第2講磁場對運動電荷的作用

必備知識?自主排查

一、洛倫茲力的大小和方向

1.洛倫茲力：磁場對的作用力叫洛倫茲力.

2.洛倫茲力的方向

(1)判定方法：左手定則：

掌心——磁感線穿入掌心；

四指——指向正電荷運動的方向或負電荷運動的；

拇指——指向的方向.

(2)方向特點：FVB,F±v,即F垂直于8和。決定的

3.洛倫茲力的大小

(l)o〃8時，洛倫茲力尸=.(0=0。或180。)

(2)。，8時，洛倫茲力F=.(6=90。)

(3%=0時，洛倫茲力尸=.

4.洛倫茲力的特點

(1)洛倫茲力始終與速度方向.

(2)洛倫茲力不做功，只改變速度.

二、帶電粒子在勻強磁場中的運動

1.

若帶電粒子以入射速度。做

2,若時，帶電粒子在垂直于磁感線的平面內，以入射速度。做運動.

3.基本公式

(1)向心力公式：quB=；

(2)軌道半徑公式：r=.

(3)周期公式：T=

教材拓展

1.［人教版選修3-1P98Tl改編］下列各圖中，運動電荷的速度方向、磁感應強度方向和電

荷的受力方向之間的關系正確的是()

XXXX

X

XXX

A

CD

2.[魯科版選修3—IP132T2](多選)兩個粒子，所帶電荷量相等，在同一勻強磁場中受磁

場力而做勻速圓周運動()

A.若速率相等，則半徑必相等

B.若動能相等，則周期必相等

C.若質量相等，則周期必相等

D.若動量大小相等，則半徑必相等

關鍵能力?分層突破

考點一洛倫茲力的理解與應用

1.洛倫茲力的特點

(1)利用左手定則判斷洛倫茲力的方向，注意區分正、負電荷.

(2)當電荷運動方向發生變化時，洛倫茲力的方向也隨之變化.

(3)運動電荷在磁場中不一定受洛倫茲力作用.

(4)洛倫茲力一定不做功.

2.洛倫茲力與安培力的聯系及區別

(1)安培力是洛倫茲力的宏觀表現，二者是相同性質的力，都是磁場力.

(2)安培力可以做功，而洛倫茲力對運動電荷不做功.

跟進訓練

1.關于安培力和洛倫茲力，下列說法正確的是()

A.運動電荷在磁場中一定受到洛倫茲力作用

B.通電導線在磁場中一定受到安培力作用

C.洛倫茲力一定對運動電荷不做功

D.安培力一定對通電導線不做功

西一?東

2.[2022?北京海淀區模擬]如圖所示，在赤道處，將一小球向東水平拋出，落地點為a；

給小球帶上電荷后，仍以原來的速度拋出，考慮地磁場的影響，下列說法正確的是（）

A.無論小球帶何種電荷，小球仍會落在。點

B.無論小球帶何種電荷，小球下落時間都會延長

C.若小球帶負電荷，小球會落在更遠的6點

D.若小球帶正電荷，小球會落在更遠的〃點

3.如圖所示，表面粗糙的斜面固定于地面上，并處于方向垂直紙面向外、磁感應強度

為B的勻強磁場中.質量為，人電荷量為+Q的小滑塊從斜面頂端由靜止下滑.在滑塊下

滑的過程中，下列判斷正確的是（）

A.滑塊受到的摩擦力不變

B.滑塊到達地面時的動能與8的大小無關

C.滑塊受到的洛倫茲力方向垂直斜面向下

D.8很大時，滑塊可能靜止于斜面上

考點二帶電粒子在勻強磁場中的運動

1.帶電粒子在有界磁場中運動的常見情形

（1）直線邊界（進出磁場具有對稱性，如圖所示）

（3）圓形邊界

①圓形邊界的對稱性：粒子沿半徑方向進入有界圓形磁場區域時，若入射速度方向指向

勻強磁場區域圓的圓心，則出射時速度方向的反向延長線必經過該區域圓的圓心，如圖甲.

②若粒子射入磁場時速度方向與入射點對應半徑夾角為仇則粒子射出磁場時速度方向

與出射點對應半徑夾角也為仇如圖乙.

