專題02二次函數(shù)與一元二次方程重難點題型專訓（6大題型）【題型目錄】題型一求拋物線與x、y軸的交點坐標題型二由二次函數(shù)解一元二次方程題型三由二次函數(shù)的圖象求不等式的解集題型四拋物線交點問題的綜合題型五根據(jù)二次函數(shù)圖象確定相應方程根的情況題型六求x軸與拋物線的截線長【知識梳理】知識點：二次函數(shù)與一元二次方程1.當二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點時，，方程有兩個不相等的實根。2.當二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個交點時，，方程有兩個相等的實根。3.當二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點時，，方程沒有實根。二次函數(shù)的圖象與軸的位置關(guān)系有三種情況:①沒有公共點;②有一個公共點;③有兩個公共點，這對應著一元二次方程的根的三種情況:①有實數(shù)根，此時△＜0;②有兩個相等的實數(shù)根，此時△=0;③有兩個不相等的實數(shù)根，此時△＞0.(2)解決函數(shù)圖象過定點問題，一般方法是函數(shù)解析式中所含字母的項的和為0時，則函數(shù)值不受字母的影響，據(jù)此可求圖象經(jīng)過的定點坐標.(3)拋物線中三角形面積的最值問題，一般先設出動點的坐標，然后用其表示相關(guān)線段的長度，再利用三角形的面積公式構(gòu)造新的函數(shù)關(guān)系式來確定最值.在將點的坐標轉(zhuǎn)化為線段的長度時，要注意符號的轉(zhuǎn)換.知識點：二次函數(shù)與不等式判別式拋物線與x軸的交點不等式的解集不等式的解集△＞0或△＝0（或）無解△＜0全體實數(shù)無解【經(jīng)典例題一拋物線與x、y軸的交點坐標】1．（2023秋·河北邯鄲·九年級邯鄲市第二十三中學校考階段練習）拋物線與x軸的兩個交點之間的距離是（

）A． B．2 C． D．42．（2023秋·安徽宣城·九年級校考階段練習）如圖，點的坐標分別為和，拋物線的頂點在線段上運動(拋物線隨頂點一起平移)，與軸交于兩點(在的左側(cè)，且兩點間距個單位長度)，點的橫坐標最小值為，則點的橫坐標最大值為(

)

A． B． C． D．3．（2023秋·河北滄州·九年級校考階段練習）在平面直角坐標系中，拋物線與軸相交于，兩點，且點在點的左側(cè)．（1）點的坐標為；（2）當時，拋物線的最小值為，則的值為.4．（2023秋·吉林長春·九年級長春市解放大路學校校考階段練習）在平面直角坐標系中，拋物線（b為常數(shù)）經(jīng)過點且與y軸交于點B，點C在該拋物線上，橫坐標為，將該拋物線B，C兩點之間（包括B，C兩點）的部分記為圖象G．

(1)求此拋物線對應的二次函數(shù)表達式；(2)當時，二次函數(shù)的最大值是________，最小值是________；(3)圖象G的最大值與最小值的差為3時，求m的值；(4)拋物線（b為常數(shù)）與x軸的另一交點為D，若點M在拋物線上，且在x軸下方，點N為x軸上一動點，當以B，D，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形時，直接寫出點N的坐標．【經(jīng)典例題二由二次函數(shù)解一元二次方程】1、（2023秋·山東淄博·九年級校考期末）已知二次函數(shù)（a，k，h均為常數(shù)）的圖象與x軸的交點的橫坐標分別為和5，則關(guān)于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根分別是（

）A． B． C． D．2．（2022秋·湖北武漢·九年級湖北省水果湖第一中學校考期中）拋物線的圖象經(jīng)過點，則關(guān)于x的一元二次方程的解是（

）A． B． C． D．3．（2023·吉林長春·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點．若關(guān)于的一元二次方程（為實數(shù)）在的范圍內(nèi)有實數(shù)根，則的取值范圍為______.4．（2023·湖北黃石·統(tǒng)考一模）閱讀材料：材料1．已知實數(shù)m、n滿足，且，求的值．解：由題意知m、n是方程的兩個不相等的實數(shù)根，得，∴材料2．如圖，函數(shù)的圖像，是一條連續(xù)不斷的拋物線，因為當時，；當時，．可知拋物線與x軸的一個交點的橫坐標在0與1之間．所以方程的一個根所在的范圍是．根據(jù)上述材料解決下面問題：

