廣東省汕頭市明德中學2021年高三數學理月考試卷含

解析

一、選擇題：本大題共1()小題，每小題5分，共5()分。在每小題給出的四個選

項中，只有是一個符合題目要求的

1.雙曲線tx2-y2-1=0的一條漸近線與直線x-2y+l=0平行，則雙曲線的離心率為

()

炳V3

A.V5B.^-C.-FD.V3

參考答案：

B

【考點】雙曲線的簡單性質.

【分析】根據題意，將雙曲線化成標準形式求出漸近線為y=±JTx,從而y=J7x與直線

x-2y+l=0平行算出t=4.由此得到雙曲線的方程，進而算出它的離心率.

【解答】解：???雙曲線tx,-/-1=0,g|Jtx2-y2=l,

，雙曲線的漸近線為y=±Vtx,

???一條漸近線與直線x-2y+l=0平行，

,漸近線的斜率為萬，即匹萬，得t=W

x2_2=],------

雙曲線的方程為才‘，得a=2,b=l,c=Va2+b2=V5

在

,此雙曲線的離心率為6=2

故選：B

【點評】本題給出含有字母的雙曲線，在其漸近線與已知直線平行的情況下求雙曲線的離

心率.著重考查了直線的位置關系、雙曲線的簡單幾何性質等知識，屬于中檔題.

2.已知函數虧x'+a—Ta-gx+c的兩個極值點分別為由,且-

1),X2《(-1,0),點P(a,b)表示的平面區域為D,若函數y=logm(x+2)(m>0,

mWl)的圖象經過區域D,則實數m的取值范圍是()

A.(3,+8)B.

參考答案：

C

【考點】利用導數研究函數的極值.

【分析】求出函數的導數，利用函數的極值以及函數的零點列出約束條件，利用線性規劃

通過目標函數的最優解，求解m的范圍.

【解答】解：由f'(x)=2x?+2ax-(a-b),故f'(x)=0的兩根分別為x“x2,

4a2+8(a~b)>0

-r(-1X0,

由二次方程根的分布得IF(0)>0,

，2

b〈-^-+a

'3a-b-2>0

即a-b<0畫出該不等式組所表示的平面區域D,

當函數y=log-(x+2)的圖象經過點(1,1)時，m=3,

因此當l<m<3時函數圖象經過區域D,

故選：C.

【點評】本題考查函數的導數的應用，函數的極值以及線性規劃的應用，考查轉化思想以

及計算能力.

3.已知向量a=(L-1)J=(2.x),若則實數x的值是()

A.-2B.0C.1

D.2

參考答案:

A

略

shlOe

4.1—白tanlO*=()

J_理

A.4B.2C.2D.I

參考答案：

A

【考點】三角函數的化簡求值.

【分析】利用三角函數的切化弦及輔助角公式、誘導公式對函數式化簡即可得答案.

2sinl0°coslO0

sinlO°sinlO°coslO0」CV3、

4(COS10A

［解答］解：lganlO。coslO°-V3sinl00=TTsinlO)

sin20°二1

=4sin(300-10°)4.

故選：A.

5.已知蜘則下列不等式一定成立的是

（D）*G

參考答案：

D

C=i—^—=1

6.已知雙曲線（?>0,&>0）與橢圓五~4~有共同焦點，且雙曲線的

一條漸近線方程為了=4工，則該雙曲線的方程為（）

C.W*1D,找=］

=,

A.TnB.材"

參考答案:

D

7.己知二次函數‘(力--"'4,若是偶函數，則實數。的值為()

A.-1B.1C.-2

參考答案:

D

略

8.已知f(sinx)=x,且武(°,~兀2~\則,仿1)的值等于()

.11_兀兀

A.Sin2B.2C.一下D.T

參考答案：

D

【考點】函數的值.

f注)——f(0—)

【分析】2，=f(sin6)=6.由此利用f(sinx)=x，且x'2能求出結

果.

TT

【解答】解：：f(sinx)=x,且x'°~2"\

9)2L2L

/-2=f(sin6)=6.

故選：D.

【點評】本題考查函數值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意函數性質的合理運

用.

