第九章數字控制器的設計

本章要點：

1數字控制器連續化設計方法、PID算法及改進

與參數整定

2數字控制器離散化設計方法、最少拍控制及

大林、施密斯預估算法

數字串級控制與數字前饋控制的設計

4O數字程序控制的設計

返回總目錄

本章主要內容

11M

>9.1數字控制器的連續化設計

>9.2數字控制器離散化設計

>9.3數字串級控制器的設計

>9.4數字前饋控制器的設計

>9.5數字程序控制器的設計

>思考題

t引言

自動化控制系統的核心是控制器。控制器的任務是按

照一定的控制規律，產生滿足工藝要求的控制信號，以輸

出驅動執行器，達到自動控制的目的。在傳統的模擬控制

系統中，控制器的控制規律或控制作用是由儀表或電子裝

置的硬件電路完成的，而在計算機控制系統中，除了計算

機裝置以外，更主要的體現在軟件算法上，即數字控制器

的設計上。

數字控制器的設計主要有連續化設計和直接離散化設

計兩種設計方法。

復雜的過程控制系統，如串級控制、前饋-反饋控制

和數字程序控制也可以通過計算機實現其控制算法。

9.1數字控制器的連續化設計

主要知識點：

>9.1.1數字控制器的連續化設計步驟

?9.1.2PID控制規律

?9.1.3基本數字PID控制算法

>9.1.4改進的數字PID控制算法

>9.1.5數字PID參數的整定

9.L1數字控制器的連續化設計步驟

設計思想：將整個系統看作模擬系統，設計模擬控

制器后再迸行控制器的離散化。

D(s)

圖9-1計算機控制系統的結構圖

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1設計步驟：

1.設計假象的連續控制器D(s)

2.將D(s)離散化為D(z)

3.設計由計算機實現的控制算法

4.校驗

設計假想連續控制器D(s)

一種方法是事先確定控制器的結構，如后面

I尋要重點介紹的PID算法等，然后通過其控制參

數的整定完成設計。

另一種設計方法是應用連續控制系統的設

計方法如頻率特性法、根軌跡法等，來設計出控

制器的結構和參數。

2.將D(S)離散化為D(Z)

離散化方法：

[,雙線勝變換法：D(Z)^D(5)21I

/事

優點：D(s)穩定，D(z)也穩定。

'前向差分法D(z)=D(s)\s_z-i

2差分變化法：\,一〒

、后向差分法D(z)=D(s)i-z-1

S——

T

可由數值微分轉化成差分方程求得O

3.設計由計算機實現的控制算法

裨數字控制器的一般形式為

U(z)b。+bz~x+…

xrn

丁…[I—1I

1+。仔+…

E(z)n

—2

U(z)=(-t/jZ-1一呼一…)U(z)

+(Z)+bz~x+…)E(z)

oxnt

上式用時域表示為

u(k)——axu(k——a2u(k—2)——n)

+4。(左)+4。(左一1)+…〃一~m)

上式為數字控制器D(z)的控制算法。

4.設計性能校驗

需按閉環系統性能進行校驗,可采用數字仿真方法驗證。

09.L2PID控制規律

偏差信號按比例、積分、微分的

函數關系進行運算，其運算結果用以輸出控制。

模擬PID控制器

c(t)

圖9-2PID控制系統原理框圖

e(t)

效果：立即減少偏差

優點：調節及時

缺點：系統存在余差

Kpe(t)

D

圖9-3比例作用階躍響應曲線

2.積分控制

1

u(t)=一[e(t)dt

Jo

效果：消除余差

圖9-4積分作用階躍響應曲線

3.微分控制

de(t)

a(t)=Td

dt

效果：具有超前控制作用

圖9-5實際微分作用階躍響應曲線

4.比例積分微分控制

1產de(t)

u(t)=Kp[e(t)+-fe(t)dt+T^-^]

7]Joddt

傳遞函數：約六舒=Kp(l」+TdS)

*

Kp——比例系數

積分時間

Td—微分時間

圖9-6比例積分微分作用階躍響應曲線

歸納起來，PID控制規律主要具有以下優點:

