專題4.3一次函數的圖象與性質（二）【八大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1一次函數的平移問題】 1【題型2一次函數與坐標軸的交點問題】 3【題型3應用一次函數解決有關最值問題】 7【題型4一次函數中的對稱性問題】 12【題型5根據兩直線的平行關系求解析式】 15【題型6根據兩直線的交點位置求解】 18【題型7一次函數的圖象與幾何圖形的綜合】 21【題型8一次函數的有關的規律探究問題】 27【題型1一次函數的平移問題】【例1】（2023春·安徽馬鞍山·八年級安徽省馬鞍山市第七中學?？计谥校⒅本€y=kx+b向左平移2個單位，再向上平移4個單位，得到直線y=2x，則（

）A．k=2，b=-8 B．k=-2，b=2 C．k=1，b=-4 D．k=2，b=4【答案】A【分析】根據直線y=kx+b向左平移2個單位，變為y=k+2x+b，再向上平移4個單位，變為y=kx+2+b+4，然后結合得到直線y=2x，即可解出【詳解】解：直線y=kx+b向左平移2個單位，變為y=k+2再向上平移4個單位，變為y=kx+2∵得到直線y=2x，∴k=2，2k+b+4=0，∴k=2，b=-8，故選：A．【點睛】本題考查了一次函數圖像平移變換，熟練掌握圖象左加右減，上加下減的變換規律是解答本題的關鍵．【變式1-1】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級統考期末）一次函數y=x-6的圖象是由一次函數y=x+3的圖象（）得到的A．向上平移9個單位長度 B．向左平移9個單位長度C．向右平移9個單位長度 D．向下平移9個單位長度【答案】D【分析】據“左加右減，上加下減”的平移規律即可求解．【詳解】解：一次函數y=x-6的圖象可以由一次函數y=x+3的圖象向下平移9個單位得到，故選：D．【點睛】本題考查一次函數圖象與幾何變換．平移后解析式有這樣一個規律“左加右減，上加下減”．關鍵是要搞清楚平移前后的解析式有什么關系．【變式1-2】（2023春·山西臨汾·八年級統考期末）在平面直角坐標系中，將直線y=2x+b沿y軸向上平移3個單位后恰好經過原點，則b的值為．【答案】-3【分析】根據平移規律得到平移后的直線為y=2x+b+3，然后把0，【詳解】解：將直線y=2x+b沿x軸向上平移3個單位后得到y=2x+b+3，∵經過原點，∴0=b+3，解得b=-3，故答案為：-3．【點睛】此題主要考查了一次函數圖象與幾何變換，一次函數圖象上點的坐標特征，正確把握變換規律是解題關鍵．【變式1-3】（2023春·福建泉州·八年級統考期末）已知函數y2的圖象是由一次函數y1的圖象平移得到，它們的部分自變量的值與對應的函數值如表所示，則m的值是（xm02y5-1ty9n-1A．-3 B．-2 C．-1 D．1【答案】A【分析】根據兩直線平行，則一次項系數相同可設設函數y1的解析式為y=kx+a，函數y2的解析式為y=kx+b，把0，-1代入y=kx+a得：a=-1，把2，-1代入y=kx+b得：2k+b=-1，進而得到函數y1的解析式為y=kx-1，函數y2的解析式為y=kx-1-2k，把m，5代入y=kx-1得：mk-1=5，把【詳解】解：設函數y1的解析式為y=kx+a，函數y2的解析式為把0，-1代入y=kx+a得：∴函數y1的解析式為y=kx-1把2，-1代入y=kx+b得：∴b=-1-2k，∴函數y2的解析式為y=kx-1-2k把m，5代入y=kx-1得：把m，9代入y=kx-1-2k得：∴5-2k=9，解得k=-2，∴-2m-1=5，解得m=-3，故選A．