第九章目標規劃

GoalProgramming9.1目標規劃模型9.2目標規劃的幾何意義與圖解法

在科學研究、經濟建設和生產實踐中，人們經常遇到一類含有多個目標的數學規劃問題，我們稱之為多目標規劃。本章介紹一種特殊的多目標規劃叫目標規劃(goalprogramming)，這是美國學者Charnes等在1952年提出來的。目標規劃在實踐中的應用十分廣泛，它的重要特點是對各個目標分級加權與逐級優化，這符合人們處理問題要分別輕重緩急保證重點的思考方式。

9.1目標規劃模型

(1)問題提出為了便于理解目標規劃數學模型的特征及建模思路,我們首先舉一個簡單的例子來說明.

例1某公司分廠用一條生產線生產兩種產品A和B，每周生產線運行時間為60小時，生產一臺A產品需要4小時，生產一臺B產品需要6小時．根據市場預測，A、B產品平均銷售量分別為每周9、8臺，它們銷售利潤分別為12、18萬元。在制定生產計劃時，經理考慮下述4項目標：

首先，產量不能超過市場預測的銷售量；其次，工人加班時間最少；第三，希望總利潤最大；最后，要盡可能滿足市場需求,當不能滿足時,市場認為B產品的重要性是A產品的2倍．

試建立這個問題的數學模型．討論：若把總利潤最大看作目標，而把產量不能超過市場預測的銷售量、工人加班時間最少和要盡可能滿足市場需求的目標看作約束，則可建立一個單目標線性規劃模型。設決策變量x1，x2

分別為產品A，B的產量

MaxZ=12x1+18x2

s.t.4x1+6x2

60

x1

9x2

8

x1,x2

0容易求得上述線性規劃的最優解為(9,4)T

到(3,8)T

所在線段上的點,最優目標值為Z*=180,即可選方案有多種.在實際上,這個結果并非完全符合決策者的要求,它只實現了經理的第一、二、三條目標，而沒有達到最后的一個目標。進一步分析可知，要實現全體目標是不可能的。(2)目標規劃模型的基本概念

把例1的4個目標表示為不等式.仍設決策變量x1，x2

分別為產品A，B的產量.那么,

第一個目標為:x1

9，x2

8

；第二個目標為:4x1+6x2

60

；第三個目標為:希望總利潤最大，要表示成不等式需要找到一個目標下界，這里可以估計為252（=12

9+18

8），于是有

12x1+18x2

252；第四個目標為:x1

9，x2

8；對于例1,我們有如下目標約束

x1

+d1--d1+=9(1)

x2+d2--d2+=8(2)

4x1+6x2

+d3--d3+=60(3)12x1+18x2+d4--d4+=252(4)

(3)優先因子與權系數

對于多目標問題，設有L個目標函數f1,f2,

,fL,決策者在要求達到這些目標時，一般有主次之分。為此，我們引入優先因子Pi

，i=1,2,

,L.無妨設預期的目標函數優先順序為f1,f2,

,fL,我們把要求第一位達到的目標賦于優先因子P1，次位的目標賦于優先因子P2、…，并規定Pi>>Pi+1，i=1,2,

,L-1.

即在計算過程中,首先保證P1級目標的實現，這時可不考慮次級目標；而P2級目標是在實現P1級目標的基礎上考慮的，以此類推。當需要區別具有相同優先因子的若干個目標的差別時，可分別賦于它們不同的權系數wj

。優先因子及權系數的值，均由決策者按具體情況來確定．

（4）目標規劃的目標函效．目標規劃的目標函數是通過各目標約束的正、負偏差變量和賦于相應的優先等級來構造的．決策者的要求是盡可能從某個方向縮小偏離目標的數值。于是，目標規劃的目標函數應該是求極小：Minf＝f（d+，d-)

其基本形式有三種：

①要求恰好達到目標值，即使相應目標約束的正、負偏差變量都要盡可能地小。

這時取

Min（d++d-)；

②要求不超過目標值，即使相應目標約束的正偏差變量要盡可能地小。

這時取

Min（d+)；

③要求不低于目標值，即使相應目標約束的負偏差變量要盡可能地小。

這時取

Min（d-)；

對于例1,我們根據決策者的考慮知第一優先級要求Min（d1++d2+

)；第二優先級要求Min（d3+

)；第三優先級要求Min（d4-)；第四優先級要求Min（d1-+2d2-)，這里,當不能滿足市場需求時,市場認為B產品的重要性是A產品的2倍．即減少B產品的影響是A產品的2倍，因此我們引入了2:1的權系數。綜合上述分析，可得到下列目標規劃模型

Minf=P1（d1++d2+)+P2d3++P3d4-+P4（d1-+2d2-)s.t.x1

+d1--d1+=9x2+d2--d2+=84x1+6x2

+d3--d3+=6012x1+18x2

+d4--d4+=252x1,x2

,di-,di+

0,i=1,2,3,4.

(3)目標規劃模型的一般形式

式中的第二行是L個目標約束，第三行是m個絕對約束，clj

和gl

是目標參數。例2

甲乙有效工時金工42400

裝配24500

收益10080

LP：MaxZ=100X1+

80X2

2X1+4X2

500s.t4X1+2X2

400X*=(50,100)X1,

X20Z*=13000

目標：去年總收益9000，增長要求11.1%

即：今年希望總收益不低于10000引入d+：決策超過目標值部分(正偏差變量)

d-：決策不足目標值部分(負偏差變量)目標約束：100X1+80X2-d++d-=10000

d+?d-=0d+,d-0MinZ=d-100X1+80X2-d++d-=100004X1+2X2

4002X1+4X2

500X1,

X2,

d-,

d+0

d+?d-=0例3

ⅠⅡ資源擁有量原材料(公斤)2111

設備(小時)1210

利潤(千元/件)810原材料價格上漲，超計劃要高價購買，所以要嚴格控制市場情況，產品Ⅰ銷售量下降，產品Ⅰ的產量不大于產品Ⅱ的產量充分利用設備，不希望加班盡可能達到并超過利潤計劃指標56千元建模：設定約束條件。(目標約束、絕對約束)規定目標約束優先級建立模型設X1，X2為產品Ⅰ，產品Ⅱ產量。2X1+X2

11X1-X2+d1--d1+=0X1+2X2+d2--d2+=108X1+10X2+d3--d3+=56X1,

X2,

di-,

di+0di-?

di+=0d1-:X1產量不足X2部分d1+

:X1產量超過X2部分d2-:設備使用不足10

部分d2+

:設備使用超過10部分d3-:利潤不足56部分d3+

:利潤超過56部分或

MinZ1=d1+MinZ2=d2-+d2+

MinZ3=d3-

MinZ=p1d1++p2(d2-+d2+)+p3(d3-)

對只具有兩個決策變量的目標規劃的數學模型，我們可以用圖解法來分析求解．通過圖解示例，可以看到目標規劃中優先因子，正、負偏差變量及權系數等的幾何意義。下面用圖解法來求解例1

我們先在平面直角坐標系的第一象限內，作出與各約束條件對應的直線，然后在這些直線旁分別標上G-i，i=1，2，3，4。圖中x，y分別表示問題的x1和x2；各直線移動使之函數值變大、變小的方向用+、-表示di+,di-．

9.2目標規劃的幾何意義及圖解法Minf=P1（d1++d2+)+P2d3++P3d4-+P4（d1-+2d2-)s.t.x1

+d1--d1+=9x2+d2--d2+=84x1+6x2

+d3--d3+=6012x1+18x2

+d4--d4+=252x1,x2

,di-,d