(1)蘊涵了動態控制過程中的過去、現在和將

來的主要信息。其中，比例P代表了當前的信

息，起糾正偏差的作用，使過程反應迅速；微

分D代表了將來的信息，在信號變化時有超前

控制作用，使系統的過渡過程加快，克服振蕩

提高系統的穩定性；積分I代表了過去積累的

信息，它能消除靜差，改善系統靜態特性。此

三種作用配合得當，可使動態過程快速、平穩

、準確，收到良好的控制效果。

(2)控制適應性好，有較強的魯棒性，適合于

各種工業應用場合。

(3)算法簡單明了，形成了完整的設計和參數

整定方法，很容易為工程技術人員所掌握。

9.1.3基本數字PID控制算法

數字P1D控制器，即用計算機軟件來實現

P1D控制規律，當采樣周期足夠短時，用求和代

替積分、后向差分代替微分，就可以使模擬PID

離散為數字PID控制算法。

k

￡e(t)dtxT^e(i)

i=0

de(t)e(k)-e(k-l)

----------x------------------------------

dt

.L數字PID位置型控制算法

T々e(k)-e(k-l)

u(k)=Kp[e(k)+-Ye(i)+Td———勺

T七T

或

k

u(k)=Kpe(k)+K/e(i)+Kd[e(k)-e(k-l)]

i=0

式中7

Kp=——比例系數

o

降=降號——積分系數

A

2*—微分系數

2.數字PID增量型控制算法

引出：位置型算式使用很不方便，這是因為要

累加所有的偏差，不僅要占用較多的存儲單

元，而且不便于編寫程序。

U(z)T心（-Z-）

G(z)=—^^G(s)]-----------------i-■h

s=(l-z~')/T

研z)r.d-z-1)T

,Tr—

Kp(「/)+7+六1—Z」)2

TTTT

K(1+—+，)—(1+2，”一|十，z一2

PTTTT

-----------------;]

1(1-z-1)L/(z)=K(1+—+，)—(1+2」”一1+E(z)

p[_rTTT

寫成差分形式：

△u(k)=u(k)—u(k—1)=%。(左)+q、e(k—1)+q?e(k—2)

TT,

其中%=3(1+亍+了)

2T

q「KpQ+才)〉

q?=K

T

3.數字PID控制算法實現方式比較

y(t)

(a)位置型

y(t)

(b)增量型

圖9?7數字PID位置型與增量型控制算法示意圖

增量型控制算法與位置型控制算法相比較,

具有以下優點：

(1)增量型控制算法不需要做累加，控制量的

確定僅與最近幾次誤差采樣值有關，其計算誤

差或計算精度對控制量的影響較小，而位置型

控制算法要求用到過去的誤差累加值，容易產

生較大的累加誤差。

(2)增量型控制算法得出的是控制量的增量，

誤差影響小，必要時通過邏輯判斷限制或禁止

本次輸出，不會嚴重影響系統的工作，而位置

型控制算法的輸出是控制量的全量輸出，因而

誤動作的影響大。

(3)采用增量型控制算法易于實現從手動到自

動的無擾動切換。一

]4.數字PID控制算法流程

u(k)=u(k-1)+(左)=u(k-1)+q0e(k)+q}e(k-1)+q2e(k—2)

9.1.4數字PID算法的改進

常用數字PID的幾種改進算法:

積分分離算法

抗積分飽和算法

不完全微分PID控制算法

微分先行PID控制算法

帶死區的算法

1.積分分南算法

h象：一般的PID,當有較大的擾動或大幅度改變設定值時，

由于短時間內大的偏差，加上系統本身具有的慣性和滯后，在

積分的作用下，圈引出現起系統過量的超調和長時間的波動。

積分的主要作用：在控制的后期消除穩態偏差。

積分分離措施:

當\e(k)\>j3時，采用PD控制

當卜(刈譯時，采用PID控制

普通分離算法:大偏差時不積分—積分“開關”控制

積分分常值的確定原則

圖9-9不同積分分離值下的系統響應曲線

/

/

/

?

/?

/

/

/

??

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

./?

/

/

/

/

/

./?

/

/

??