【點睛】本題主要考查了待定系數法求一次函數解析式，一次函數圖象的平移問題，熟知兩直線平行，一次項系數相同是解題的關鍵．【題型2一次函數與坐標軸的交點問題】【例2】（2023春·河南南陽·八年級統考期末）如圖，直線y=kx-2k+3（k為常數，k<0）與x，y軸分別交于點A，B，則A．-1 B．1 C．0 D．無法確定【答案】B【分析】根據一次函數圖像與x，y軸分別交于點A，B，可用含k的式子分別表示出【詳解】解：y=kx-2k+3，∴當y=0時，x=2k-3k，當x=0時，∴OA=-3k+2=∴2OA故選：B．【點睛】本題主要考查一次函數圖像的性質，掌握以上知識是解題的關鍵．【變式2-1】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市虹橋初級中學校校考期中）一條直線經過點A0,2，與x軸交于點B，且△AOB的面積為4，則直線AB的解析式為

【答案】y=±【分析】設直線AB的解析式為y=kx+b，將A點代入解析式，求出b的值，再根據△AOB的面積為4，求出OB=4,根據點B在原點左側和右側兩種情況求解出解析式即可．【詳解】解：設直線AB的解析式為y=kx+b，∵直線經過點A0,2，即OA=2∴b=2，∵S∴1∴OB=4，∴當點B在原點右側時，B4,0∴當點B在原點左側時，B-4,0當直線經過B4,00=4k+2，解得k=-1∴解析式為y=-1當直線經過B-4,00=-4k+2，解得k=1∴解析式為y=1故答案為：y=±1【點睛】本題考查了待定系數法求一次函數關系式，根據面積求出OB的長，B點在原點左右兩種情況進行計算是解答本題的關鍵．【變式2-2】（2023春·山東德州·八年級統考期末）如圖，直線l1：y=-x-b分別與x，y軸交于A6,0、B兩點，過點B的直線l2交x軸的負半軸于點C，且OB:OC=3:1，直線BC

【答案】y=3x+6【分析】根據點A在直線l1：y=-x-b，求出b的值，繼而求出點B的坐標，再根據OB:OC=3:1，求出點C的坐標，設直線BC的函數解析式：y=kx+bk≠0，把B，C兩點代入y=kx+bk≠0，解出k【詳解】∵點A6,0在直線l1：∴-6-b=0，解得：b=-6，∴直線l1：y=-x+6當x=0時，y=6，∴B0,6，OB=6∵OB:OC=3:1，∴OC=2，∵點C在x軸的負半軸，∴C-2,0∴設直線BC的函數解析式：y=kx+bk≠0∴b=60=-2x+b解得：k=3b=6∴直線BC的函數解析式為：y=3x+6，故答案為：y=3x+6．【點睛】本題考查一次函數的知識，解題的關鍵是掌握一次函數圖象上點的坐標特征，待定系數法求解一次函數的解析式．【變式2-3】（2023春·遼寧營口·八年級統考期末）如圖，直線y=23x+2與x軸、y軸分別相交于點A，B，點Q的坐標為m-4,12m，點Q在△ABO的內部（不包括△ABO的邊），且

【答案】5【分析】首先根據直線AB的解析式求出A，B兩點的坐標，由Q在△ABO的內部(不包括△ABO的邊)，得出Q點的橫坐標大于A點的橫坐標小于0，縱坐標大于0小于B點的縱坐標，列出不等式，求出m的取值范圍，從而求出m的整數值與和．【詳解】∵直線y=23x+2與x軸、y軸分別相交于點A∴A-3,0，B∵點Q在△ABO的內部(不包括△ABO的邊)，∴-3<m-4<00<12∵m為整數，∴m=2或3，∴滿足條件的m所有值的和為2+3=5，故答案為：5【點睛】此題考查了一次函數的應用，解題關鍵是根據直線的解析式，求出A，B兩點的坐標．【題型3應用一次函數解決有關最值問題】【例3】（2023春·湖北黃岡·八年級統考期末）已知A0,2，B3,5，點P為x軸上任意一點，當PA+PB取最小值時，點P坐標為【答案】6【分析】首先通過軸對稱變換，得到A關于x軸的對稱點A'0,-2，然后根據PA+PB=PA'+PB≤A'B得到當點A'，P，B三點共線時，PA+PB【詳解】如圖，

