第4節直線、平面平行的判定與性質【選題明細表】知識點、方法題號與平行有關的命題判斷1,2,3,5,6直線與平面平行4,12,14,15平面與平面平行10綜合問題7,8,9,11,13基礎對點練(時間:30分鐘)1.設α,β是兩個不同的平面,m,n是平面α內的兩條不同直線,l1,l2是平面β內的兩條相交直線,則α∥β的一個充分不必要條件是(A)(A)m∥l1且n∥l2 (B)m∥β且n∥l2(C)m∥β且n∥β (D)m∥β且l1∥α解析:由m∥l1,m?α,l1?β,得l1∥α,同理l2∥α,又l1,l2相交,所以α∥β,反之不成立,所以A正確.2.α,β,γ為三個平面,a,b,c為三條直線,且α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c,若a∥b,則c和a,b的位置關系是(C)(A)c和a,b都異面(B)c與a,b都相交(C)c與a,b都平行(D)c至少與a,b中的一條相交解析:因為a∥b,而a?α,b?α,所以b∥α.因為b?γ,γ∩α=c,所以b∥c.綜上a∥b∥c.故選C.3.(2016·福建聯考)設l,m,n表示不同的直線,α,β,γ表示不同的平面,給出下列四個命題:①若m∥l,且m⊥α,則l⊥α;②若m∥l,且m∥α,則l∥α;③若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,則l∥m∥n;④若α∩β=m,β∩γ=l,γ∩α=n,且n∥β,則l∥m.其中正確命題的個數是(B)(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:對①,兩條平行線中有一條與一平面垂直,則另一條也與這個平面垂直,故①正確;對②,直線l可能在平面α內,故②錯誤;對③,三條交線除了平行,還可能相交于同一點,故③錯誤;對④,結合線面平行的判定定理和性質定理可判斷其正確.綜上①④正確.4.如圖,正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F分別為棱AB,CC1的中點,在平面ADD1A1內且與平面D(A)有無數條 (B)有2條(C)有1條 (D)不存在解析:因為平面D1EF與平面ADD1A1有公共點D1,所以兩平面有一條過D1的交線l,在平面ADD1A1內與l平行的任意直線都與平面D5.若平面α∥平面β,直線a∥平面α,點B∈β,則在平面β內且過B點的所有直線中(A)(A)不一定存在與a平行的直線(B)只有兩條與a平行的直線(C)存在無數條與a平行的直線(D)存在唯一與a平行的直線解析:當直線a在平面β內且過B點時,不存在與a平行的直線,故選A.6.(2016·溫州模擬)已知m,n是兩條不同的直線,α,β,γ是三個不同的平面,下列命題中錯誤的是(C)(A)若m⊥α,m⊥β,則α∥β(B)若α∥γ,β∥γ,則α∥β(C)若m?α,n?β,m∥n,則α∥β(D)若m,n是異面直線,m?α,m∥β,n?β,n∥α,則α∥β解析:由線面垂直的性質可知A正確;由兩個平面平行的性質可知B正確;由異面直線的性質易知D也是正確的;對于選項C,α,β可以相交、可以平行,故C錯誤.7.(2016·福州模擬)已知直線a,b異面,給出以下命題:①一定存在平行于a的平面α使b⊥α;②一定存在平行于a的平面α使b∥α;③一定存在平行于a的平面α使b?α;④一定存在無數個平行于a的平面α與b交于一定點.則其中論斷正確的是(D)(A)①④ (B)②③ (C)①②③ (D)②③④解析:對于①,若存在平面α使得b⊥α,則有b⊥a,而直線a,b未必垂直,因此①不正確;對于②,注意到過直線a,b外一點M分別引直線a,b的平行線a1,b1,顯然由直線a1,b1可確定平面α,此時平面α與直線a,b均平行,因此②正確;對于③,注意到過直線b上的一點B作直線a2與直線a平行,顯然由直線b與a2可確定平面α,此時平面α與直線a平行,且b?α,因此③正確;對于④,在直線b上取一定點N,過點N作直線c與直線a平行,經過直線c的平面(除由直線a與c所確定的平面及直線c與b所確定的平面之外)均與直線a平行,且與直線b相交于一定點N,因此④正確.綜上所述,②③④正確.8.(2016·襄陽模擬)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是BC1,CD1(A)MN與CC1垂直 (B)MN與AC垂直(C)MN與BD平行 (D)MN與A1B1平行解析:如圖所示,連接C1D,BD,AC,則MN∥BD,而C1C⊥故C1C⊥故A,C正確,D錯誤,又因為AC⊥BD,所以MN⊥AC,B正確.9.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,O為底面ABCD的中心,P是DD1的中點,設Q是CC1上的點,則點Q滿足條件時,有平面D1BQ∥平面PAO.解析:如圖所示,假設Q為CC1的中點,因為P為DD1的中點,所以QB∥PA.連接DB,因為P,O分別是DD1,DB的中點,所以D1B∥PO,又D1B?平面PAO,QB?平面PAO,PO?平面PAO,PA?平面PAO,所以D1B∥平面PAO,QB∥平面PAO,又D1B∩QB=B,所以平面D1BQ∥平面PAO.故Q為CC1的中點時,有平面D1BQ∥平面PAO.答案:Q為CC1的中點10.如圖,平面α∥平面β,△ABC,△A′B′C′分別在α,β內,線段AA′,BB′,CC′共點于O,O在α,β之間,若AB=2,AC=1,∠BAC=60°,OA∶OA′=3∶2,則△A′B′C′的面積為.