0J

/

，

/

，

，

s

中

gg0中

+<

①4

2.抗積分飽和措施

丁獎積分飽和算法：當控制輸出達到系統的上下限限幅值

時，停止積分。

?當\u{k}\<umm時，采用PD控制

?當"minWu(k)<"max時，采用PD控制

?當\u{k}\>u_時，正常的PID控制

串級控制系統抗積分飽和：主調節器抗積分飽和根據副調節

器

輸出是否越限。

1?抗積分飽和與積分分離的對比

相同：某種狀態下，切除積分作用。

不同（特點）:

※積分分離根據偏差是否超出預設的分離值

（大偏差時不積分）

※抗積分飽和根據最后的控制輸出是否越限

（輸出超限時不積分）

,3.不完全微分P1D控制算法

I訶題引出：

1）對有高頻擾動的生產過程，微分作用響應過于

敏感，易引起振蕩，降低調節品質；

2）執行需要時間，而微分輸出短暫，結果是執行

器短時間內達不到應有開度，使輸出失真。

解決：

在輸出端串聯一階慣性環節，組成不完全微分PID控

制器。?

圖9?10不完全微分數字PID控制器

111

G("而f1+—+^

1+T產、Tis)

其中，一階慣性環節的傳遞函數:

1

Df(s)=--------

/T,s+1

1〃，de(f)

沈'⑴*e?)H|+T,--------

TJodt

du(t)、,、

Tf------------1-u(t)=u(t)

dt

所以

d〃?)1ide(t)

/f+〃?)=Kpe?)+—fe(t)dt+T.

TJo

dtT,dt

不完全微分數字PID位置型控制算式

u(k)=au(k—1)+(1—a)u，(k)

式中:

u,KTAe(k)-e(k-l)

(^)=Pe(左)+—Xe(z)+7；------------

刀i=oT

a----------

T.+T

不完全微分PID控制器的增量型控制算式:

￥(左)=a?A〃(左—1)+(1—?)?Au'(k)

式中:

△u'(k)=Kp[e(k)-e(k-1)]+K,e(k)+Kd[e(k)-2e(k-1)+e(k-2)]

已

額

分

t項

—kT

(a)基本PID算法(b)不完全微分FID算法

圖9-11兩種微分PI愧制作用的階躍響應

*4.微分先行PID控制算法

問題引出：

給定值的升降會給控制系統帶來沖擊，如超調量過

大，調節閥動作劇烈。

解決：

采用微分先行的PID控制算法。

傳遞函數

U(s)

G(s)==K

E(s)

圖9-12微分先行PID控制算法示意圖

*微分先行PID控制算法和基本PID控制的不

甲同之處在于:

只對被控量（測量值）y。）微分，不對偏差

e（t）微分，也就是說對給定值無微分作用。

適用于：給定值頻繁升降的控制系統。

4.帶死區的算法

該算法是在原PID算法的前面增加一個不靈敏區的非線性環

節來實現的，即r,,

>B

<B

式中，s為死區增益，其數值可為0,0.25,0.5,1等,

-----------—I-----1y(’)