∵A0,2∴點A關于x軸的對稱點A'∴PA+PB=PA連接A'B交x軸于點∴當點A'，P，B三點共線時，PA+PB取最小值，即A∵B3,5，A∴設A'B所在直線的表達式為∴b=-23k+b=5，解得b=-2∴A'B∴當y=0時，即0=7解得x=6∴點P坐標為67故答案為：67【點睛】本題考查了軸對稱變換求最短距離問題，構造點A關于x軸的對稱點A'【變式3-1】（2023春·八年級課時練習）如圖，已知點A（1，1）、B（3，2），且P為x軸上一動點，則使△ABP的周長為最小值時P點坐標為．【答案】5【分析】做點B關于x軸的對稱點B'，連接AB'，當點P運動到AB'與x【詳解】解：做點B關于x軸的對稱點B'，連接AB'，當點P運動到AB'∵A1,1,B設AB'∴1=k+b解得k=-所以AB'令y=0，則x=∴點P的坐標為5故答案為：53【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，根據題意找到使周長最短的P點是解題的關鍵．【變式3-2】（2023·江蘇·模擬預測）對某一個函數給出如下定義：若存在正數M，函數值y都滿足y≤M，則稱這個函數是有界函數．其中，M的最小值稱為這個函數的邊界值．若函數y=2x+1（a≤x≤b，且a≠b）中，y的最大值是2，邊界值小于3，則a應滿足的條件是【答案】-2<a<【分析】根據2>0可知函數y=2x+1(a≤x≤b,a≠b)的y隨x的增大而增大，再根據函數增減性可知當x=a時函數值為邊界值，然后由邊界值小于3列關于a的不等式求解即可．【詳解】解：∵2>0∴函數y=2x+1(a≤x≤b,a≠b)的y隨x的增大而增大∴當x=a時，函數y=2x+1的函數值為邊界值，∵邊界值小于3∴-3<2a+1<2，解得：-2<a<1故答案為：-2<a<1【點睛】本題主要考查了閱讀理解、一次函數的增減性、解不等式等知識點，理解“邊界值”的定義成為解答本題的關鍵．【變式3-3】（2023春·遼寧阜新·八年級阜新實驗中學?？计谀┤鐖D所示的正方形網格中，每個小正方形的邊長為1，△ABC為格點三角形(頂點是網格線的交點的三角形)，點B的坐標是(-2,0)．(1)點A的坐標是，點C的坐標是；(2)請作出△ABC關于x軸對稱的△A'B'C'(點A與點A'對應，點B與點B(3)y軸上存在點P，使得PA+PC的值最小，則點P的坐標是．【答案】(1)-5,4，-1,2(2)見解析(3)0，73【分析】（1）根據坐標系寫出點的坐標，即可求解；（2）根據軸對稱的性質，找到A,B,C的對應點A',B（3）找到C關于y軸的對稱軸點C1(1,2)，連接AC1，交y軸于點P，進而求得直線【詳解】（1）解：如圖，A(-5,4)，C(-1,2)．故答案為：(-5,4)，(-1,2)；（2）如圖，△A

（3）如圖，點P即為所求．作C關于y軸的對稱軸點C1(1,2)，連接AC1，交y軸于點∵A(-5,4)，C1(1,2)，設直線AC∴-5k+b=4解得：k=-∴直線AC1的解析式為當x=0時，y=7∴點P的坐標是(0,7

