案例分析：現實數學觀與生活數學觀課題：平均數課時：一課時材料準備：教師的講臺上有一個“工具箱”，里面預先準備了一些粉筆頭、一些碎紙、一些紗線，一些正方體的小積木，而學生則準備有鉛筆盒、記錄本等。臨床描述在本節課的一開始，教師就先向學生呈現了一段錄像，在錄像中描述了這樣一段情節（簡述）：在一個幼兒園的某一個教室里，十幾個幼兒正圍坐在一起，玩著“搭紙”游戲。這時，一位女教師手捧一個紙盒走進來，從鏡頭中可以看到，里面有許多有著漂亮包裝的糖果。教師將這個紙盒放在學生前面的一個小桌上（類似于教師的講臺），又匆匆出去了。小朋友們開始好像并沒有太多的注意，老師拿了什么進來，又為什么要出去。但是，因為這位老師好久沒有進來，小朋友們就開始有些奇怪了。先是竊竊私語，然后是出聲的爭論。這時可以聽到他們議論最多的是，盒子里面究竟是什么。再后，有一個小朋友大著膽子走上前，看到了紙盒里是好多的糖果，大為興奮，揮著小手大聲地告訴大家。于是，小朋友紛紛上前探個究竟。開始是二、三個，然后就有許多小朋友上來看。瞧這些小朋友，有些興奮和騷動。還有幾個小朋友的小手開始不停地動著，而且頭不斷地向前張望著。終于，一個小朋友忍不住悄悄上來，在紙盒前駐足片刻，拿了一顆糖果。于是，又有幾個小朋友開始學樣，上來向紙盒伸手，但并未看清他們都拿了多少糖果。再后，就是所有小朋友都一擁而上，紛紛伸手去抓糖果。這下可好，那些小朋友坐的、站的都有；有的在將糖果往自己的小口袋放，有的在向別人要糖果，有的則在哭,……。此時，教師進來了，看到小朋友們亂作一團的場景，再看紙盒，里面早已空了，就知道是怎么回事了。教師免不了要向幼兒做一番教育。然后問了他們幾個問題：你們想過沒有，為什么有的小朋友很高興，有的小朋友很不高興？應該怎樣做，才能使大家都高興？接下來你們應該怎么做？想一想，然后老師可能會怎么做？（錄像結束）接著，教師邊播放第二遍錄像，邊讓全班學生思考幼兒園老師的問題。提出，可以每四個同學組成一組進行討論，并利用自己的學習用品來模擬剛才幼兒園小朋友的行為過程，提出自己想要弄懂的問題。于是，學生有的用畫線段圖的方式，有的用用擺小物品（如一些長短不一的細繩）的方式，也有的利用教師預先給出的正方體小積木，紛紛根據教師提出的問題，去嘗試解決的方法。可以看到，有一個小組先是將一堆小積木分成多少不一的幾堆，然后是試著將多的積木往少的地方放。可能是由于積木的塊數不巧，加上多少相差太大，所以，四個人邊動手，邊爭論，最終也沒有獲得成功。突然，其中一個學生提出，為什么不將這些積木先全部集中起來，然后來重新分呢？這次，小組獲得了成功，他們先將不同塊數的幾堆積木堆在了一起，然后像“發牌”一樣，每次一塊，一次發給每一堆。這時，教師正好在巡視中走了過來，她向小組的同學提了一個問題：想想看，還有什么辦法能更快的解決問題呢？于是，小組又展開了討論。新的方法出現了，就是先數出積木的總數目，然后數一數要放幾堆，用除法一算，就知道每一堆應該有幾塊，這樣，只要直接將積木一次發給每一堆就可以了。還可以看到，有一個小組的同學從教師講臺上的工具箱內取了若干（好像是5根）長短不一的細紗線，開始時，他們曾嘗試這些紗線的一頭對齊并捏緊，然后準備將長的部分都剪下來，但是，很快他們就放棄了這個嘗試，因為他們發現，如果不斷地將多的部分剪下來再拼到少的地方去的話，活動是很難完成的。于是，在小組的一個同學的啟發下，他們又嘗試先量出每一根紗線的長度，可能想通過計算來解決問題。當然，他們最終也放棄了這個辦法，因為這些紗線的長度都不是一個整數值（這可能時因為教師本來在選擇紗線長度時就是隨意的，也可能是教師刻意設計的），所以計算非常的不方便。似乎活動陷入了僵局。突然，一個其他小組的學生走了過來（可能這個教師在學生的小組活動時，是允許甚至鼓勵學生走出自己小組范圍的），猛地冒出了一句話：哎呀，把他們接起來嗎！真是柳暗花明又一村，一句話點醒了夢中人！