9.某學校計劃在周一至周四的藝術節上展演《雷雨》《茶館》《天籟》《馬蹄聲碎》四部

話劇，每天一部，受多種因素影響，話劇《雷雨》不能在周一和周四上演，《茶館》不能

在周一和周三上演，《天籟》不能在周三和周四上演，《馬蹄聲碎》不能在周一和周四上

演，那么下列說法正確的是()

A.《雷雨》只能在周二上演B.《茶館》

可能在周二或周四上演

C.周三可能上演《雷雨》或《馬蹄聲碎》D.四部話劇都有可能在周二

上演

參考答案：

C

io.定義在R上的函數了=/a)滿足，當一3Kx<-1時，

/(x)="(x+2)a,當時，/&)=工則/(0+/②+/(夕+…+八2013=

()

A335B338C1678D2012

參考答案：

B

略

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

11.已知某個幾何體的三視圖如圖所示，根據圖中標出的尺寸，可得這個幾何體的表面積

是—.

(俯視圖)

參考答案：

(1+V5)n

【考點】由三視圖求面積、體積.

【專題】計算題；空間位置關系與距離.

【分析】根據三視圖判斷幾何體是圓錐，判斷圓錐的底面直徑及高，求母線長，把數據代

入圓錐的表面積公式計算.

【解答】解：由三視圖知：幾何體是圓錐，

其中圓錐的底面直徑為2,高為2,.?.母線長為加，

...圓錐的表面積S=nXI、兀XIX心口+加口，

故答案為：（1+泥）IT.

【點評】本題考查了由三視圖求幾何體的表面積，解題的關鍵是根據三視圖判斷幾何體的

形狀及數據所對應的幾何量.

12.橢圓的焦點是片（7。1式。，0）,尸為橢圓上一點，且附用是戶周與怛居I的等差

中項，則橢圓的方程為

參考答案：

茹27

13.已知向量a、b不共線，若a—2b與3a+kb共線，則實數k=.

參考答案：

-6

略

14.關于函數〃x）=cos2x-2百sinxcosx,下列命題：

①存在再，叼，當應一勒=汗時，=成立；②/（X）在區間［6,3」上是

單調遞增；

③函數/（?的圖像關于點（五"）成中心對稱圖像；

5，

④將函數/（x）的圖像向左平移五個單位后將與了=2sin2x的圖像重合.

其中正確的命題序號（注：把你認為正確的序號都填上）

參考答案：

①③

15.對于xeR,不等式|2-x|+|l+N21-2a恒成立，則實數a的取值范圍

是.

參考答案：

[T3]

略

16.下列說法中，正確的是.

①任取x>0,均有3*>2*.②當a>0,且a￥l時，有a%?.

③y=(6)r是增函數.④y=2*的最小值為L

⑤在同一坐標系中，y=2”與y=2^的圖象關于y軸對稱.

參考答案：

(D@?.

丁■人1

17.已知雙曲線7V=l(a>0,^>0)的離心率為2,一個焦點與拋物線

)'，=16x的焦點相同，則雙曲線的焦點坐標為.漸近線方程為.

參考答案：

(-4,0),(4,。),y=±"

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

/(/)=-ax2-(2a4-1)^+2Inx(o€H)

18..已知函數2

(I)若曲線y=/(x)在x=l和X=3處的切線互相平行，求a的值;

(H)求/(X)的單調區間；

(III)設g(x)=/?2i,若對任意上€(。2,均存在/€(62],使得求

a的取值范圍.

參考答案:

【答案】（I）。=2；（2）單調遞增區間是03和（入田》,單臉發區間是《1,2）乂3）

3aa

a＞U2-l

【解析】

躅分析：（I）由眥/《力nla^-Ga+Dx+Zhix06K）,

r（*）=?-（2a+l）+-（x＞0）,又由黜＜y=/＜*＞在x=l和x=3處的切《5相平行，

X

則兩磁BW率相等地，即八1）=八3）,因此可以得到關于。的^式

a-（2a+l）+2=3o-（2a+l）+^,從而可拙a=:.

〃x）="-（2fl+1）+2=（""（X2）（x＞0）r（x\-aX1=-

（II）由Xx,令」（x）-。，則1a

2

x2=2,因此需要對。與0,2,2比較進行分類討論：①當4W0時，在區間（°，2）上有

/'（X）＞°,在區間（2,海上有/3＜0.②當時在區間（0,2）和（7*°）上

有/'（x〉＞0,在區間⑵/上有/'（x）＜0；③當時小,/’（）笫；④當

時，區間9/和（2,3上有/'（x）＞0,在區間（i'2）上有/'（力＜0,綜上得

/（X）的單調遞增區間是（。'/和（2,-K0）,單調遞減區間是（￡,“）.