PID\—y〃o(s)|—G(s)r-i-

注意：死區是一個非線性環節，不能象線性環節一樣隨便移到

PID控制器的后面。

9.1.5數字PID參數的整定

理論整定方法：以被控對象的數學模型為基礎,

通過理論計算如根軌跡、頻率特性等方法直接

求得控制器參數。

?工程整定方法：近似的經驗方法，不依賴模型。

擴充臨界比例帶法，擴充響應曲線法，試湊法

數字控制器與模擬控制器相比，除了需要

整定PID參數，即比例系數、積分時間和微分

時間外，還有一個重要參數——采樣周期。

1.采樣周期的確定

〒■從控制系統方面考慮，影響采樣周期選擇的因素主要有：

舁象的動態特性、擾動的特性、控制算法、執行機構的速度

跟蹤性能的要求。

表9-1采樣周期T的經驗數據

J

翻修教采樣雕(S)。備…在

潦量1Z4觥達期不

助3毅加觥也用卜8s

跛15-20.娜愉桐申級系給

粉15/%副環1=1/4^1/51王母

312.擴充臨界比例帶法

擴充臨界比例帶法--模擬調節器中使用的臨界比例帶法

(也稱穩定邊界法)的擴充，是一種閉環整定的實驗經驗方

法。按該方法整定PID參數的步驟如下：

(1)選擇一個足夠短的采樣周期Tmin。

(2)找臨界狀態的參數。

(3)選定控制度。

(4)查表9-2,求得T、Kp、TI、Ta,的值。

(5)按參數投入運行，做調整。

3.擴充響應曲線法

利用擴充響應曲線法進行數字PID的整定。其步驟如下：

■(1)斷開數字控制器，使系統在手動狀態下工作。將被控量調節到給

定值附近，當達到平衡時，突然改變手操值，相當給對象施加一個階躍

輸入信號。

■(2)記錄被控量在此階躍作用下的變化過程曲線(即廣義對象的飛升

特性曲線。

■)根據飛升特性曲線，求得被控對象純滯后時間T和等效慣性時間常

數丁。.據此求得數字PID的整定參數的、、、值，按參數投入

TKpTI.Ta,

在投運觀察控制效果。

4.試湊法

—通過模擬或實際的系統璧還運行情況，觀察

系統的響應曲線，根據各參數對系統響應的大

致影響，反復試湊，直至達到滿意的目標。

試湊步驟：

1）整定比例部分（純P作用）。

2）加入積分環節（P工作用）。

3）加入微分環節（PID作用）。

P、I、D參數對系統性能的影響:

(1)增大比例系數KP,會加快系統的響應，有利

于減少靜差，但KP過大會使系統產生較大的超調,

甚至振蕩，使穩定性變壞。

(2)增大積分時間Ti,有利于減少超調，減少振

蕩，使穩定性增加，但系統靜差的消除將隨之減

慢。

(3)增大微分時間Td,有利于加快系統的響應，

使超調量減少，穩定性增加，但系統對擾動的抑

制能力減弱，對擾動有敏感響應的系統不宜采用

微分環節。書區

4.仿真尋優法

運用仿真工具，或離散化后編程仿真

?尋優方法：如單純形法、梯度法等

?常見積分型性能指標：

ISE=fe\t)dt

Jo

r00

IAE-[e(Z)dt

Jo

ITAE=\te?)dt

,2數字控制器的離散化設計

主要知識點

■9.2.1數字控制器的離散化設計步驟

>9.2.2最少拍控制系統的設計

>9.2.3純滯后控制

9.2.1數字控制器的離散化設計步驟

系統的閉環脈沖傳遞函數為①(Z)==°仁)6(彳)

R(z)l+O(z)G(z)

誤差脈沖傳遞函數為①(Z)=￡⑶=--------!--------=i-①(Z)

eR(z)l+D(z)G(z)

數字控制器的Q(z)=①⑶=①⑶

脈沖傳遞函數為G(z)[l-①(z)]G(z)①e(z)

9.2.2最少拍控制系統設計

最少拍控制系統是指系統在典型輸入信號作

用下，具有最快的響應速度。也就是說，系統經

過最少個采樣周期(或節拍)，就能結束瞬態過

程，使穩態偏差為零。

1.最少拍控制系統D(Z)的設計

根據性能要求，要達到最少拍、無靜差，E(z)

應該在最短的時間內趨于零。因為：

l2

E(z)—①工z)R(z)=e0erz~+e2z~+.......

在輸入R(z)一定的情況下，必須對0/z)提出要.

辛典型的輸入信號：

1)單位階躍輸入r(t)=1(t)R(z)=1二

1—Z

/\Tz-

2)單位速度輸入丫(t)=tR⑺=

7(1r-Z,

3)單位加速度輸入R(z)

22(1-z)

輸入信號的一般表達式：R(z)=z)

/7—1\N

(1一Z)

誤差:z)

E(z)=(Pe(z)R(z)=

(/17—Z一/)\N

表9-4各種典型輸入下的最少拍系統.

