AB的中點,DP=λDC(0≤λ≤1).(1)當λ=13時,用DA,DC(2)求|PE|的最小值并求出相應的實數λ的值.解(1)當λ=13時,DP故PE=12(PA+PB)=1(2)建立如圖所示的平面直角坐標系,則AD=(2,0),DC=(1,2).因為DP=λDC=(λ,2λ),0≤λ≤1,所以AP=AD+DP=(2λ,2λ),P的坐標為(2λ因為E的坐標為(0,1),所以PE=(λ2,12λ),|PE|=(λ當λ=45時,|PE|取得最小值321.(12分)(2021浙江期中)已知△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,(a+2c)cosB+bcosA=0.(1)求角B的大小;(2)若b=3,求△ABC的周長的最大值.解(1)已知(a+2c)cosB+bcosA=0,則(sinA+2sinC)cosB+sinBcosA=0,即sinAcosB+cosAsinB+2sinCcosB=0,sin(A+B)+2sinCcosB=0,sinC+2sinCcosB=0,∵sinC>0,∴cosB=12∵0<B<π,∴B=2π(2)∵b=3,sinB=32,∴由正弦定理得asinA=bsinB=csinC=23,即a=23∴△ABC周長為a+b+c=23(sinA+sinC)+3=23sinA+sinπ3-A+3=23sinA+π∵0<A<π3,∴π3<A+∴sinA+π3∈32,1,即23sinA+π3+3∈(6,2322.(12分)(2021新高考Ⅰ卷)記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知b2=ac,點D在邊AC上,BDsin∠ABC=asinC.(1)證明:BD=b;(2)若AD=2DC,求cos∠ABC