導數習題題型分類精選題型五利用導數證明不等式〔學生用〕不等式的證明問題是中學數學教學的一個難點,傳統證明不等式的方法技巧性強,多數學生不易想到,并且各類不等式的證明沒有通性通法.隨著新教材中引入導數,這為我們處理不等式的證明問題又提供了一條新的途徑,并且在近年高考題中使用導數證明不等式也時有出現,但現行教材對這一問題沒有展開研究,使得學生對這一簡便方法并不了解.利用導數證明不等式思路清晰,方法簡捷,操作性強,易被學生掌握。下面介紹利用單調性、極值、最值證明不等式的根本思路，并通過構造輔助函數，證明一些簡單的不等式。通過作輔助函數并對輔助函數求導來證明不等的的方法對相當廣泛的一類不等式是適用的。用此方法證明f(x)≧g(x)(a≦x≦b)的一般步驟是：1.作輔助函數Ｆ〔x〕=f(x)-g(x),原不等式f(x)≧g(x)(a≦x≦b)歸結為：Ｆ〔x〕≧0(a≦x≦b),這等價于Ｆ(x)在［a,b］上的最小值大于等于0.2.對Ｆ〔x〕求導，確定F＇(x)在所考慮的區間上的符號，從而確定Ｆ(x)的增減性、極值、最值等性質〔主要是單調性〕，如象例３F＇(x)的符號直接確定不了，這時一般需計算Ｆ＇＇〔x〕,直到符號能夠確定為止．注意：作輔助函數Ｆ(x)不同，確定F＇(x)符號難易程度可能不同，所以作輔助函數要 不拘一格，可對原題作適當變更．不同輔助函數構造一般來源對原不等式的不同 同解變形．一般來說:輔助函數構造方法主要有下面兩種:由欲證形式構造“形似〞函數。例如：構造出對含兩個變量的不等式，由欲證形式做恒等變形，變成初等函數四那么運算的形式，再將其中一個變量改為x，移項使等式一端為0，那么另一端即為所求作的輔助函數F〔x〕例如：兩邊可取對數，變為求證：令一．構造形似函數型1．對證明形如f(x)≧g(x)(a≦x≦b)的不等式構造形如Ｆ〔x〕=f(x)-g(x)的函數型并 通過一階求導到達證明目的的不等式。例1．求證以下不等式〔1〕〔相減〕〔2〕〔相除兩邊同除以x得〕〔3〕〔4〕：，求證；〔換元：設〕〔5〕函數，，證明：穩固練習：1.證明時，不等式2.，證明：3.時，求證：綜合應用4.例：〔理做〕設a≥0，f(x)=x－1－ln2x＋2alnx〔x>0〕.〔Ⅰ〕令F〔x〕＝xf＇〔x〕，討論F〔x〕在〔0.＋∞〕內的單調性并求極值；〔Ⅱ〕求證：當x>1時，恒有x>ln2x－2alnx＋1.例2.〔08全國卷22〕〔本小題總分值14分〕函數f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,(i)求函數f(x)的最大值；(ii)設0<a<b,證明0<g(a)+g(b)-2g()<(b-a)ln2.解：、〔2023全國卷Ⅱ理〕(本小題總分值12分)設函數有兩個極值點，且〔I〕求的取值范圍，并討論的單調性；II〕證明：例：〔1〕：，求證；〔2〕：，求證：。解：(22)(2023山東理科22題本小題總分值13分)函數為常數，e=2.71828…是自然對數的底數)，曲線在點處的切線與x軸平行.(Ⅰ)求k的值；(Ⅱ)求的單調區間；(Ⅲ)設，其中為的導函數.證明：對任意.[來源:解：2023天津理科〔21〕〔本小題總分值14分〕函數．(Ⅰ)求函數f(x)的單調區間和極值；(Ⅱ)函數y=g(x)的圖象與函數y=f(x)的圖象關于直線x=1對稱．證明當x>1時，f(x)>g(x)；(Ⅲ)如果且證明．解：〔Ⅱ〕證明：〔Ⅲ)證明：〔1〕導數習題題型分類精選題型五利用導數證明不等式〔教師用〕不等式的證明問題是中學數學教學的一個難點,傳統證明不等式的方法技巧性強,多數學生不易想到,并且各類不等式的證明沒有通性通法.隨著新教材中引入導數,這為我們處理不等式的證明問題又提供了一條新的途徑,并且在近年高考題中使用導數證明不等式也時有出現,但現行教材對這一問題沒有展開研究,使得學生對這一簡便方法并不了解.利用導數證明不等式思路清晰,方法簡捷,操作性強,易被學生掌握。下面介紹利用單調性、極值、最值證明不等式的根本思路，并通過構造輔助函數，證明一些簡單的不等式。〔一〕．通過作輔助函數并對輔助函數求導來證明不等的的方法對相當廣泛的一類不等式是適用的。用此方法證明f(x)≧g(x)(a≦x≦b)的一般步驟是：1.作輔助函數Ｆ〔x〕=f(x)-g(x),原不等式f(x)≧g(x)(a≦x≦b)歸結為：Ｆ〔x〕≧0(a≦x≦b),這等價于Ｆ(x)在［a,b］上的最小值大于等于0.2.