小組里其中兩個學生的反應最快，他們馬上動手，將這5根紗線打結連了起來，接下來就更明白了，再通過“折”的方式，將這根長的紗線折成5斷，并不斷的修正它們的長度，直到這5根紗線的長度相同為止。……觀察中發現，在這個階段，各小組的學生基本上就是在動手做各種嘗試性的操作活動，并沒有做任何的記錄活動。當這個階段的活動基本結束以后，教師向每一個活動小組發了一張紙（可以看到，上面寫著“工作記錄表”）。她要求學生通過討論來回憶剛才自己的活動過程，思考并填寫這張“工作記錄表”。這張“工作記錄表”大致是這樣的：你的工作表格一、學習任務小朋友爭吵的原因是什么？你認為應該怎樣解決整個問題？現在你是否知道自己最想探究下列哪些小問題？□解決這一類問題需要哪些步驟？□解決這一類問題的最關鍵步驟可能是什么？□解決這一類問題的過程有哪些最基本特點？□是否專門有一個方法來解決這類問題？□有多少方法可能來解決這一類的問題？二、預測你能不能猜猜這位幼兒園的老師要解決這個問題，她第一步將會怎么做？請說說你的理由。三、學習計劃你第一步主要想探究的問題最終你想弄清楚的問題四、你的每一步操作所做的和觀察到的結論：五、評價現在你可以自己來判斷一下，原來的猜測對嗎？如果有錯，主要是什么地方錯了？為什么會錯？最后，通過各小組的學生陳述自己的發現和想法，設法來證明自己的結論，從而得出這一類問題的基本性質以及問題解決的基本特征和基本方法。接下來，教師還有意識地設計了一系列的跟進活動，來發展學生的知識以及將知識運用于實際情景的能力：活動一為迎接“城市運動會”，學校接到一項任務，為大會編織一批彩花。大隊部將這個任務交給了五（1）中隊。中隊第一天派了6位少先隊員，結果共做了92朵彩花，第二天派了8位少先隊員，結果共做了106朵彩花。到了運動會召開的前一天，大會突然要求學校再補充250朵彩花，并在一天內完成。你認為派多少個少先隊員來完成此任務較為合適？為什么？活動二下面是兩個小組的英語朗誦成績，你能用多少種方法來判斷這兩個小組的成績好壞？并試著做一些比較。序號12345678一組8876849389906481二組7799786797837490活動三現在你將第一小組的第6號的同學去掉，這時你再用原來的方法進行成績好壞的判斷，并進行一些比較。你的結論和發現還是原來的一樣嗎？活動四下面是一份某公司的月工資報表。如果公司讓你到勞務市場去招聘一名職員，請你依據這個報表，設計一句既不帶有欺騙性卻有能吸引大家愿意來工作的話來。工種工資（元）經理副經理工程師科長職員勤工35002800250018001400800附：課后的調查觀察者拿了本案例的“跟進活動”中的第一個問題，進入了采用“常規方法”來組織學習“平均數”知識的不同的五個班級，在每次課后都隨機地選取五個學生進行測試，時間限制在2分鐘，結果是,在這25個樣本中，問題解決的準確率不足30％，而錯誤率則要高達72％，其中問題表征的錯誤人數達16人，占64％，計算錯誤2人，占8％。通過訪談進一步發現，不能將問題與已經習得的知識建立聯系的人數有11人，其余的學生是不能理解問題“你認為派多少個少先隊員來完成此任務較為合適？為什么？”的意義。其中曾有這樣一段對話：觀察者：你想想，剛才在課內學習了什么知識？學生：平均數的知識。觀察者：那你認為能不能用剛才學到的知識來解決這個問題呢？學生：（猶豫）好象不能？觀察者：為什么不能？學生：因為這道題目里面沒有“平均”這個字（即平均這個詞語——觀察者注）【主題】在小學數學學習的組織過程中，究竟應當如何體現出現實數學觀與生活數學觀這樣的學科性質特征？【提示】長期的研究已經表明，兒童常常是通過探索他們自己的生活世界和精神世界來了解并獲得學習的，常常是通過自己的大量的實踐活動來獲得數學知識的，常常是在許許多多的問題解決過程來發展自己的數學認知能力的。兒童認識數學的起點并不是符號所組成的邏輯公理，而是它們自己的生活實踐所形成的經驗。【要求】·評析應當緊緊扣住小學數學的學科性質的本質來展開；·在評析過程中做到有理有據；·在評析過程中要注意結合教材中的第一、第九章的相關內容來進行；對于“數學觀”的解釋是：“作為生活的數學，往往是一種經驗符號的數學，更多運用的是語言和直覺。