故答案為：(0,7【點睛】本題考查了坐標與圖形，畫軸對稱圖形，一次函數與坐標軸交點問題，軸對稱的性質求線段和的最值問題，熟練掌握軸對稱的性質是解題的關鍵．【題型4一次函數中的對稱性問題】【例4】（2023春·山東德州·八年級統考期末）一次函數y=kx-5和y=2x+b（k、b為常數）的圖象關于y軸對稱，則k，b的值分別為（

）A．k=2,b=5 B．k=-2,b=5 C．k=2,b=-5 D．k=-2,b=-5【答案】D【分析】先求出y=kx-5與y軸的交點坐標，將其代入y=2x+b即可求出b的值，再求出y=2x+b與x軸的交點，根據軸對稱的性質，得出y=kx-5與x軸交點，將其代入y=kx-5即可求出k的值．【詳解】解：把x=0代入y=kx-5得：y=-5，∴一次函數y=kx-5與y軸相交于0,-5，∵一次函數y=kx-5和y=2x+b（k、b為常數）的圖象關于y軸對稱，∴y=2x+b與y軸相交于0,-5，把0,-5代入y=2x+b得b=-5，∴一次函數y=kx-5和y=2x-5的圖象關于y軸對稱，把y=0代入y=2x-5得：0=2x-5，解得：x=5∴y=2x-5與x軸相交于52∴一次函數y=kx-5與x軸相交于-5把-52,0解得：k=-2，綜上：k=-2,b=-5，故選：D．【點睛】本題主要考查了一次函數的圖象和性質，解題的關鍵是掌握一次函數與坐標軸交點坐標的求法，以及關于y軸對稱點的坐標特征．【變式4-1】（2023春·山東威?！ぐ四昙壗y考期末）關于一次函數y=2x﹣1，y=﹣2x+1的圖象，下列說法正確的是（）A．關于直線y=﹣x對稱B．關于x軸對稱C．關于y軸對稱D．關于直線y=x對稱【答案】B【詳解】試題分析：由y=﹣2x+1=﹣（2x﹣1）得到﹣y=2x﹣1，即可判斷一次函數y=2x﹣1，y=﹣2x+1的圖象關于x軸對稱．解：∵y=﹣2x+1=﹣（2x﹣1），∴﹣y=2x﹣1，∴一次函數y=2x﹣1，y=﹣2x+1的圖象關于x軸對稱，故選B．考點：一次函數的圖象．【變式4-2】（2023春·八年級單元測試）在平面直角坐標系中，直線l1與l2關于直線y=1對稱，若直線l1的表達式為y=-2x+3，則直線l2與A．(0,12) B．(0,23)【答案】D【分析】先求解y=-2x+3與x,y軸的交點B,A坐標，再求解A關于y=1的對稱點A'【詳解】解：如圖，∵y=-2x+3，令x=0,y=3,令y=0,x=3∴A(0,3),B(3作A,B關于直線y=1對稱的點A∵直線l1與l2關于直線y=1對稱，即上圖中的直線AB與直線A'∴x∴y∴A所以直線l2與y軸的交點坐標為：(0,-1).故選：D.【點睛】本題考查的是求解一次函數與坐標軸的交點的坐標，坐標與圖形，軸對稱的坐標變化，掌握數形結合的方法是解題的關鍵．【變式4-3】（2023春·陜西商洛·八年級?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，直線y=-3x+b與直線y=kx-1關于直線x=2對稱，則k，b的值分別為（

）A．k=-3，b=11 B．k=3，b=11 C．k=13，b=1D．k=-【答案】B【分析】根據直線y=－3x＋b與直線y=kx－1關于直線x=2對稱，可知這兩條直線上的點也關于直線x=2對稱，然后根據直線y=kx－1上的定點(0，－1)關于直線x=2的對稱點(4，－1)可以求出b的值，然后根據直線y=－3x＋11與直線x=2的交點為：(2，5)也在直線y=kx－1，即可求出k的值．