典型輸入，典型輸入，誤差脈沖傳函'閉環脈沖傳函.，最少拍調節器，

調節時間，

R(z>①e(Z)①(Z"D(z)，

z~l

K(z)—[-ip

1-Z-1Pz"cr

1-z(1-z”⑵

TU-12z-1-z-2

R(z)=?二.l2

to12(If2z~-z~~2?

(1-z)(l—yG(z)

e-3Z~1-3z~2+z~3

3Z-1-3Z-2+Z-3

一132(1-z-1)3(1-少3T

2。一z-1)3G(z)

采樣周期T=ls

輸入：單位速度

求：最少拍數字控制器

求解步驟：1.求廣義對象等效脈沖傳遞函數G(Z)

2.設計誤差脈沖傳遞函數①0⑶

3.計算求取最少拍控制器。⑶

4.輸出Y(Z)和誤差E(Z)的驗證

*

例9.1解

解:被控對象“零階保」i器的等效脈沖傳遞函數為

,（；“（￡）［11（）

6（二）二（1三"）Z4—=（1-z-1?-------

S?（S+1）

Mka

3.6X二」（1+0.718二」）

（I二"）（1（）.363）

根據最少拍藕崎斷的要求，對單/"工段瑜入應選叫⑶=(l-zT)

例9.1解（續）

?、1-此時輸出1（2）=①（2）尺（Z）二［1一①e（Z）］火（Z），

Mz)=------：-----

6(二)中,(二)

Z」

二(2z-1-z-2)—-T=2z~2+3z-3+4z~4+

1(1-z-1)2

0.36X7(1+0.718二“):

二」）2

(11-0.368

二")(二」)z~l

誤差E⑶=①0(Z)K(Z)=(1-Z-1)2i~~7=Z

(I)?

0：43(l0.5二」)(1U.36X二

(1z-1MI+O.718Z-1)

5

4

3

2

1

0A

T3T5T7T

單位遂度輸入下輸出和誤差變化/形

從圖中可以看出，系統經過了兩個采樣周期以后，輸出完全跟

入，穩態誤差為零。

“9.1討論

該系統是針對單位速度輸入設計的最少拍系統，那么這個系統

對其它輸入是否還能成為最少拍呢？

單位階躍輸入時

火-1_1-2-3

y(z)=①(z)(z)=(2z—z1)?—1—?=2z+z+z+

\—z~

單位加速度輸入時

丫⑶二

g2

A

1

0

2.最少拍控制器D(Z)設計的限制條件

m

心-『口(1-z/T)

被控對象一般形式

G(z)=—--------------

則最少拍控制器Z，①(Z)立(1-P/T)

1=1

當對象存在單位圓上和單位圓外的不穩定零點時，避免控

制器不穩定，必須能把對象中k?(除z，=l夕卜)的零點

作為①⑶的零點。但這樣修會使調節時間加長。

◎

------------

考慮控制器的可實現性和系統的穩定性，

設計最少拍控制器必須考慮以下幾個條

言:為實現無靜差調節，選擇叫⑶時，必須針

對不同的輸入選擇不同的形式，通式為：

1N

d>e(z)=(l-z-)F(z)

2)為保證系統的穩定性，叫“)的零點應包含G")

的所有不穩定極點。

3）為保證控制器物理上的可實現性,G（z）的

所有不穩定零點和滯后因子均應包含在中。

4）為實現最少拍控制fz）應盡可能簡單，F（z）

的選擇要滿足恒等式：

①e（Z）+①（Z）三1

例9.2

圖9?15所示單位反饋線性離散系統中:

10

被控對象Gp(s)=

5(0.15+1)(0.055+1)

米樣周期T-0.2s

輸入：單位階躍

求：最少拍數字控制器

例9.2解

解：被控對象與零階保持器的等效脈況傳

<,口=u.二」憶爐］=（1啦02：；（）.05、山

（）.76二」（1+（）.05三口）（I+1.065二」）

（1二"）（1（）.135二"）（10.（）115二」）

式中,有一個零點（z=-l.Q65）在單位圓外糖二個滯后露不

根據設計最少拍系統的限制條件,川假設

中/二）=（1z'］）F（z）

①（二）=4二-1（1+1965二」）

例9.2解（續）

由牝（二）=1中（二）川知,中j二）、①（二）成"i是同階次多項式.H盡川能簡洋

F(z)=(l+bz~l)

a和人為待定系數

分別代入恒等式①。)+中⑶三I.川得

az~l(I+1.065z-1)+(1z~l)(1+h二八)=1

a=0.4X4

解得

/>=0,516

①（二）=0.4N4二」（1+1.（小二」）

①，(二)=(1二」)(1I().516z-1)

