第3練復數[明考情]復數是高考必考題，以選擇題形式出現，題目難度為低檔，多數在第一題或第二題的位置.[知考向]1.復數的概念.2.復數的運算.3.復數的幾何意義.考點一復數的概念要點重組(1)復數：形如a＋bi(a，b∈R)的數叫做復數，其中a，b分別是它的實部和虛部，i為虛數單位.若b＝0，則a＋bi為實數；若b≠0，則a＋bi為虛數；若a＝0且b≠0，則a＋bi為純虛數.(2)復數相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).(3)共軛復數：a＋bi與c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).(4)復數的模：向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模r叫做復數z＝a＋bi(a，b∈R)的模，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝eq\r(a2＋b2)(r≥0，r∈R).1.設復數z＝1＋i(i是虛數單位)，則復數z＋eq\f(1,z)的虛部是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)iC.eq\f(3,2) D.eq\f(3,2)i答案A解析因為z＝1＋i，所以z＋eq\f(1,z)＝1＋i＋eq\f(1,1＋i)＝1＋i＋eq\f(1－i,2)＝eq\f(3,2)＋eq\f(i,2)，所以虛部為eq\f(1,2)，故選A.2.(2017·全國Ⅲ)設復數z滿足(1＋i)z＝2i，則|z|等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2)D.2答案C解析方法一由(1＋i)z＝2i，得z＝eq\f(2i,1＋i)＝1＋i，∴|z|＝eq\r(2).故選C.方法二∵2i＝(1＋i)2，∴由(1＋i)z＝2i＝(1＋i)2，得z＝1＋i，∴|z|＝eq\r(2).故選C.3.設復數z滿足eq\f(1＋z,1－z)＝i，則|z|等于()A.1 B.eq\r(2)C.eq\r(3) D.2答案A解析由eq\f(1＋z,1－z)＝i，得1＋z＝i－zi，∴z＝eq\f(－1＋i,1＋i)＝i，∴|z|＝|i|＝1.4.已知i是虛數單位，a，b∈R，則“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案A解析當a＝b＝1時，(a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i，反過來(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝2i，則a2－b2＝0，2ab＝2，解得a＝1，b＝1或a＝－1，b＝－1，故“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的充分不必要條件，故選A.5.(2016·江蘇)復數z＝(1＋2i)(3－i)，其中i為虛數單位，則z的實部是________.答案5解析z＝(1＋2i)(3－i)＝5＋5i.故z的實部為5.6.復數(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i是虛數，則實數答案{m|m≠6且m≠－1}考點二復數的運算方法技巧復數的四則運算類似于多項式的四則運算，復數除法的關鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數.7.(2017·山東)已知i是虛數單位，若復數z滿足zi＝1＋i，則z2等于()A.－2i B.2iC.－2 D.2答案A解析方法一∵z＝eq\f(1＋i,i)＝eq\f(1＋i－i,i－i)＝1－i，∴z2＝(1－i)2＝－2i.方法二∵(zi)2＝(1＋i)2，即－z2＝2i，∴z2＝－2i.故選A.8.已知復數z滿足(3＋4i)z＝25，則z等于()A.3－4i B.3＋4iC.－3－4i D.－3＋4i答案A解析由題意得z＝eq\f(25,3＋4i)＝eq\f(253－4i,3＋4i3－4i)＝eq\f(253－4i,25)＝3－4i，故選A.9.設i是虛數單位，eq\x\to(z)表示復數z的共軛復數.若z＝1＋i，則eq\f(z,i)＋i·eq\x\to(z)等于()A.－2 B.－2iC.2 D.2i答案C解析由題意知，eq\f(z,i)＋i·eq\x\to(z)＝eq\f(1＋i,i)＋i(1－i)＝eq\f(1＋ii,i2)＋1＋i＝1－i＋1＋i＝2，故選C.10.復數eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))2＝________.答案－1解析eq\f(1＋i,1－i)＝eq\f(1＋i2,1－i1＋i)＝eq\f(2i,2)＝i，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))2＝i2＝－1.11.已知i為虛數單位，若復數z＝eq\f(1－ai,1＋i)(a∈R)的虛部為－3，則|z|＝________.答案eq\r(13)解析因為z＝eq\f(1－ai,1＋i)＝eq\f(1－ai1－i,2)＝eq\f(1－a－a＋1i,2)＝eq\f(1－a,2)－eq\f(a＋1,2)i，所以－eq\f(a＋1,2)＝－3，解得a＝5，所以z＝－2－3i，所以|z|＝eq\r(－22＋－32)＝eq\r(13).考點三復數的幾何意義要點重組(1)復數z＝a＋bieq\o(,\s\up7(一一對應))復平面內的點Z(a，b)(a，b∈R).(2)復數z＝a＋bi(a，b∈R)eq\o(,\s\up7(一一對應))平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→)).12.復平面內表示復數i(1－2i)的點位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案A解析因為復數z＝i(1－2i)＝i－2i2＝2＋i，它在復平面內對應點的坐標為(2，1)，位于第一象限.13.設復數z1，z2在復平面內的對應點關于虛軸對稱，z1＝2＋i，則z1z2等于()A.－5 B.5C.－4＋i D.