【詳解】解：∵直線y=－3x＋b與直線y=kx－1關于直線x=2對稱，∴這兩條直線上的點也關于直線x=2對稱，∵直線y=kx－1必過點(0，－1)，∴點(0，－1)關于直線x=2的對稱點(4，－1)在直線y=－3x＋b上，∴－1=－3×4＋b，解得：b=11，∴直線y=－3x＋b即為：y=－3x＋11，∵直線y=－3x＋11與直線x=2的交點為：(2，5)，∴點(2，5)一定在直線y=kx－1上，∴5=2k－1，解得：k=3．故選：B．【點睛】本題主要考查用待定系數法一次函數的解析式和軸對稱的性質，熟練掌握一次函數的圖像、軸對稱的性質以及利用數形結合思想是解題關鍵．【知識點兩條直線的位置關系探究】直線（）與（）的位置關系：（1）兩直線平行且（2）兩直線相交（3）兩直線重合且（4）兩直線垂直【題型5根據兩直線的平行關系求解析式】【例5】（2023春·湖北·八年級?？茧A段練習）P(m，n)為坐標平面內一點，且|m|≤1，|n|≤1，過P點作直線PQ與y=-2x平行，交y軸Q(0，b)．當P點在區域內運動時，求A．3 B．2 C．1 D．4【答案】A【分析】設過PQ的直線的解析式為y=-2x+a，將Q(0，b)代入得，a=b，則y=-2x+b，將P(m，n)代入得，b=2m+n，即b=2m+n最大時，【詳解】解：設過PQ的直線的解析式為y=-2x+a，將Q(0，b)代入得，∴y=-2x+b，將P(m，n)代入得，∴b=2m+n最大時，P點坐標為1，∴b=2m+n最大為b=3，故選：A．【點睛】本題考查了一次函數的平移．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．【變式5-1】（2023春·陜西西安·八年級統考期末）已知某一次函數的圖像與直線y=-3x+1平行，且經過點A1,2，則這個一次函數的解析式為【答案】y=-3x+5【分析】根據互相平行的兩直線解析式的k值相等設出一次函數的解析式，再把點A的坐標代入解析式求解即可．【詳解】解：設一次函數的表達式為y=kx+bk≠0∵一次函數的圖像與直線y=-3x+1平行，且經過點A1,2∴k=-3，∴-3×1+b=2，∴b=5，∴這個一次函數的解析式為y=-3x+5．故答案為：y=-3x+5．【點睛】本題考查了兩直線相交或平行問題：兩條直線的交點坐標，就是由這兩條直線相對應的一次函數表達式所組成的二元一次方程組的解；若兩條直線是平行的關系，那么他們的自變量系數相同，即k值相同．熟記平行直線的解析式的k值相等并設出一次函數解析式是解題的關鍵．【變式5-2】（2023春·上海浦東新·八年級?？计谀┤鐖D，點M的坐標為3,2，點P從原點O出發，以每秒1個單位的速度沿y軸向上移動，同時過點P的直線l也隨之上下平移，且直線l與直線y=-x平行，如果點M關于直線l的對稱點落在坐標軸上，如果點P的移動時間為t秒，那么t的值為

【答案】2或3/3或2【分析】過點M作MF⊥直線l，交y軸于點F，交x軸于點E，與直線l相交于點A，則點E、F為點M在坐標軸上的對稱點，過點M作MD⊥x軸于點D，設直線l的解析式為y=-x+b，由直線l與直線y=-x平行可得∠OPA=45°，即可證明△MDE與△OEF均為等腰直角三角形，進而可求出點E、F的坐標，根據中點坐標公式可求出MF和ME的中點坐標，代入y=-x+b可求出b值，即可得點P坐標，即可求解．【詳解】如圖，過點M作MF⊥直線l，交y軸于點F，交x軸于點E，與直線l相交于點A，則點E、F為點M在坐標軸上的對稱點．

