2.4等比數列（一）掌握等比數列的定義，理解等比數列的通項公式及推導過程，并能應用等比數列的定義及通項公式解決問題．課前自主學習1．如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，那么這個數列叫做________數列，這個常數叫做等比數列的________，公比通常用字母q表示(q≠0)．答案：等比公比自學導引2．如果在a與b中間插入一個數G，使a，G，b成等比數列，那么G叫做a與b的________．答案：等比中項3．等比數列的通項公式為________．答案：an＝a1qn－11．等比數列的公比能否為0，首項能否為0?答案：等比數列的首項，公比都不為0.2．若G2＝ab，則a，G，b一定成等比數列嗎？答案：不一定，因為若G＝0，且a，b中至少有一個為0，使G2＝ab，根據等比數列的定義，a，G，b不成等比數列．當a，G，b全不為零時，若G2＝ab，則a，G，b成等比數列．自主探究A．an＝a3qn－2 B．an＝a3qn－1C．an＝a3qn－3 D．an＝a3qn－4解析：∵a3qn－3＝a1·q2·qn－3＝aqn－1＝an.答案：C預習測評2．如果－1，a，b，c，－9成等比數列，那么 (

)A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9解析：∵b是－1，－9的等比中項，∴b2＝9，b＝±3，又因為等比數列奇數項符號相同，得b＜0，故b＝－3，而b又是a，c的等比中項，故b2＝ac，ac＝9，故選B答案：B課堂講練互動1．等比數列的定義關于定義理解的幾點注意：(1)由于等比數列每一項都可能作分母，故每一項均不為0，因此q也不能是0.要點闡釋(3)如果一個數列不是從第2項起而是從第3項或第4項起每一項與它前一項的比都是同一個常數，此數列不是等比數列．這時可以說此數列從第2項起或第3項起按原數列的項的排列順序組成一個新數列是一個等比數列．(4)項不為0的常數數列是等比數列．2．等比中項的應用等比數列遞推關系an2＝an－1·an＋1(n≥2)，即說明等比數列的任何一項(除第一項和最后一項)都是其前后兩項的等比中項．3．通項公式的應用題型一等比數列的通項公式典例剖析方法點評：像等差數列的計算一樣，等比數列中基本量的計算是最重要、最基本的問題．(1)a2＝18，a4＝8，求a1與q；(2)a5－a1＝15，a4－a2＝6，求a3.題型二等比數列的判斷方法點評：等比數列的判斷方法主要有以下幾種：∵a1，a2，a4成等比數列，∴a22＝a1a4.即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，整理得d2＝a1d.∵a1≠0，∴a1＝d或d＝0.當a1＝d≠0時，a4＝4d，a6＝6d，a9＝9d，∴a62＝a4a9＝36d2，∴a4，a6，a9成等比數列．當a1≠0且d＝0時，是非零常數列，滿足題意．綜上可知a4，a6，a9成等比數列．題型三等比中項的應用【例3】等比數列的前三項和為168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中項．方法點評：(1)首項a1和q是構成等比數列的基本量，從基本量入手解決相關問題是研究等比數列的基本方法．(2)本題要注意同號的兩個數的等比中項有兩個，它們互為相反數，而異號的兩個數沒有等比中頂．3．已知三個數成等比數列，積為27，和為13，求這三個數．誤區解密忽視題中隱含條件而出錯錯因分析：注意b2的符號已經確定，且b2＜0，忽視了這一隱含條件，就容易產生上面的錯誤．2．公比q可為正數、負數．特殊地，當q＝1時，為常數列a1，a1，…，又若a1≠0，則它既為等差數列，又為等比數列；當q＝－1時，數列為a1，－a1，a1，－a1，….課堂總結4．公式中含有四個量a1，an，q，n，如果已知任意三個，可求第四個量．

2.4等比數列（二）進一步鞏固等比數列的定義和通項公式，掌握等比數列的性質，會用性質靈活解決問題．課前自主學習答案：相等自學導引答案：等比答案：qm－n答案：等比答案：等比答案：如果等比數列的三項的序號成等差數列，那么對應的項成等比數列．事實上，若m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，則am·an＝(a1·qm－1)·(a1·qn－1)＝a12·qm＋n－2＝a12(qk－1)2＝ak2.自主探究2．既是等差數列又是等比數列的數列存在嗎？如果存在，你能舉出例子嗎？答案：存在．例如：an＝1，既是公差為0的等差數列，又是公比為1的等比數列．預習測評答案：A答案：D4．在等比數列{an}中，a6·a15＋a9a12＝30，則前20項的積等于__________．解析：∵數列{an}成等比數列，∴a6·a15＝a9·a12，∴a6·a15＝15，∴a1·a2·a3·a4·…·a20＝(a1·a20)10＝(a6·a15)10＝1510.答案：1510