(1)已知實數(shù)m、n滿足，，且，求的值．(2)已知實數(shù)p、q滿足，，，且，求的值．(3)若關(guān)于x的一元二次方程的一個根大于2，另一個根小于2，求m的取值范圍．【經(jīng)典例題三由二次函數(shù)的圖象求不等式的解集】1、（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·校考一模）已知關(guān)于的一元二次方程的一個根為，二次函數(shù)的圖象的頂點坐標為，則關(guān)于的不等式的解為（

）A．或 B．或 C． D．2．（2023·山東東營·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線和直線都經(jīng)過點，拋物線的對稱軸為，那么下列說法正確的是（

）A． B．C． D．是不等式的解3．（2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）拋物線開口向上，且過，下列結(jié)論中正確的是_________（填序號即可）．①若拋物線過，則；②若，則不等式的解為；③若，、為拋物線上兩點，則時；④若拋物線過，且，則拋物線的頂點一定在的下方．4．（2023·廣東深圳·深圳市福田區(qū)北環(huán)中學校考二模）請閱讀下列解題過程：解一元二次不等式：．解：設，解得：，，則拋物線與軸的交點坐標為和．畫出二次函數(shù)的大致圖象（如圖所示）．由圖象可知：當時函數(shù)圖象位于軸下方，此時，即．所以一元二次不等式的解集為：．

通過對上述解題過程的學習，按其解題的思路和方法解答下列問題：(1)上述解題過程中，滲透了下列數(shù)學思想中的_________和_________（只填序號）①轉(zhuǎn)化思想；②分類討論思想；③數(shù)形結(jié)合思想．(2)用類似的方法解一元二次不等式：．(3)某“數(shù)學興趣小組”根據(jù)以上的經(jīng)驗，對函數(shù)的圖象和性質(zhì)進行了探究，探究過程如下，請補充完整：①自變量的取值范圍是___________；與的幾組對應值如表，其中___________．…401234……50010…②如圖，在直角坐標系中畫出了函數(shù)的部分圖象，用描點法將這個圖象補畫完整．③結(jié)合函數(shù)圖象，解決下列問題：解不等式：

【經(jīng)典例題四拋物線交點問題的綜合】1．（2023秋·湖北武漢·九年級校考階段練習）已知函數(shù)與x軸有交點，則m的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．2．（2022春·湖南益陽·九年級校考自主招生）二次函數(shù)的圖象與軸的兩個交點為與，函數(shù)的圖象與軸的兩個交點為與，若，則（

）A．， B．， C．， D．，3．（2023春·廣東深圳·九年級深圳中學校考自主招生）若拋物線的圖象與x軸僅一個交點，則的值為．4．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級統(tǒng)考階段練習）已知關(guān)于x的二次函數(shù)．(1)求證：此拋物線與x軸總有交點；(2)若此拋物線與x軸有兩個交點，且交點的橫坐標都是整數(shù)，m是正整數(shù)，求m的值．【經(jīng)典例題五根據(jù)二次函數(shù)圖象確定相應方程根的情況】1．（2023秋·北京·九年級北京市陳經(jīng)綸中學校考階段練習）二次函數(shù)的圖象如圖所示，下列說法正確的個數(shù)有（

）①

②③

④方程有兩個不相等的實數(shù)根．

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2023秋·浙江臺州·九年級校考階段練習）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過與兩點，關(guān)于x的一元二次方程有兩個不同的實數(shù)根，其中一個根是．如果關(guān)于x的方程有兩個不同的整數(shù)根，則這兩個整數(shù)根可能是（

）A．， B．， C．， D．，3．（2023秋·天津河西·九年級校考階段練習）已知關(guān)于x的方程的一個根大于且小于，另一個根大于2且小于3，則m的取值范圍是．4．（2023秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·九年級校聯(lián)考階段練習）某班“數(shù)學興趣小組”對函數(shù)的圖像和性質(zhì)進行了探究，探究過程如下，請補充完整：(1)自變量的取值范圍是全體實數(shù)，與的幾組對應值如下：…0123……00…其中，______；(2)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，在如圖所示的平面直角坐標系中描點，并畫出了函數(shù)圖象的一部分，請畫出該函數(shù)圖象的另一部分；