作為生活的數學，就是指存在于生活實踐中的那些非形式的數學，是人們在社會生活的實踐活動中獲得交流和理解的數學。”可是，我更多地將它理解為孩子們原本已獲取的與數學相關的生活經驗，這正是將兒童日常的生活或經驗與書本上的數學結合起來的最好的橋梁，也正是許多數學特級教師理論中所提倡的“關注學生對相關知識的掌握程度，對已有的經驗進行遷移。”這里的“遷移”的“已有的經驗”，就是將孩子們已經獲得的生活數學。“遷移”，就是對生活數學進行理論化和系統化，使之成為書本上數學知識。在這個案例中，孩子們雖然沒有學過平均數，但是依照他們原有的生活經驗，他們同樣可以將積木用“發牌”的方式平均分配好（也可以每一次先等量地分發給每一個人，然后再這樣輪發）；同樣可以將長短不一的線先接起來然后平均分成一樣長的幾份……這些，都是孩子們生活中積累起來的經驗，是生活數學。兒童更多的是利用生活中直觀材料的操作來解決問題，只有當任務較大，要分的物品或者對象數額比較大、比較復雜時，才開始嘗試獲得另一種方法，最終形成了用“除法”的概念和算法。在小學教學《認識平均數》時，就從現實生活情境中引入概念，溝通數學與生活的聯系結合實際問題（通過小組口算比賽）比賽是哪一組獲勝，引導學生展開交流、思考。讓學生感受到數學就在我們身邊，從而深刻認識到數學的價值與魅力。在學生的活動討論中，在認知沖突下，認識在人數不同的情況下，比總數顯然也不公平；而感受平均數是實際生活的需要，也產生了學習“平均數”的需求。教學只有組織了這個過程，學生對平均數的統計意義以及作用才有比較深刻的理解，也才能在面臨相類似問題時，能自主地想到用平均數作為一組數據的代表，去進行比較和分析。對于“現實數學觀”的解釋是：“現實數學是依靠‘局部組織’來支撐的，它往往是依賴于人的經驗的，是存在于我們的現實之中的。對于大多數的人來說，是他們加強與外部世界進行溝通和交互，從而獲得高質量生存并推進社會進步的一些必要的知識，因為每一個人的經歷不同，他們對現實數學的理解也會有差異。”“平均數”作為一個數學概念，是對一組數的集中和離散程度的本質認識。掌握了單個詞匯并不一定就是理解了概念。本例中，在采用“常規方法”來組織學習“平均數”知識的班級中，雖然在概念的形成過程中，設計了生活化情境，可在跟進活動中學生仍然不能將問題與習得知識建立聯系甚至不能理解真實情境問題本身的意義，就是因為他們沒有真正理解作為數學概念的“平均數”的本質意義。而小學數學學教學中，教師就會充分創造有效的數學學習方式，讓學生理解平均數的意義和學會平均數的算法，教師應從多方面向學生提供充分從事數學活動的機會，讓每一位學生主動從事數學活動，讓學生自己探索出求平均數的方法。一種是先合再分，一種是移多補少。由于生活經驗和知識基礎，學生中有一部分已經知道用移多補少的方法找出平均數，其實這種方法也能夠利用教材上的統計圖很好地進行過程的演示；還有一部分數感較強的學生，能夠根據提供的一組數據感覺出平均數大概是多少；而用總數除以份數得到平均數的計算，也不難，學生肯定會有這種思維。平均數”的概念比較抽象，很多人對平均數的含義不理解。于是教學中可以設計了兩個包含平均數的句子，通過分析，讓學生進一步理解平均數反映的是一組數據的總體情況是一個虛擬的數，而不是具體的真實數。通過學生對句子的解釋可以看出學生對于“平均數”的表象已經逐步清晰起來。小學生數學學習的實質是，用自己與世界相互作用的獨特經驗去建構有關數學學科知識和技能的過程。從這個意義上說，小學兒童的生活經驗理所當然地成為他們數學學習的一個重要基礎，進而成為我們構建小學數學教學模式和開發小學數學活動課程的龐大資源庫。小學兒童的數學學習與生活經驗是緊密相連的，他們的學習過程就是一個經驗的激活、利用、調整、提升的過程，是“自己對生活現象的解讀”，是“建立在經驗基礎上的一個主動建構的過程”。小學兒童的數學學習活動與