例9.2解（續）

①（Z）

G(Z)①<Z)

（）.4X4二」（I+1.065二」）

0.7()二/(1+0.05二」)(1+1()65二-I)

二」)(1+0.516Z-1)

(1二")(1().135--1)(1O.O185Z-1)

0.636(10.01X5二」)(1().13”、

(I+0.05z-|)(I+0.516z_|)

-，1-111

y(z)=①(z)K(z)=0.484z(l+1.065Z)------r

1-z~

=0.484zT+z-2+z-3+……

E(z)==(I二*1?().516J*1)-------y

=l+0.516z-1

該式說明輸出響應火后），經兩拍后，完全跟蹤輸入，穩態誤差為零。

顯然，由于有單位圓外的零點，響應時間與表9-4相比，增加了一拍

3.最少拍無紋波控制器的設計

最少拍控制器的設計方法雖然簡單，但也存在一

定的問題：一是對輸入信號的變化適應性差；二是通

過擴展z變換方法可以證明，最少拍系統雖然在采樣點

處可以實現無靜差，但在采樣點之間卻有偏差，通常

稱之為紋波。這種紋波不但影響系統的控制質量，還

會給系統帶來功率損耗和機械磨損。

通過一個例子分析最少拍系統中紋波產生的原

因和解決辦法。

V〉

例9.3

圖9?15所示單位反饋線性離散系統中：

被控對象Gp(s)=-1-—

s(s+1)

采樣周期T=1s

輸入：單位階躍

求：1)設計普通最少拍控制器

2)分析紋波產生原因及解決辦法

3)設計無紋波最少拍控制器

例9.3解

解：被控對象與零階保持器的等效脈沖傳遞函數為

,G(s),10

G(z)=(l-z-1)Z0—=(l-z-1)Z

ss2(s+1)

111

:10(l-z-1)Z

3.68ZT(1+0.718Z7)

(l-z-1)(l-0.368z-1)

例9.3解(續)

-1

⑴設閉環脈沖傳遞函數O(Z)=ZF2(Z)

設誤差脈沖傳遞函數①「⑶=(1-Z-l)尸i(Z)

由①e(z)=l-①(z)且取F](z)=lG(z)=l

—1

①(Z)Z

Q(z)=

G(z)①°(z)3.68z-i(l+0.718z-i)

(l-z-1)(l-0.368z-1)(%

0.272(1-0.368zT)

(l+0.718z-1)

例9.3解（續）

輸出y(z)=①(z)&(z)=Z-'——p=Z-1+z-2+z"+z-4+…

1-Z-

誤差￡(z)=①(z)R(z)=(1—z-1)-------一-]=1=z°+0-z-1+0.z一之+…

e1I-Z

系統經過一拍以后就進入了穩定。

<]

例9.3解(續)

⑵分析紋波產生原因及解決辦法

0.272(1-0.368Z-1)

U(z);D(z)E(z);--------------------------1

1+0.718Z-1

=0.272+0.295Z-1-0.27z-2+0.248Z-3-0.227Z-4+???

一般地，U(Z)=。⑶①《(2)火⑶中的。(Z)①,⑶

是關于小有限項多項式，那么在三種典型輸入下，

一定能在有限拍內結束過渡過程，實現無紋波。

7,例9.3解（續）

勒當輸入為單創盼魄味即K侈=7」7T，如果。㈤中0）=%=%二一1〃2二,々

仃限壩屹爾式，則U（二）=/）（二）①J二）〃（二）='%+'：:二

_2_7-4

=〃o+(%+%)二-I(〃o+“i+%)(二“+二-+二+?,?)

即從第二個采樣周期開始，〃（口就穩定于一個