(3)觀察函數(shù)圖象，寫出兩條函數(shù)圖象的性質(zhì)；(4)進一步探究函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn)：①函數(shù)圖象與軸有______個交點，所以對應的方程有______個實數(shù)根；②函數(shù)圖象與直線軸有______個交點，所以對應的方程有______個實數(shù)根；③關(guān)于的方程有4個實數(shù)根時，的取值范圍是______；④不等式的解集是______．【經(jīng)典例題六求x軸與拋物線的截線長】1．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模）已知拋物線與一次函數(shù)交于兩點，則線段的長度為（

）A． B． C． D．202．（2023秋·全國·九年級專題練習）已知二次函數(shù)的圖像與x軸分別交于A、B兩點，圖像的頂點為C，若，則a的值為（

）A．3 B． C．2 D．3．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，平移拋物線，使頂點在線段上運動，與x軸交于，D兩點．若，，四邊形的面積為，則．4．（2023春·安徽·九年級專題練習）已知點在二次函數(shù)的圖象上，且該拋物線的對稱軸為直線．(1)求b和c的值．(2)當時，求函數(shù)值y的取值范圍，并說明理由．(3)設直線與拋物線交于點A，B，與拋物線交于點C，D，求線段與線段的長度之比．【重難點訓練】1．（重慶市潼南區(qū)六校2023-2024學年九年級上學期第一次聯(lián)考數(shù)學試題）已知二次函數(shù)自變量x的部分取值和對應的函數(shù)值y如下表：x…012…y…50…下列說法中正確的是（

）A．函數(shù)圖像開口向下 B．函數(shù)圖像與x軸的交點坐標是C．當時，y隨x的增大而增大 D．頂點坐標是2．（2023·廣東廣州·九年級校考自主招生）關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．頂點坐標為 B．當時，y隨x的增大而增大C．函數(shù)的最大值為1 D．函數(shù)的圖象與坐標軸有2個交點3．（2023秋·湖北武漢·九年級校聯(lián)考階段練習）二次函數(shù)與x軸交于、兩點，且，則（）A．5 B． C．5或 D．或14．（2023秋·湖北武漢·九年級湖北大學附屬中學校考階段練習）若關(guān)于x的一元二次方程（t為實數(shù)），在的范圍內(nèi)有解，則t的取值范圍是（

）．A． B． C． D．5．（2023秋·浙江杭州·九年級蕭山區(qū)金山初級中學校考階段練習）已知二次函數(shù)（m為實數(shù)），下列說法正確的是（

）A．這個函數(shù)圖象的頂點有可能在拋物線上B．當且時，C．點與點在函數(shù)y的圖象上，若，則D．當時，y隨x的增大而增大，則6．（2023秋·福建福州·九年級福建省福州第十九中學校考階段練習）已知拋物線的對稱軸為直線，當時，則x的取值范圍是．7．（2023秋·安徽淮北·九年級校聯(lián)考階段練習）已知，拋物線．（1）若此拋物線經(jīng)過，兩點，則其對稱軸是直線；（2）若此拋物線與直線相交于，兩點，則拋物線與x軸的交點的坐標是．8．（2023秋·四川綿陽·九年級東辰國際學校校考階段練習）已知拋物線經(jīng)過兩點，則關(guān)于的一元二次方程的解是．9．（2023秋·安徽亳州·九年級統(tǒng)考階段練習）已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點．若，則．10．（2023秋·安徽亳州·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C．

（1）的度數(shù)是；（2）若點M是二次函數(shù)在第四象限內(nèi)圖象上的一點，作軸交于點Q，則的長的最大值是．11．（2023秋·湖北黃岡·九年級校聯(lián)考階段練習）二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中圖象與軸交于點，與軸交于點，且經(jīng)過點．(1)求此二次函數(shù)的解析式；(2)將此二次函數(shù)的解析式寫成的形式，并直接寫出此二次函數(shù)圖象的頂點坐標以及它與軸的另一個交點的坐標．12．（2023秋·陜西西安·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，拋物線與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，點B的坐標為，點C的坐標為，點D是拋物線的頂點．

(1)求拋物線的解析式及點D的坐標；(2)點M是拋物線上一動點，過點M作軸交拋物線于點N，點P在x軸上，在坐標平面內(nèi)是否存在點Q，使得四邊形為正方形，若存在，請求出點Q的坐標，若不存在，請說明理由．13．（2023秋·廣東中山·九年級校考階段練習）已知函數(shù)．(1)求證：不論為何實數(shù)，此二次函數(shù)的圖象與軸都有兩個不同交點；(