課堂講練互動1．等比數列的性質(1)在等比數列中，我們隨意取出連續的三項以上的數，把它們重新依次看成一個數列，則仍是等比數列．(2)在等比數列中，我們任取“間隔相同”的三項以上的數，把它們重新依次看成一個數列，則仍是等比數列，如：等比數列a1，a2，a3，…，an，….那么a2，a5，a8，a11，a14，…；a3，a5，a7，a9，a11…各自仍構成等比數列．要點闡釋2．等差數列與等比數列等比數列與等差數列是非常重要的兩類數列，它們在一定的條件下，可以相互轉化，等比數列與等差數列相結合的題型是考查的重點.定義(一字之差)通項公式結構相似，性質類似不同點聯系等差數列差和項沒有限制1.正項等比?為等差a>0且a≠1.2.{an}等差?等比b>0且b≠1等比數列商積項必須非零題型一等比數列的性質的應用典例剖析解：解法一：∵a6＝a2q4，其中，a2＝2，a6＝162，∴q4＝81，∴a10＝a6q4＝162×81＝13122.解法二：∵2、6、10三數成等差數列，∴a2、a6、a10成等比數列．方法點評：上述四種解法中，前三種解法是利用等比數列的性質來解的，使問題變得簡單，明了．因此要熟練掌握等比數列的性質，在解有關等比數列的問題時，要注意等比數列性質的靈活應用．1．在1與100之間插入n個正數，使這n＋2個數成等比數列，則插入的n個數的積為________．解析：利用性質“aman＝apaq“便可迅速獲得，設插入的n個數為a1，a2，…，an，G＝a1a2·…·an，則G2＝(a1an)·(a2an－1)(a3an－2)·…·(ana1)＝(1×100)n，∴G＝10n.答案：10n題型二等差數列與等比數列的綜合題【例2】三個正數成等差數列，它們的和等于15，如果它們分別加上1,3,9，就成為等比數列，求此三個數．方法點評：此類問題一般設成等差數列的數為未知數，然后利用等比數列知識建立等式求解．另外，對本題若設所求三數為a，b，c，則列出三個方程求解，運算過程將繁冗些．因此，在計算過程中，設的未知數個數應盡可能少．2．有四個數，前三個數成等差數列，后三個數成等比數列，首末兩數之和為37，中間兩數之和為36，求這四個數．誤區解密因沒數清數列的項數致誤錯因分析：對等差數列1,3，…，2n－1的項數沒數清．正解：∵a5·a2n－5＝22n＝an2，an＞0，∴an＝2n，∴log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log2(a1a3…a2n－1)＝log221＋3＋…＋(2n－1)＝log22n2＝n2.故選B答案：B1．根據等比數列的定義知，等比數列各項的符號有以下幾種規律：各項均為正值；正負(或負正)相間；各項均為負值．2．設未知數的方法很多，原則是使得未知數盡量少，方程盡量簡單，所以要根據題意選擇適當的未知數．3．一些數列通過適當的變形，可以得到一個等比數列(或等差數列)，形如an＋1＝qan＋p的數列就可以轉化為一個等比數列．課堂總結2.5等比數列的前n項和（一）1．記住等比數列的前n項和公式，能夠利用公式求等比數列的前n項和．2．掌握前n項和公式的推導方法．

課前自主學習1．在等比數列{an}中，若公比q＝1，，則其前n項和Sn＝________.答案：na12．在等比數列{an}中，若公比q≠1，則其前n項和Sn＝________＝________.自學導引1．等比數列的前n項和公式與函數有哪些關系？自主探究當公比q＝1時，因為a1≠0，所以Sn＝na1，是n的正比例函數(常數項為0的一次函數)．(2)當q≠1時，數列S1，S2，S3，…，Sn，…的圖象是函數y＝－Aqx＋A圖象上的一群孤立的點．當q＝1時，數列S1，S2，S3，…，Sn，…的圖象是正比例函數y＝a1x圖象上的一群孤立的點．2．數列a，a2，a3，…，an，…一定是等比數列嗎？答案：不一定，例如當a＝0時，數列就不是等比數列．1．等比數列1，a，a2，a3，…的前n項和為(

)預習測評解析：要考慮到公比為1的情況，此時Sn＝n.答案：D2．數列{2n－1}的前99項和為 (

)A．2100－1 B．1－2100C．299－1 D．1－2992．數列{2n－1}的前99項和為 (

)A．2100－1 B．1－2100C．299－1 D．1－299答案：C3．若等比數列{an}的前3項的和為13，首項為1，則其公比為__________．答案：3或－4答案：1