X

甲

2.圓心的確定方法

方法一若已知粒子軌跡上的兩點的速度方向，則可根據洛倫茲力FLv,分別確定兩

點處洛倫茲力尸的方向，其交點即為圓心，如圖（a）；

方法二若已知粒子運動軌跡上的兩點和其中某一點的速度方向，則可作出此兩點的連

線（即過這兩點的圓弧的弦）的中垂線，中垂線與垂線的交點即為圓心，如圖（b）.

3.半徑的計算方法

方法一由物理方法求：半徑R=R；

qB

方法二由幾何方法求：一般由數學知識（勾股定理、三角函數等）計算來確定.

4.時間的計算方法

方法一由圓心角求：t=~T.

2IT

方法二由弧長求：

V

\xXXx/

例1.[2021?全國乙卷，16]如圖，圓形區域內有垂直紙面向里的勻強磁場，質量為〃?，

電荷量為40>0）的帶電粒子從圓周上的“點沿直徑MON方向射入磁場.若粒子射入磁場

時的速度大小為5,離開磁場時速度方向偏轉90。；若射入磁場時的速度大小為。2,離開磁

場時速度方向偏轉60。.不計重力，則最為（）

A-IB-TC-TD.6

命題分析

試題屬于基礎性題目，以帶電粒子在勻強磁場中的運動為素材創設學

情境習探索問題情境

必備

考查帶電粒子在有界磁場中做勻速圓周運動、洛倫茲力

知識

關鍵考查推理能力、模型建構能力.要求學生建構有界圓形磁場中的

能力勻速圓周運動模型

學科考查物理觀念、科學思維.要求考生根據描述粒子各物理量間關

素養系及有界磁場范圍推斷結果

跟進訓練

'B''',?支.

????..2.

[0*

4.如圖，在坐標系的第一和第二象限內存在磁感應強度大小分別為匏和8、方向均垂

直于紙面向外的勻強磁場.一質量為〃八電荷量為儀q>0）的粒子垂直于x軸射入第二象限,

隨后垂直于y軸進入第一象限，最后經過x軸離開第一象限.粒子在磁場中運動的時間為

（）

AA.——57TmB-.-7T-lm-

6qB6qB

kllnm「13inn

6qB6qB

5.[2022?慶陽模擬]如圖所示，等腰直角三角形abc區域存在方向垂直紙面向外的勻強

磁場，磁感應強度大小為B.三個相同的帶電粒子從6點沿兒方向分別以速度5、S、g射

入磁場，在磁場中運動的時間分別為小及、3

且力：t2:d=3:3：1.直角邊兒的長度為3不計粒子的重力，下列說法正確的是（）

A.三個速度的大小關系一定是01=。2<03

B.三個速度的大小關系可能是也<小<。3

C.粒子的比荷9=白

mBtt

D.粒子的比荷旦=含

m2BL

M

N?——?---------------------十一

;xXXXXX'

■B

；xXXXXX

IXXXXXX

P---------Q-------E----

6.［2021?山東濱州統考］（多選）如圖所示，在矩形區域MNPE中有方向垂直于紙面向里

的勻強磁場，從“點沿MN方向發射兩個a粒子，兩粒子分別從P、Q射出.已知ME=PQ

=QE,則兩粒子（）

A.兩粒子的速率之比為5：2

B.兩粒子的速率之比為5：3

C.在磁場中運動時間之比為53：90

D.在磁場中運動時間之比為37:90

［思維方法］

帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的分析方法：

俚軌啰1確定圓心

（①軌道半徑與磁感應強度、運動速度相聯系,

即犬=器

益益-②由幾何方法-----般由數學知識（勾股定

弋竽L理、三角函數等）計算來確定半徑

③偏轉角度與圓心角、運動時間相聯系

-④粒子在磁場中運動時間與周期相聯系

蔣牛頓第二定律和圓周運動的規律等，特別是

暨町弋周期公式、半徑公式

考點三帶電粒子在磁場中運動的臨界多解問題

角度1帶電粒子在磁場中運動的臨界極值問題

處理臨界問題的兩個方法

數理利用“矢量圖”“邊界條件”等求臨界值

結合法利用“三角函數”“不等式的性質”“二次方程的判別式”等求極值

抓關“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脫離”等臨界狀態詞，畫出粒子的臨

鍵詞法界軌跡

例2.[2022.西安高新統考]利用磁場可以屏蔽帶電粒子.如圖所示，真空中有一勻強磁

場，磁場邊界為兩個半徑分別為r和3,?的同軸圓柱面，磁場的方向與圓柱軸線平行，磁感

應強度大小為B,其橫截面如圖所示.一帶電粒子從P點正對著圓心O沿半徑方向射入磁

場.已知該粒子的比荷為"重力不計.為使該帶電粒子不能進入圖中實線圓圍成的區域內，

粒子的最大速度為（）

A.kBrB.2kBrC.3kBrD.4kBr

角度2帶電粒子在磁場中運動的多解問題

P

X、、?

