兩角和與差的正弦、余弦、正切公式5.5.1第二課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能從兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式,了解它們的內(nèi)在聯(lián)系.(邏輯推理)2.能運(yùn)用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的化簡(jiǎn)、求值.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)思維導(dǎo)圖復(fù)習(xí)回顧上節(jié)課我們利用圓的選轉(zhuǎn)對(duì)稱性推導(dǎo)出兩角差的余弦公式，請(qǐng)同學(xué)們?cè)诨仡櫷茖?dǎo)過程的基礎(chǔ)上寫出差角的余弦公式.

此公式給出了任意角的正弦、余弦與其差角的余弦之間的關(guān)系.思考由兩角差的余弦出發(fā)，你能不能推導(dǎo)出兩角和的余弦公式？探究新知

它們都是角的余弦，知識(shí)角的形式不同.

基于上述差異與聯(lián)系，如何由兩角差的余弦公式得到兩角和的余弦公式

依照上述解決問題的思路，你能直接寫出兩角和的正弦公式和正切公式嗎？

知識(shí)梳理名稱簡(jiǎn)記符號(hào)公式使用條件兩角和的余弦α，β∈R兩角差的余弦α，β∈R兩角和的正弦α，β∈R兩角差的正弦α，β∈R兩角和的正切兩角差的正切

兩角和與差的正弦公式記憶口訣: 正余余正,符號(hào)相同.正余余正表示展開后的兩項(xiàng)分別是兩角的正弦乘余弦、余弦乘正弦;符號(hào)相同表示展開后兩項(xiàng)之間的連接符號(hào)與展開前兩角之間的連接符號(hào)相同,即兩角和時(shí)用“+”,兩角差時(shí)用“-”.

兩角和與差的正切公式公式的右邊為分式形式,其中分子為tan

α,tan

β的和或差.分母為1與tan

αtan

β的差或和.公式中左邊的加減號(hào)與右邊分子上的加減號(hào)相同,與分母上的加減號(hào)相反.符號(hào)變化規(guī)律可簡(jiǎn)記為“分子同,分母反”.當(dāng)α,β,α±β角的正切值不存在時(shí),不能使用上述公式,但可以用誘導(dǎo)公式或其他方法解題.題型探究題型一.給角求值(5)∵(1+tan

21°)(1+tan

24°)=1+tan

21°+tan

24°+tan

21°tan

24°=1+tan(21°+24°)(1-tan

21°tan

24°)+tan

21°tan

24°=1+(1-tan

21°tan

24°)tan

45°+tan

21°tan

24°=1+1-tan

21°tan

24°+tan

21°tan

24°=2.同理可得(1+tan

22°)(1+tan

23°)=2,∴原式=2×2=4.兩角和與差的正弦公式的一般使用方法(1)正用：把sin(α±β)從左向右展開．(2)逆用：公式的右邊化簡(jiǎn)成左邊的形式，當(dāng)結(jié)構(gòu)不具備條件時(shí)，要用相關(guān)公式調(diào)節(jié)后再逆用．(3)變形應(yīng)用：它涉及兩個(gè)方面，一是公式本身的變形；二是角的變形，也稱為角的拆分變換，如β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)．題型探究題型二.給值求值∴cos2α＝cos[(α－β)＋(α＋β)]＝cos(α－β)cos(α＋β)－sin(α－β)sin(α＋β)所以sin2β＝sin[(α＋β)－(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)－cos(α＋β)sin(α－β)給值求值的解題策略在解決此類題目時(shí),一定要注意已知角與所求角之間的關(guān)系,恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用拆角、拼角技巧,同時(shí)分析角之間的關(guān)系,利用角的代換化異角為同角,具體做法是:(1)當(dāng)條件中有兩角時(shí),一般把“所求角”表示為“已知兩角”的和或差.(2)當(dāng)已知角有一個(gè)時(shí),可利用誘導(dǎo)公式把“所求角”轉(zhuǎn)化為“已知角”.題型探究題型三.給值求角所以sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα兩角和與差的正切公式的變形及常見結(jié)論1.公式的變形(1)兩角和的正切公式的變形

③tanα+tanβ+tanαtanβtan(α+β)=tan(α