（m）由題意可知，在區間（0.2］上有由取/（x）的■大值小于蕾（x）的■大值成立，又由

爵，（工）在（0.2］上的■大值，（工」=0,由（口>仙①時，人力在GU］上

單謂遵以，?/（x）M=/（2）=2a-2（2a+l）+21a2=-2a-2+2l?2,所以，

—2。—2+2ki2<0,解華o>ln2—I,故Io2-—,>—時，/C0在《。

22a

上單調遞1?,在P.2］上單喝遞高，/（工）?=/（3=-2-1一21?。，由。可知

aa2a2

laa>la->U*=-l,2laa>-2Ua<29-2-2出。<0,/<0j

2e

綜上所述，所求O的P圍為。A*2-L

試li解析：/*《力=ac-《2>>D+—(x>。)?一??????-?”?…

x

2分

(Ira)=ro)^解得

2

:—-

3.

,?,3分

(II）

r(x)=(flX-1)(y-2)

X（x>0）

...........5分

①當。工0時.x>0.ax-1<0,

在區間（°，2）上，/'㈤>°；在區間（2+?）上/'（X）<。,

故/8）的單調遞增區間是（0,2）,單調遞減區間是（2,內）.............6分

0<a<——>2

②當2時，a,

在區間（°②和（￡"）上/3>o；在區間⑵￡）上八力<0,

故/a）的單調遞增區間是（。,2）和（丁T8）,單調遞減區間是u/........7分

嶼。=!時，/《力=紇生，被/《X）的單調遞熠區間是.....8分

22x

?^a>-rt,0<-<2,

2a

在區間（。3和（2,+?》上，/'（力>0,在區間（』.2）上/'（力<0------

aa

放/㈤的里囑遞地區間是《0.3和《入―，單調遵發區間是.....9分

□a

（ID）由已如，在（。2］上有/（x）a<爪力”.------------10分

由已知，爪X〉g=0.由《U）可知，

①當。4；時，/《力在（Q2］上里塘建堵，

&勺/（x）M■/（2）-2a-2（2a4"1）4-2hi2=-2a-2+21B2,

加，-2。-2+2h2<0,解得。>匕2-1,故iBZ-lvaAL............-11分

2

②當。時，在《QU上里亶遞增，在P.2］上里喟通雇，

2aa

?/U>?=/(-)=-2-A-2Ua.

a2a

由。>—可知iaa>le—>la-=-1,2laa>—2,—21aa<2,

22e

所以，-2-2taa<0,人工<0.13分

繪上所述，a>U2-L---------------M分

考點：，導數?2.佻副的星城性、*fl.

略

19.（本小題滿分10分）命題p:實數X滿足/4雙+如<0（其中a>0）,

|鄧2

蟲>0

命題q：實數X滿足x-2

⑴若a=l,且PC為真，求實數X的取值范圍；

(2)若r戶是r?的充分不必要條件，求實數a的取值范圍.

參考答案：

(1)p真：l<x<3;...2分

q真：2<xW3,……4分

/八9為真時2<x<3.……6分

(2)由(1)知P：a<x<3a,則r戶：x<a^x>3a,

q：2<x43,則F：x42或x>3,...io分

是r?的充分不必要條件，則f且

fo<a<2.

二N》3.解得l<q42,故實數a的取值范圍是(L2].

20.(本小題滿分13分)在迎BC中，以瓦0的對邊分別是已知a=1,平面向量

￡=(即“-加。$0,行(皿8+/加切且3…24.

(1)求4/11?；外接圓的面積；

(H)已知0為AABC的外心，由0向邊BC、CA、AB引垂線，垂足分別為外E、F,求

\OD\t\OE\t\OF\

cosXcaBCOIC的值.

參考答案：

(1)由題意，sin24-sinCeosSLUBCGSC

得2$in4co$A=$in(B+S=$?nA.....................................2分

,1

cosA,一

由于A45c中sin4>0,二2cosA=l,2..........................3分

sinA-J_8JA=—

2.........................4分

。21”

-----=F，R=F*S-—

2R=*m.?,凸3-------------------------------------------------------6分

(2)因為。為△ABC的外心，由0向邊BC、CA、AB引垂線，垂足分別為D、E、F,

\0D\\0B\\0F\\0D\\0E\\0F\

所以e?Rc”8CMC，故OMACMBCMC=V3----13分

x=2+f

《(f

21.(本小題滿分10分)在直角坐標系◎中，曲線C的參數方程為〔尸=1+1為參

數)，曲線P在以該直角坐標系的原點。的為極點，X軸的正半軸為極軸的極坐標系下的

方程為P'-4pco$6+3=0.

(1)求曲線C