N

XX??B?

B

XXX?

b

XX上一45%,

例3.（多選）如圖所示，在某空間的一個區域內有一直線PQ與水平面成45。角，在PQ

兩側存在垂直于紙面且方向相反的勻強磁場，磁感應強度大小均為8.位于直線上的a點有

一粒子源，能不斷地水平向右發射速率不等的相同粒子，粒子帶正電，電荷量為q,質量為

m,所有粒子運動過程中都經過直線PQ上的b點，已知必=4不計粒子重力及粒子相互

間的作用力，則粒子的速率可能為（）

ACqBdB0qBd

,6m,4m

C0qBdD>/3qBd

?2m,m

跟進訓練

7.如圖所示，半徑R=10cm的圓形區域內有勻強磁場，其邊界跟y軸在坐標原點。處

相切，磁感強度8=0.33T,方向垂直紙面向里.在O處有一放射源S,可沿紙面向各方向

射出速率均為0=3.2X1。6m/s的a粒子，已知a粒子的質量機=6.6X10-27kg,電荷量q=

3.2X1019C,則該a粒子通過磁場空間的最大偏轉角為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

8.[2022.江西九江統考]如圖所示，在正六邊形ABCDE尸的內接圓范圍內存在著方向垂

直紙面向外的勻強磁場，磁感應強度大小可以調節.正六邊形的邊長為/,O為正六邊形的

中心點，M、N分別為內接圓與正六邊形AB邊和BC邊的切點，在M點安裝一個粒子源,

可向磁場區域內沿著垂直磁場的各個方向發射比荷為9、速率為。的粒子，不計粒子重力.

m

⑴若沿MO方向射入磁場的粒子恰能從N點離開磁場，求勻強磁場的磁感應強度B的

大小；

（2）若勻強磁場的磁感應強度的大小調節為8=雪,求粒子源發射的粒子在磁場中運動

3ql

的最長時間.

考點四“數學圓”方法在電磁學中的應用

素養提升

角度1“放縮圓”模型法的應用

粒子射入方向確定，但速率0或磁感

“放縮應強度B變化時，以入射點為定點，

圓”法作出半徑不同的一系列軌跡，從而探

索出臨界條件

例4.（多選）如圖所示，在一等腰直角三角形AC。區域內有垂直紙面向外的勻強磁場，

磁場的磁感應強度大小為B,一質量為m、電荷量為q的帶正電的粒子（重力不計）從AC邊

的中點O垂直于AC邊射入該勻強磁場區域，若該三角形的兩直角邊長均為2/,則下列關于

粒子運動的說法中正確的是（）

A.若該粒子的入射速度為。=理，則粒子一定從CD邊射出磁場，且距點C的距離為

m

I

B.若要使粒子從8邊射出，則該粒子從O點入射的最大速度應為。=跡曲

C.若要使粒子從CD邊射出，則該粒子從。點入射的最大速度應為。=遜

m

D.當該粒子以不同的速度入射時，在磁場中運動的最長時間為？

角度2“旋轉圓”模型法的應用

粒子速率0一定，但射入的方向變

“定圓化時，以入射點為定點，將軌跡圓

旋轉”法旋轉，作出一系列軌跡，從而探索

\：d'--y\°

3出臨界條件

xx\P

\XX；

?XX\

A.

?XXI

\xx!

