第六章

平面向量及其應用6.4平面向量的應用6.4.1平面幾何中的向量方法6.4.2向量在物理中的應用舉例必備知識?探新知關鍵能力?攻重難課堂檢測?固雙基素養目標?定方向素養目標?定方向1．掌握用向量方法解決簡單的幾何問題、力學問題等一些實際問題．2．體會向量是一種處理幾何問題、物理問題的重要工具．3．培養運用向量知識解決實際問題和物理問題的能力．通過合作探究用向量方法解決平面幾何問題的實際過程，體會數學建模及邏輯推理素養.必備知識?探新知

用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”

知識點

1(1)建立平面幾何與向量的聯系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題．(2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題．(3)把運算結果“翻譯”成幾何關系．向量在物理中的應用

知識點

2(1)物理問題中常見的向量有力、速度、位移等．(2)向量的加減法運算體現在一些物理量的合成和分解中．(3)動量mv是向量的數乘運算．(4)功是力F與位移s的數量積．練一練：A．平行四邊形

B．菱形C．等腰梯形

D．非等腰梯形C2．某人在無風條件下騎自行車的速度為v1，風速為v2(|v1|>|v2|)，則逆風行駛的速度的大小為(

)A．v1－v2 B．v1＋v2[解析]

題目要求的是速度的大小，即向量的大小，而不是求速度，速度是向量，速度的大小是實數．故逆風行駛的速度的大小為|v1|－|v2|.C關鍵能力?攻重難題|型|探|究題型一平行(共線)問題典例1[歸納提升]

(1)證明A，B，C三點共線的步驟①證明其中兩點組成的向量與另外兩點組成的向量共線．②說明兩向量有公共點．③下結論，即A，B，C三點共線．(2)證明三點共線的方法①基底法．②坐標法．

(1)已知A，B，C，D四點的坐標分別為(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，則此四邊形為(

)A．梯形

B．菱形C．矩形

D．正方形(2)如圖所示，在平行四邊形ABCD中，BC＝2BA，∠ABC＝60°，作AE⊥BD交BC于點E，求BE∶EC．對點練習?A題型二垂直問題

如圖所示，在正方形ABCD中，P為對角線AC上任一點，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分別為E，F，連接DP，EF，求證：DP⊥EF.典例2證法二：設正方形的邊長為1，建立如圖所示的平面直角坐標系，[歸納提升]

向量法解決平面幾何問題的兩種方法(1)基底法：選取適當的基底(盡量用已知模或夾角的向量作為基底)，將題中涉及的向量用基底表示，利用向量的運算法則、運算律或性質計算；(2)坐標法：建立平面直角坐標系，實現向量的坐標化，將幾何問題中的長度、垂直、平行等問題轉化為代數運算．一般地，題目中已建好坐標系或易建坐標系的問題適合用坐標法．

如圖所示，在正方形ABCD中，E，F分別是AB，BC的中點，求證：AF⊥DE.對點練習?題型三長度與距離問題

證明：平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和．已知：平行四邊形ABCD．求證：AC2＋BD2＝AB2＋BC2＋CD2＋DA2.典例3所以，平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和．得證.

已知Rt△ABC中，∠C＝90°，設AC＝m，BC＝n.(2)若E為CD的中點，連接AE并延長交BC于F，求AF的長度(用m，n表示)．對點練習?[解析]

(1)證明：以C為坐標原點，以邊CB，CA所在的直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標系，如圖所示，A(0，m)，B(n,0)．題型四向量在物理中的應用

(1)在重300N的物體上系兩根繩子，這兩根繩子在鉛垂線的兩側，與鉛垂線的夾角分別為30°，60°(如圖)，求重物平衡時，兩根繩子拉力的大小；(2)已知兩恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一質點，使之由點A(20,15)移動到點B(7,0)，求F1，F2分別對質點所做的功(力的單位：N，位移的單位：m)．典例4[分析]

(1)向量在解決涉及速度、位移等物理量的合成與分解時，實質就是向量的線性運算．(2)物理上力的做功就是力在物體前進方向上的分力與物體位移的乘積，即W＝|F||s|cos〈F，s〉，功是一個實數，它可正可負，也可以為零．力的做功涉及兩個向量及這兩個向量的夾角，它的實質是向量F與s的數量積．所以與鉛垂線成30°角的繩子的拉力是150N，與鉛垂線成60°角的繩子的拉力是150N.[歸納提升]

用向量方法解決物理問題的“三步曲”(2)一物體在力F1＝(2,4)和F2＝(－5,3)的作用下，由點A(1,0)移動到點B(2,4)，在這個過程中這兩個力的合力對物體所做的功等于(

)A．25 B．5C．－5 D．－25對點練習?A∴∠AOC＝60°，∴小船的實際航行速度為20km/h，按北偏東30°的方向航行．即兩個力的合力對物體所做的功等于25.故選A．易|錯|警|示做功問題因對角度認識不清而致錯

如圖所示，某人用1.5m長的繩索，施力25N，把重物沿坡度為30°的斜面向上拖了6m，拖拉點距斜面的垂直高度為1.2m．求此人對物體所的功．典例5[錯因分析]

要求此人對物體所做的功，可以轉化為求解作用力F與物體的位移s兩者之間的數量積，根據向量數量積的公式，關鍵是求解作用力F與物體的位移s兩者之間的夾角的大小，進而根據公式求得此人對物體所做的功．錯解中錯誤地利用了題目中給出的角度，此角度不是作用力F與物體的位移s兩者之間的夾角．

如圖所示，在傾斜角為37°(sin37°＝0.6)，高為2m的斜面上，質量為5kg的物體m沿斜面下滑，物體m受到的摩擦力是它對斜面壓力的0.5倍，則斜面對物體m的支持力所做的功為_____J，重力對物體m所做的功為_______J(g＝9.8m/s2)．對點練習?098課堂檢測?固雙基A．平行四邊形

B．梯形C．等腰梯形

D．菱形C2．已知作用在點A(1,1)的三個力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)，則合力F＝F1＋F2＋F3的終點坐標是(

)A．(8,0) B．(9,1)C．(－1,9) D．(3,1)[解析]

∵F＝(8,0)，∴終點坐標為(8,0)＋(1,1)＝(9,1)，故選B．BA．平行四邊形

B．矩形C．等腰梯形

D．菱形D4