∵直線l與直線y=-x平行，∴設直線l解析式為y=-x+b，過點M作MD⊥x軸于點D，則OD=3，MD=2，∵直線l的解析式為y=-x+b，∴∠OPD=45°，∴∠OFE=∠OEF=45°，∴△MDE與△OEF均為等腰直角三角形，∴DE=MD=2，OE=OF=1，∴E(1，0)，F(0，-1)．∵M(3，2)，F(0，-1)，∴線段MF中點坐標為(32，12∵直線y=-x+b過點(32，12∴12=-32解得：b=2，∴點P坐標為(0，2)，∴t=2．∵M(3，2)，E(1，0)，∴線段ME中點坐標為(2，1)．直線y=-x+b過點(2，1)，∴1=-2+b，解得：b=3，∴點P坐標為(0，3)，∴t=3．∴點M關于l的對稱點，當t=2時，落在y軸上，當t=3時，落在x軸上．故答案為：2或3．【點睛】本題考查了一次函數的圖象與幾何變換．注意在x軸、y軸上均有點M的對稱點，不要漏解；其次注意點E、F坐標以及線段中點坐標的求法．【變式5-3】（2023春·廣西北?！ぐ四昙壗y考期中）在平面直角坐標系中有兩點A(-1,2)，B(2,3)，如果函數y=kx-1的圖象與線段AB的延長線相交（交點不包括點B），則實數k的取值范圍是．【答案】1【分析】先求出直線AB的解析式，找出兩臨界點即可得出答案．【詳解】解：設AB的解析式為：y=kx+b；將A(-1,2)，B(2,3)代入可得2k+b=3-k+b=2解得：k=當y=kx-1與直線AB平行，此時k=1當y=kx-1過B(2,3)時，2k-1=3，則k=2，∴實數k的取值范圍是：1【點睛】本題考查一次函數圖象與系數的關系，有一定難度，關鍵是找出兩臨界條件．【題型6根據兩直線的交點位置求解】【例6】（2014·陜西·八年級專題練習）若一次函數y＝ax＋b的圖象與一次函數y＝mx＋n的圖象相交，且交點在x軸上，則a、b、m、n滿足的關系式是．【答案】an=bm.【分析】根據x軸上點的坐標特征求出y＝ax＋b與x軸的交點坐標為（-ba，0），然后根據兩直線相交將其坐標代入y＝mx＋n【詳解】當y=0時，0＝ax＋b，解得：x∴y＝ax＋b與x軸的交點坐標為（-ba，將其代入y＝mx＋n中可得：m×整理可得：an即a、b、m、n滿足的關系式為：.故答案為：an【點睛】本題主要考查了一次函數的基本性質，熟練掌握相關概念是解題關鍵.【變式6-1】（2023·貴州貴陽·統考一模）在同一平面直角坐標系中，兩個一次函數y=k1x+5k1A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】兩個函數的圖象各經過一個定點，再根據k1【詳解】解：一次函數y=k1x+5經過定點0,5，一次函數y=結合k1則它們的交點一定在第一象限，故選：A．【點睛】本題考查了一次函數的圖象，正確畫出兩個函數的大致圖象是解題關鍵．【變式6-2】（2023春·浙江杭州·八年級統考期末）平面直角坐標系中，已知直線l1經過原點與點P（m，2m），直線l2：y＝mx+2m﹣3（m≠0）．(1)求證：點（﹣2，﹣3）在直線l2上；(2)當m＝2時，請判斷直線l1與l2是否相交？【答案】(1)見解析(2)直線l1與l2不相交【分析】（1）將所給點代入直線l2（2）求出l1解析式與l【詳解】（1）把x＝﹣2代入y＝mx+2m﹣3得，y＝﹣2m+2m﹣3＝﹣3，∴點（﹣2，﹣3）在直線l2上；（2）∵直線l1經過原點與點P（m，2m），∴直線l1為y＝2x，當m＝2時，則直線l2：y＝2x+1，∵x的系數相同，∴直線l1與l2不相交．【點睛】本題考查平面直角坐標系中的直線解析式求法、點是否在直線上的判斷、兩直線是否相交，掌握這些是解題關鍵．【變式6-3】（2023春·北京朝陽·八年級統考期末）一次函數的圖象經過點（-1，0）和（0，2）．