XX\Q

例5.如圖所示，平行邊界MM尸。間有垂直紙面向里的勻強磁場，磁場的磁感應強度

大小為從兩邊界的間距為d,MN上有一粒子源A,可在紙面內沿各個方向向磁場中射入

質量均為〃?、電荷量均為+“的粒子，粒子射入磁場的速度大小。=胃瞿，不計粒子的重力，

則粒子能從PQ邊界射出的區域長度與能從MN邊界射出的區域長度之比為（）

A.1：1B.2：3

C.V3：2D.V3：3

角度3“平移圓”模型法的應用

粒子源發射速度大小、方向一定，入

射點不同，但在同一直線的帶電粒子

XXXXXXX進入勻強磁場時，它們做勻速圓周運

“平移

動的半徑相同，若入射速度大小為

圓”法

111%,則半徑R=黃，如左圖所示（粒

子帶負電）

例6.（多選）如圖所示，在I、n兩個區域內存在磁感應強度大小均為B的勻強磁場，磁

場方向分別垂直于紙面向外和向里，A。、AC邊界的夾角/D4C=30。，邊界AC與邊界MN

平行，II區域寬度為".質量為機、電荷量為+g的粒子可在邊界AO上的不同點射入，入射

速度垂直AO且垂直磁場，若入射速度大小為理，不計粒子重力，則（）

m

A.粒子在磁場中的運動半徑為2

B.粒子在距A點0.5d處射入，不會進入H區域

C.粒子在距A點1.54處射入，在I區域內運動的時間為？

D.能夠進入II區域的粒子，在n區域內運動的最短時間為粵

跟進訓練

9.如圖所示，勻強磁場垂直于紙面，磁感應強度大小為B,一群比荷為巨、速度大小為

m

。的離子以一定發散角a由原點。出射，y軸正好平分該發散角，離子束偏轉后打在x軸上

長度為L的區域MN內，則cos三為（）

A.1—現B.2一眈

4mv24mv

D.1—眈

cTmv

溫馨提示：請完成課時分層作業（二十八）

第2講磁場對運動電荷的作用

必備知識店主排查

、

1.運動電荷

2.(1)垂直反方向洛倫茲力(2)平面

3.(1)0Q)qvB(3)0

4.(1)垂直(2)方向

--、

1.勻速直線

2.勻速圓周

3?⑴擊Q黑-瑞

教材拓展

1.答案：B

2.答案：CD

關鍵能力?分層突破

1.解析：本題考查對安培力、洛倫茲力的理解與認識.運動電荷在磁場中運動，若速

度方向與磁場方向平行，則所受洛倫茲力為零，即不受洛倫茲力作用，選項A錯誤；通電

導線在磁場中若電流方向與磁場方向平行，則所受安培力為零，即不受安培力作用，選項B

錯誤；若安培力方向與通電導線運動方向不垂直，會對通電導線做功，選項D錯誤；由于

洛倫茲力方向永遠垂直于速度方向，根據功的定義可知，洛倫茲力一定對運動電荷不做功,

選項C正確.

答案：c

2.解析：地磁場在赤道上空水平由南向北，從南向北觀察，如果小球帶正電荷，則洛

倫茲力斜向右上方，該洛倫茲力在豎直向上的方向和水平向右方向均有分力，因此，小球落

地時間會變長，水平位移會變大；同理，若小球帶負電，則小球落地時間會變短，水平位移

會變小，故D正確.

答案：D

3.解析：根據左手定則可知，滑塊受到垂直斜面向下的洛倫茲力，故C正確；隨著滑

塊速度的變化，洛倫茲力大小變化，它對斜面的壓力大小發生變化，故滑塊受到的摩擦力大

小發生變化，故A錯誤；8越大，滑塊受到的洛倫茲力越大，受到的摩擦力也越大，摩擦

力做功越多，據動能定理，滑塊到達地面時的動能就越小，故B錯誤；由于開始滑塊不受

洛倫茲力時能下滑，說明重力沿斜面方向的分力大于摩擦力，8很大時，若滑塊速度很小,

則摩擦力小于重力沿斜面的分力，滑塊不會靜止在斜面上，故D錯誤.

答案：C

例1解析：設圓形磁場區域的半徑為R,沿直徑MON方向以速度s射入圓形勻強磁

場區域的粒子離開磁場時速度方向偏轉90。，則其軌跡半徑為八=凡由洛倫茲力提供向心

力得亞出=優空，解得力=型；沿直徑用ON方向以速度力射入圓形勻強磁場區域的粒子

離開磁場時速度方向偏轉60。，由幾何關系得tan30。=二，可得其軌跡半徑為/'2=8凡由

「2

洛倫茲力提供向心力得W#=7n去，解得。2=嚕，則葭=羹=今選項B正確.

