2.3拉普拉斯反變換及其方法定義：將象函數F(s)變換成與之相對應的原函數f(t)的過程，稱之為拉普拉斯反變換。其公式：簡寫為：拉普拉斯反變換的定義

方法：拉氏反變換的求算有多種方法，如果是簡單的象函數，可直接查拉氏變換表；對于復雜的，可利用分解和部分分式展開法。

1〉如果把f(t)的拉氏變換F(s)分成各個部分之和，即

假若F1(s)、F2(s)，…，Fn(s)的拉氏反變換很容易由拉氏變換表查得，那么拉普拉斯反變換的方法2〉部分分式展開法在系統分析問題中，F(s)常具有如下形式：式中A(s)和B(s)是s的多項式，

B(s)的階次較A(s)階次要高。

對于這種稱為有理真分式的象函數F(s)，分母B(s)應首先進行因子分解，才能用部分分式展開法，得到F(s)

的拉氏反變換函數。拉普拉斯反變換的方法當A(s)的階次高于

B(s)時，則應首先用分母B(s)去除分子A(s)，由此得到一個s的多項式，再加上一項具有分式形式的余項，其分子s多項式的階次就化為低于分母s多項式階次了。2〉部分分式展開法

將分母B(s)

進行因子分解，寫成：式中，p1，p2，…，pn稱為B(s)的根，或F(s)的極點，它們可以是實數，也可能為復數。如果是復數，則一定成對共軛的。拉普拉斯反變換的方法

(1)分母B(s)無重根此時，F(s)總可以展成簡單的部分分式之和。即式中，ak(k=1,2,…,n)是常數，系數ak稱為極點s=

-pk處的留數。拉普拉斯反變換的方法2〉部分分式展開法ak

的值可以用在等式兩邊乘以(s+pk)，并把s=

-pk代入的方法求出。即2〉部分分式展開法拉普拉斯反變換的方法

在所有展開項中，除去含有ak的項外，其余項都消失了，因此留數ak可由下式得到

因為f(t)時間的實函數，如p1和p2是共軛復數時，則留數

1和

2也必然是共軛復數。這種情況下，上式照樣可以應用。共軛復留數中，只需計算一個復留數

1(或

2)，而另一個復留數

2(或

1)，自然也知道了。拉普拉斯反變換的方法2〉部分分式展開法例1求F(s)的拉氏反變換，已知解由留數的計算公式，得查拉氏變換表，得拉普拉斯反變換的方法2〉部分分式展開法例2求L-1[F(s)]，已知解：分母多項式可以因子分解為進行因子分解后，可對F(s)展開成部分分式由于

2與

1共軛，故拉普拉斯反變換的方法2〉部分分式展開法解：

帶入а1和а2得：例2求L-1[F(s)]，已知拉普拉斯反變換的方法2〉部分分式展開法

(2)分母B(s)有重根若有三重根，并為p1，則F(s)的一般表達式為

拉普拉斯反變換的方法2〉部分分式展開法

(2)分母B(s)有重根依此類推，當p1為k重根時，其系數為：拉普拉斯反變換的方法2〉部分分式展開法例3已知F(s)，求L-1[F(s)]。解由上述公式拉普拉斯反變換的方法部分分式展開法例3已知F(s)，求L-1[F(s)]。解拉普拉斯反變換的方法部分分式展開法查拉氏變換表，有

利用拉氏變換解微分方程的步驟：

(1)對給定的微分方程等式兩端取拉氏變換，變微分方程為s

變量的代數方程。(2)對以s

為變換的代數方程加以整理，得到微分方程求解的變量的拉氏表達式。對這個變量求拉氏反變換，即得在時域中（以時間t

為參變量）微分方程的解。拉普拉斯反變