（1）求這個一次函數的表達式；（2）若直線y=nx與該一次函數的圖象相交，且交點在第三象限，直接寫出n的取值范圍．【答案】（1）y=2x+2；（2）0<n<2．【分析】（1）利用待定系數法即可得；（2）先根據兩個函數的圖象相交可得n≠2，再聯立兩個函數的解析式求出交點坐標，然后根據“交點在第三象限”建立不等式，解不等式即可得．【詳解】解：（1）設這個一次函數的表達式為y=kx+b(k≠0)，由題意，將點(-1,0)和(0,2)代入得：-k+b=0b=2，解得k=2則這個一次函數的表達式為y=2x+2；（2）∵直線y=nx與一次函數y=2x+2的圖象相交，∴n≠2，聯立y=2x+2y=nx解得x=2n-2y=∵這兩個函數的交點在第三象限，∴2n-2<0①解不等式①得：n<2，因為2n-2<0，要使2nn-2綜上，n的取值范圍是0<n<2．【點睛】本題考查了利用待定系數法求一次函數的解析式、兩條直線的交點問題等知識點，熟練掌握待定系數法是解題關鍵．【題型7一次函數的圖象與幾何圖形的綜合】【例7】（2023春·湖北十堰·八年級統考期中）如圖1，在平面直角坐標系中，點A(a，0)，B(4，b)滿足關系式(a＋3)2＋b-7＝0，AB交y軸于點C，(1)①a=，b=，三角形AOB的面積=；②求點C的坐標；(2)點P在y軸上，且三角形PAB的面積為21，求點P的坐標；(3)如圖2，若(2)中點P在y軸的正半軸上，過點P在AP左側作∠APQ=∠PAB，PQ交x軸于點Q，過點Q作QR∥PB，交BA的延長線于點R，求點R的坐標．【答案】(1)①a=﹣3；b=7；212；②C（0，3(2)P（0，9）或（0，﹣3）(3)R（﹣5，2）【分析】（1）①根據2次方與算術平方根的非負性之間求a、b的值即可；利用三角形面積公式直接求△AOB的面積即可；②用待定系數法求出一次函數的解析式，然后求出圖象與y的交點坐標即可；（2）設點P（0，y），根據S△APC+S△BPC=S△APB列出方程，解方程即可；（3）設點Q（x，0），根據∠APQ=∠PAB，得出PQ∥AB，根據S△APB=S△AQB列出關于x的方程，解方程求出點Q的坐標，根據平移得出點R的坐標即可．【詳解】（1）解：①∵(a＋3)2＋b-7＝0，∴a+3=0，b-7=0，解得：a=﹣3，b=7；∵A（﹣3，0），B（4，7），∴S△AOB=12×3×7=故答案為：﹣3；7；212②設直線AB的解析式為y=kx+b，把A、B兩點的坐標代入得：-3k+b=04k+b=7，解得：k=1∴直線AB的解析式為y=x+3，把x=0代入得：y=3，∴C（0，3）．（2）設點P（0，y），由S△APC+S△BPC=S△APB得，12解得，y=9或﹣3，∴P（0，9）或（0，﹣3）；（3）設點Q（x，0），∵∠APQ=∠PAB，∴PQ∥AB，∴S△APB=S△AQB，∴12解得：x=﹣9，∴Q（﹣9，0），∵QR∥BC，PQ∥AB，∴可由平移得R（﹣5，2）．【點睛】本題主要考查了乘方、算術平方根的非負性，待定系數法求一次函數解析式，平面直角坐標系中三角形面積的計算，平移的性質，熟練掌握平面直角坐標系中三角形面積的計算是解題的關鍵．【變式7-1】（2023·陜西西安·?？寄M預測）如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCD的頂點A1，2，B5，2．若一次函數y=kx-2k≠0的圖象經過C點，且與x，y