答案：B

2

4.解析：由的8=巴二得粒子在第二象限內運動的軌跡半徑/?=詈，當粒子進入第一象

1rBq

限時，由于磁感應強度減為匏，故軌跡半徑變為2々軌跡如圖所示.由幾何關系可得cos。

=-,。=60。，則粒子運動時間，=上個上+工答^=^^,選項B正確.

24Bq6尹q6qB

答案：B

5.解析：由于八：玄：勾=3：3：1,作出粒子運動軌跡圖如圖所示，它們對應的圓心

角分別為90。、90。、30。，由幾何關系可知軌道半徑大小分別為&<&,R\<R3=2L,由于5、

2

02大小關系未知,R1、R2大小無法確定，由qvB=v■可知三個速度的大小關系可能是V2<Vi<V3,

K

故A錯誤，B正確；粒子運動周期7=陋=筆，則八=》=察，解得9=高，故C錯誤；

vqB42qBm2BtI

由*3B=m條及R=2L,解得粒子的比荷2=端，故D錯誤.

答案：B

6.解析：根據題述情景，可畫出兩個a粒子在矩形區域勻強磁場中的運動軌跡，如圖

所示

設則相=。；對從P點射出的粒子，由幾何關系，r3=（2a）2+S-a）2,解得八

=2.5”；帶電粒子在勻強磁場中運動，洛倫茲力提供向心力，qvB^—,可得。=則，兩粒

rm

子的速率之比為5：。2="：，2=2.5：1=5：2,選項A正確，B錯誤.從P點射出的粒子

在磁場中運動軌跡所對的圓心角正弦值sina=算=0.8,01=53°,在勻強磁場中運動時間

2.5a

。=譽=智；從。點射出的粒子在磁場中運動軌跡所對的圓心角&=90。，在勻強磁場中

運動時間,2=咕=呼；在磁場中運動時間之比為h:，2=￥:駕=53:90,選項C正確，

v2qBqBqB

D錯誤.

答案：AC

例2解析：當速度最大時，粒子軌跡圓會和實線圓相切，如圖

設軌跡圓的半徑為R,在△AOO,中，根據勾股定理有K+(3r)2=(/?+r)2,解得R=4r,

根據洛倫茲力提供向心力有又知2=A，聯立解得最大速度為。=4小「，故選D.

答案：D

例3解析：由題意可知粒子可能的運動軌跡如圖所示

所有圓弧的圓心角均為90。，所以粒子運動的半徑三在(〃=1,2,3,…)，由洛倫茲

力提供向心力得卬8=*，則。=誓=零3("=1，2,3…)，故A、B、C正確，D錯誤.

答案：ABC

7.解析：放射源發射的a粒子的速率一定，則它在勻強磁場中的軌道半徑為定值，

mv6.6X10-27x3.2x106

即r=m=0.2m=20cm

qB3.2x10-19x0.33

a粒子在圓形磁場區的圓弧長度越大，其偏轉角度也越大，而最長圓孤是兩端點在圓形

磁場區的直徑上，又/'=2R,則此圓弧所對的圓心角為60。，也就是a粒子在此圓形磁場區

的最大偏轉角為60。.軌跡如圖所示.選項C正確.

答案：C

8.解析：（1）粒子以速率力沿方向射入磁場，恰能從N點離開磁場，軌跡如圖：

由幾何條件可知磁場圓的半徑為R若I

設軌跡圓半徑為“，貝

2K

解得：n=?

由牛頓第二定律可得88=若

（2）磁感應強度變化以后，大量此類粒子從M點射入磁場由牛頓第二定律可得

r2

解得：-2=遍/

粒子射入方向任意，粒子在磁場中運動時間最長時，弧長（劣弧）最長，對應的弦長最長

（磁場圓的直徑，軌跡如圖：

ED

/，產?

-〈：?Or：---------為《一設三

\\:/?小

AMB

由幾何關系得：。=三

_T

粒子在磁場中運動的最長時間fmax-~2

答案：(1甯(2嚕

例4解析：若粒子射入磁場時速度為。=押，則由可得「=/,由幾何關系可

知，粒子一定從CO邊上距C點為/的位置離開磁場，選項A正確；因為r=R,所以。=

qB

吧，因此，粒子在磁場中運動的軌跡半徑越大，速度就越大，由幾何關系可知，當粒子在

m

磁場中的運動軌跡與三角形的4。邊相切時，能從CD邊射出的軌跡半徑最大，此時粒子在

磁場中做圓周運動的軌跡半徑，?=(&+1