－4－i答案A解析由題意知，z2＝－2＋i，所以z1z2＝－5，故選A.14.(2016·全國Ⅱ)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在復平面內對應的點在第四象限，則實數m的取值范圍是()A.(－3，1) B.(－1，3)C.(1，＋∞) D.(－∞，－3)答案A解析由復數z＝(m＋3)＋(m－1)i在復平面內對應的點在第四象限，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋3>0，,m－1<0，))解得－3<m<1，故選A.15.已知復數z＝eq\f(i＋i2＋i3＋…＋i2017,1＋i)，則復數z在復平面內對應的點位于第_______象限.答案一解析因為i4n＋k＝ik(n∈Z)，且i＋i2＋i3＋i4＝0，所以i＋i2＋i3＋…＋i2017＝i，所以z＝eq\f(i,1＋i)＝eq\f(i1－i,1＋i1－i)＝eq\f(1＋i,2)，對應的點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))，在第一象限.16.如圖，在復平面內，復數z1，z2對應的向量分別是eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，則|z1＋z2|＝_________.答案2解析由題意知，z1＝－2－i，z2＝i，∴z1＋z2＝－2，∴|z1＋z2|＝2.1.設z1，z2∈C，則“z1，z2中至少有一個數是虛數”是“z1－z2是虛數”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案B解析若虛數z1，z2的虛部相等，則z1－z2是實數，故充分性不成立；又若z1，z2全是實數，則z1－z2不是虛數，故必要性成立.故選B.2.設x，y為實數，且eq\f(x,1－i)＋eq\f(y,1－2i)＝eq\f(5,1－3i)，則x＋y＝______.答案4解析由題意得eq\f(x,2)(1＋i)＋eq\f(y,5)(1＋2i)＝eq\f(5,10)(1＋3i)，∴(5x＋2y)＋(5x＋4y)i＝5＋15i，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＋2y＝5，,5x＋4y＝15，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝5，))∴x＋y＝4.解題秘籍(1)復數的概念是考查的重點，虛數及純虛數的意義要把握準確.(2)復數的運算中除法運算是高考的熱點，運算時要分母實數化(分子分母同乘以分母的共軛復數)，兩個復數相等的條件在復數運算中經常用到.1.(2017·全國Ⅱ)eq\f(3＋i,1＋i)等于()A.1＋2iB.1－2iC.2＋iD.2－i答案D解析eq\f(3＋i,1＋i)＝eq\f(3＋i1－i,1＋i1－i)＝eq\f(3－3i＋i＋1,2)＝2－i.2.復數z＝eq\f(1＋i,1－2i)的虛部為()A.－eq\f(1,5)B.eq\f(1,5)C.－eq\f(3,5)D.eq\f(3,5)答案D解析z＝eq\f(1＋i,1－2i)＝eq\f(1＋i1＋2i,1－2i1＋2i)＝－eq\f(1,5)＋eq\f(3,5)i，所以其虛部為eq\f(3,5).3.若復數z滿足eq\f(z,1－i)＝i，其中i為虛數單位，則eq\x\to(z)等于()A.1－i B.1＋iC.－1－i D.－1＋i答案A解析∵eq\f(z,1－i)＝i，∴z＝i(1－i)＝i－i2＝1＋i，∴eq\x\to(z)＝1－i.4.設i是虛數單位，則復數eq\f(2i,1－i)在復平面內所對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案B解析eq\f(2i,1－i)＝eq\f(2i1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(2ii＋1,2)＝－1＋i，由復數的幾何意義知，－1＋i在復平面內的對應點為(－1，1)，該點位于第二象限，故選B.5.eq\f(1＋i3,1－i2)等于()A.1＋i B.1－iC.－1＋i D.－1－i答案D解析由已知得eq\f(1＋i3,1－i2)＝eq\f(1＋i21＋i,1－i2)＝eq\f(2i1＋i,－2i)＝－1－i.6.若a為實數，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，則a等于()A.－1B.0答案B解析因為a為實數，且(2＋ai)(a－2i)＝4a＋(a2－4)i＝－4i，得4a＝0且a2－4＝－4，解得7.eq\x\to(z)是z的共軛復數，若z＋eq\x\to(z)＝2，(z－eq\x\to(z))i＝2(i為虛數單位)，則z等于()A.1＋i B.－1－iC.－1＋i D.1－i答案D解析設z＝a＋bi(a，b∈R)，則eq\x\to(z)＝a－bi.由z＋eq\x\to(z)＝2，得a＝1，由(z－eq\x\to(z))i＝2，得b＝－1，所以z＝1－i，故選D.8.“復數z＝eq\f(3＋ai,i)在復平面內對應的點在第三象限”是“a≥0”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案D解析由題意得z＝a－3i，若z在復平面內對應的點在第三象限，則a＜0，故選D.9.已知a＞0，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a＋i,i)))＝2，則a等于()A.2 B.eq\r(3)C.eq\r(2) D.1答案B解析eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a＋i,i)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(－ai＋1,1)))＝eq\r(－a2＋1)＝2，即a2＝3.又∵a＞0，∴a＝eq\r(3).10.已知復數z＝(5＋2i)2(i為虛數單位)，則復數z的實部是____________.答案21解析由題意知z＝(5＋2i)2＝25＋2×5×2i＋(2i)2＝21＋20i，其實部為21.11.(2016·天津)已知a，b∈R，i是虛數單位，若