【答案】5【分析】先根據A1,2，B5,2求出點C的坐標，進而求出一次函數的解析式，再求出一次函數與坐標軸的交點，即可計算【詳解】解：∵正方形ABCD的頂點A1,2，B∴BC=AB=5-1=4，∴C5,6∵一次函數y=kx-2k≠0的圖象經過C∴6=5k-2，解得k=8∴一次函數為y=8令y=0，則85解得x=5∴M5令x=0，則y=-2，∴N0,-2∴OM=54，∴△OMN的面積=1【點睛】本題考查正方形的性質，一次函數的圖象和性質，解題的關鍵是根據正方形的性質求出點C的坐標．【變式7-2】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級?？计谥校┤鐖D，平面直角坐標系中，C(0,5)、D(a,5)，A、B在x軸上，連接AC、CD、BC，點(1)請直接寫出AB與CD的位置關系；(2)請應用（1）中結論求證：∠ACB=∠CED；(3)連接AE，若點A-52【答案】(1)AB∥CD，證明見解析；(2)證明見解析；(3)10．【分析】（1）根據縱坐標相同的兩點的連線平行于x軸，即可證明AB∥CD；（2）根據∠CAB=∠D和平行線的性質，利用三角形內角和定理即可證明；（3）設CE的函數關系式為y=kx+b，求出點B的坐標，根據S△ACE（1）解：AB∥CD，證明：∵C(0,5)、D(a,5)，C、∴CD平行x軸，即AB∥CD；（2）證明：∵AB∥CD，∴∠ABC=∠DCB，∵∠CAB=∠D，∠CAB+∠ABC+∠ACB=180°，∠D+∠DCE+∠CED=180°，∴∠ACB=∠CED；（3）設CE的函數關系式為y=kx+b，代入點C（0，5），E（2，1），得：5=b1=2k+b解得：b=5k=-2∴CE的函數關系式為y=-2x+5，當y=0時，x=52即點B（52，0），AB=5∴S△ACE=S【點睛】本題考查一次函數的解析式，一次函數圖象與坐標軸的交點問題，平行線的性質和三角形內角和定理，熟練掌握待定系數法求一次函數解析式是解題的關鍵．【變式7-3】（2023春·吉林長春·八年級統考期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-34x+m分別與x軸、y軸交于點B、A，其中B點坐標為（12，0）．直線y=38(1)求點A的坐標．(2)求△BOC的面積．(3)點D為直線AB上的一個動點，過點D作x軸的垂線，與直線OC交于點E，設點D的橫坐標為t，線段DE的長度為d．①求d與t的函數解析式(寫出自變量的取值范圍)．②當動點D在線段AC上運動，以DE為邊在DE的左側作正方形DEPQ，若以點H（12，t）、G（1，t）為端點的線段與正方形DEPQ的邊只有一個交點時，請直接寫出t的取值范圍【答案】(1)（0，9）(2)18(3)①當x＜8時，d=-98t+9；當x＞8【分析】（1）將點B坐標代入解析式可求直線AB解析式，即可求點A坐標；（2）聯立方程組可求點C坐標，即可求解；（3）由題意列出不等式組，可求解．【詳解】（1）解：∵直線y=-34x+m，y＝-34x+m與y軸交于點B∴0＝-34×12+∴m＝9，∴直線AB的解析式為：y=-3當x＝0時，y＝9，∴點A坐標為（0，9）；（2）解：由題意可得：y=3解得：x=8y=3∴點C（8，3），∴△BOC的面積=12×12×3＝（3）解：①如圖，∵點D的橫坐標為t，∴點D（t，-34t+9），點E（t，當t＜8時，d＝-3當t＞8時，d＝38②∵以點H（12，t）、G（1，t）為端點的線段與正方形DEPQ∴12≤t≤1或-9∴12≤t≤1或76【點睛】本題是一次函數綜合題，考查了待定系數法求解析式，三角形的面積公式，不等式組的應用，靈活運用這些性質解