課堂講練互動1．等比數列前n項和公式的推導設等比數列a1，a2，a3，…，an，…它的前n項和是Sn＝a1＋a2＋…＋an.由等比數列的通項公式可將Sn寫成Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1. ①①式兩邊同乘以q得，qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn. ②①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn，由此得q≠1時，要點闡釋當q＝1時，Sn＝na1.以上的推導方法叫做“錯位相減法”．這是中學數學里比較重要的一種求和方法，要多用心體會．特別提示：(1)等比數列的前n項和的公式及通項公式涉及五個量：a1，q，n，an，Sn，只要知道其中任意三個量，都可以通過建立方程(組)等手段求出其余兩個量，俗稱“知三求二”．(2)在應用公式求和時，應注意到公式的使用條件為q≠1，當q＝1時應按常數列求和，即Sn＝na1.在解含字母參數的等比數列求和問題時，應分別討論q≠1與q＝1兩種情況．2．等比數列的判定方法(1)an＋1＝anq(an≠0，q是不為0的常數，n∈N*)?{an}為等比數列．(2)an＝cqn(c，q均是不為0的常數，n∈N*)?{an}是等比數列．(3)an＋12＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)?{an}是等比數列．題型一等比數列前n項和公式的基本運算典例剖析【例1】在等比數列{an}中，(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q.方法點評：(1)這是一類基礎題，要熟練應用等比數列的通項公式及前n項和公式，運用方程的思想，解決兩個最基本的量：首項a1和公比q.在等比數列的求和問題中，經常使用整體代換的思想．(2)在使用等比數列的前n項和公式時，要注意討論公比q＝1和q≠1兩種情況．1．若本例(1)中的條件不變，如何求{an}的通項公式？題型二錯位相減法求和2．求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0)．(2)當x≠1時，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1，∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1題型三判斷等比數列【例3】已知數列{an}的前n項和Sn＝a2n－1(a≠0，±1；n∈N*)，試判斷{an}是否為等比數列，為什么？解：{an}是等比數列，理由如下：a1＝S1＝a2－1，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(a2n－1)－(a2n－2－1)＝(a2－1)a2n－2，此時，n＝1時，a1＝a2－1.∴數列{an}的通項公式為an＝(a2－1)a2n－2(n∈N*)．即數列{an}是首項為a2－1，公比為a2的等比數列．方法點評：將已知條件Sn＝a2n－1與an＝Sn－Sn－1結合起來，得到n≥2時的通項公式an＝(a2－1)a2n－2，特別注意的是，n＝1時即a1＝a2－1能否統一到an＝(a2－1)·a2n－2中去，如果能統一起來，則數列{an}為等比數列，否則數列{an}不是等比數列．(1)求a1，a2；(2)求證：數列{an}是等比數列．誤區解密漏掉q＝1而導致錯誤【例4】在數列{an}中，an＝a2n－an(a≠0)求{an}的前n項和Sn.錯因分析：等比數列求和，一定要注意公比是否等于1，否則將導致錯誤．課堂總結2．在等比數列中的五個量Sn，n，a1，q，an中，由前n項和公式結合通項公式，知道三個量便可求其余的兩個量，同時還可以利用前n項和公式解與之有關的實際問題．3．錯位相減法是數列求和的重要方法，必須理解數列特征及掌握求和方法．

2.5等比數列的前n項和（二）理解等比數列前n項和的性質，并能用它解決等比數列的求和問題．掌握數列求和的重要方法——分組法與并項法．課前自主學習1．若數列{an}為等比數列(公比q≠－1)，Sn為前n項和，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，仍構成________數列．答案：等比2．若某數列前n項和公式為Sn＝an－1(a≠0，a≠±1，n∈N*)，則{an}成________．答案：等比數列自學導引3．若數列{an}是公比為q的等比數列，則①Sn＋m＝Sn＋qnSm.答案：q實際應用題是高考中的重要內容，那么關于解等比數列的應用題的基本步驟是什么呢？答案：解答等比數列應用題的基本步驟：(1)閱讀理解材料，且對材料作適當處理；(2)建立等比數列模型；(3)解數列模型．(4)回到實際問題．自主探究1．等比數列{an}的前n項和為Sn，若S10＝10，S20＝30，則S30＝ (

)A．70 B．90C．100 D．120解析：由于S10，S20－S10，S30－S20成等比數列．∴(S20－S10)2＝S10·(S30－S20)，又∵S10＝10，S20＝30，∴可得S30＝70.答案：A預習測評A．4 B．5 C．6 D．7答案：B3．已知數列{an}的前n項和Sn＝3n－1，則此數列為 (

)A．等差數列

B．等比數列

C．常數數列

D．遞減數列解析：a1＝S1＝31－1＝2，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝3n－1－3n－1＋1＝2·3n－1.所以對任意的正整數n，an＝2×3n－1成立，因此數列為等比數列．答案：B4．若等比數列的前n項和Sn＝5n＋m，則m＝ (

)A．－1 B．1C．－5D．5解析：a1＝5＋m，當n≥2時，an＝5n－5n－1＝4·5n－1所以5＋m＝4，m＝－1.答案：A課堂講練互動等比數列前n項和性質(1)若某數列前n項和公式為Sn＝－Aqn＋A(A≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)，則數列{an}成等比數列．(2)若數列{an}是公比為q的等比數列，則①Sn＋m＝Sn＋qn·Sm；要點闡釋③當q≠－1時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數列．利用等比數列前n項和性質解題，可以簡化計算量，提高解題速度．題型一等比數列前n項和的性質【例1】等比數列{an}的前n項和為54，前2n項的和為60，則前3n項的和為 (

)典例剖析答案：D方法點評：以上解法是根據“若{an}是等比數列且q≠－1，則“Sn