解析:相交直線AA′,BB′所在平面和兩平行平面α,β相交于AB,A′B′,所以AB∥A′B′.同理BC∥B′C′,CA∥C′A′.所以△ABC與△A′B′C′的三內角相等,所以△ABC∽△A′B′C′,A'B'AB=S△ABC=12×2×1×32=所以S△A′B′C′=32×(23)2=32×4答案:211.導學號18702366α,β,γ是三個平面,a,b是兩條直線,有下列三個條件:①α∥γ,b?β;②a∥γ,b∥β;③b∥β,a?γ.如果命題“α∩β=a,b?γ,且,則a∥b”為真命題,則可以在橫線處填入的條件是(填上你認為正確的所有序號).

解析:①α∥γ,α∩β=a,β∩γ=b?a∥b(面面平行的性質).②如圖所示,α∩β=a,b?γ,a∥γ,b∥β,而a,b異面,故②錯.③b∥β,b?γ,β∩γ=a?a∥b(線面平行的性質).答案:①③12.導學號18702367在三棱錐SABC中,△ABC是邊長為6的正三角形,SA=SB=SC=15,平面DEFH分別與AB,BC,SC,SA交于D、E、F、H,D、E分別是AB,BC的中點,如果直線SB∥平面DEFH,那么四邊形DEFH的面積為.

解析:取AC的中點G,連接SG,BG.易知SG⊥AC,BG⊥AC,故AC⊥平面SGB,所以AC⊥SB.因為SB∥平面DEFH,SB?平面SAB,平面SAB∩平面DEFH=HD,則SB∥HD.同理SB∥FE.又D,E分別為AB,BC的中點,則H,F也為AS,SC的中點,從而得HF12所以四邊形DEFH為平行四邊形.又AC⊥SB,SB∥HD,DE∥AC,所以DE⊥HD,所以四邊形DEFH為矩形,其面積S=HF·HD=(12AC)·(12SB)=答案:45能力提升練(時間:15分鐘)13.導學號18702369正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1cm,過AC作平行于對角線BD1的截面,則截面面積為cm2.解析:如圖所示,截面ACE∥BD1,平面BDD1∩平面ACE=EF,其中F為AC與BD的交點,所以E為DD1的中點,所以S△ACE=12×2×=64(cm2答案:614.導學號18702370如圖,矩形ABCD中,E為邊AB的中點,將△ADE沿直線DE翻轉成△A1DE.若M為線段A1C的中點,則在△ADE翻轉過程中,正確的命題是.①MB是定值;②點M在圓上運動;③一定存在某個位置,使DE⊥A1C④一定存在某個位置,使MB∥平面A1DE.解析:取DC中點N,連接MN,NB,則MN∥A1D,NB∥DE,所以平面MNB∥平面A1DE,因為MB?平面MNB,所以MB∥平面A1DE,④正確;∠A1DE=∠MNB,MN=12A1D=定值,NB=DE=定值,根據余弦定理得MB2=MN2+NB2-2MN·NB·cos∠所以MB是定值.①正確;B是定點,所以M是在以B為圓心,MB為半徑的圓上,②正確;當矩形ABCD滿足AC⊥DE時存在,其他情況不存在,③不正確.所以①②④正確.答案:①②④15.導學號18702371如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側棱AA1⊥底面ABC,AB⊥BC,D為AC的中點,AA1(1)求證:AB1∥平面BC1D;(2)設BC=3,求四棱錐B-DAA1C1(1)證明:連接B1C,設B1C與BC因為四邊形BCC1B1是平行四邊形,所以點O為B1C因為D為AC的中點,所以OD為△AB1C所以OD∥AB1.因為OD?平面BC1D,AB1?平面BC1D,所以AB1∥平面BC1D.(2)解:因為AA1⊥平面ABC,AA1?平面AA1C所以平面ABC⊥平面AA1C因為平面ABC∩平面AA1C連接A1B,作BE⊥AC,垂足為E,則BE⊥平面AA1C因為AB=AA1=2,BC=3,AB⊥BC,所以在Rt△ABC中,AC=AB2+BC所以BE=AB·BCAC所以四棱錐B-AA1C1V=13×12(A1C1+AD)·AA=16×3213×=3.好題天天練1.導學號18702372(2015·天津濱海模擬)如圖,在四面體ABCD中,截面PQMN是正方形,且PQ∥AC,則下列命題中,錯誤的是(C)(A)AC⊥BD(B)AC∥截面PQMN(C)AC=BD(D)異面直線PM與BD所成的角為45°解題關鍵:此題的關鍵是利用線線平行得到線面平行.解析:由題意可知QM∥BD,PQ⊥QM,PQ∥AC,所以AC⊥BD,故A正確;由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN,故B正確;由PN∥BD可知,異面直線PM與BD所成的角等于PM與PN所成的角,又四邊形PQMN為正方形,所以∠MPN=45°,故D正確.2.導學號18702373如圖,AB為圓O的直徑,點E,F在圓O上,且AB∥EF,矩形ABCD所在的平面和圓O所在的平面互相垂直,且AD=EF=AF=1,AB=2.(1)求證:平面AFC⊥平面CBF;(2)在線段CF上是否存在一點M,使得OM∥平面DAF?并說明理由.(1)證明:因為平面ABCD⊥平面ABEF,CB⊥AB,平面A