對Ｆ〔x〕求導，確定F＇(x)在所考慮的區間上的符號，從而確定Ｆ(x)的增減性、極值、最值等性質〔主要是單調性〕，如象例３F＇(x)的符號直接確定不了，這時一般需計算Ｆ＇＇〔x〕,直到符號能夠確定為止．注意：作輔助函數Ｆ(x)不同，確定F＇(x)符號難易程度可能不同，所以作輔助函數要不拘一格，可對原題作適當變更〔或換元〕．不同輔助函數構造一般來源對原不等式的不同同解變形．一般來說:輔助函數構造方法主要有下面兩種:由欲證形式構造“形似〞函數；構造出對含兩個變量的不等式，由欲證形式做恒等變形，變成初等函數四那么運算的形式，再將其中一個變量改為x，移項使等式一端為0，那么另一端即為所求作的輔助函數F〔x〕例如：兩邊可取對數，變為求證：令一．構造形似函數型1．對證明形如f(x)≧g(x)(a≦x≦b)的不等式構造形如Ｆ〔x〕=f(x)-g(x)的函數型并 通過一階求導到達證明目的的不等式。例1．求證以下不等式〔1〕〔相減〕〔2〕〔相除〕〔3〕〔4〕：，求證；〔換元：設〕〔5〕函數，，證明：解：證：設〔1〕∴為上∴恒成立∴設∴在上∴恒成立〔2〕〔相除〕解〔2〕原式令∴∴∴在上是減函數。又∴〔3〕解：〔3〕令∴在上是增函數。∴〔4〕：，求證；〔換元：設〕解：〔4〕令，由x>0，∴t>1，〔巧點：巧在換元，降低了做題難度〕原不等式等價于令f(t)=t-1-lnt，∵當時，有，∴函數f(t)在遞增∴f(t)>f(1) 即t-1<lnt另令，那么有∴g(t)在上遞增，∴g(t)>g(1)=0∴綜上得例5函數，，證明：證：函數的定義域為．＝－1＝－當x∈〔－1，0〕時，＞0，當x∈〔0，＋∞〕時，＜0，因此，當時，≤，即≤0∴．令那么＝．∴當x∈〔－1，0〕時，＜0，當x∈〔0，＋∞〕時，＞0．∴當時，≥，即≥0，∴．綜上可知，當時，有．穩固練習：1.證明時，不等式2.，證明：3.時，求證：2．對證明形如f(x)≧g(x)(a≦x≦b)的不等式構造形如Ｆ〔x〕=f(x)-g(x)的函數，并通過一階或二階、三階求導到達證明目的的不等式。例3使用了二階求導的方法判出函數的導數的導函數單調性后再去證明不等式，也凸 顯判斷函數零點的作用。例3.當時,證明:證:令,那么, 而 當時, 因為在同一坐標系中畫出，的圖像可知，∴在上遞減,即,從而在(0,1)遞減∴f(x)<f(0)=0,從而原不等式得證.Ex:證明:當時,解:注意x=1時,原不等式〞=〞成立,而設：F(x)=, 那么F(1)=0 且，∴F(x)=,在上是增函數。從而根據F(1)=0推出與同號，∴方法二 解：欲證當時, 即證時, 設， 即證時，>0 注意到時，那么時，是減函數是增函數是減函數時是減函數是增函數∴時是增函數∴時，∴二．作輔助函數型：對含有兩個變量的不等式，可構造出以其中一個變量為為自變量的 函數，再采用上述方法證明不等式。使使用用了使用例2.：a、b為實數，且b＞a＞e,其中e為自然對數的底，求證：ab＞ba.證法一：∵b＞a＞e,∴要證ab＞ba,只要證blna＞alnb,設f(x)=xlna－alnx(x＞e),那么f′(x)=lna－.∵x＞a＞e,∴lna＞1,且＜1,∴f′(x)＞0.∴函數f(x)=xlna－alnx在(e,+∞)上是增函數，∴f(b)＞f(a)=alna－alna=0,即blna－alnb＞0,∴blna＞alnb,∴ab＞ba.證法二：要證ab＞ba,只要證blna＞alnb(e＜a＜b,即證,設f(x)=(x＞e)，那么f′(x)=＜0,∴函數f(x)在(e,+∞)上是減函數，又∵e＜a＜b,∴f(a)＞f(b),即,∴ab＞ba.Ex:假設,證明:解：要證：,需證：,設，那么需證因為∵時，。∴在上在上是增函數∴∴在上成立練習證明(1)(2)思考：(3),證明,并指出〞=〞成立的條件綜合運用典例精講例1.〔理做〕設a≥0，f(x)=x－1－ln2x＋2alnx〔x>0〕.〔Ⅰ〕令F〔x〕＝xf＇〔x〕，討論F〔x〕在〔0.＋∞〕內的單調性并求極值；〔Ⅱ〕求證：當x>1時，恒有x>ln2x－2alnx＋1.解：〔Ⅰ〕根據求導法那么有， 故，于是， 列表如下：20極小值故知在內是減函數，在內是增函數，所以，在處取得極小值．〔Ⅱ〕證明：由知，的極小值．于是由上表知，對一切，恒有．從而當時，恒有，故在內單調增加．所以當時，，即．(利用單調性證明不等式〕故當時，恒有．例2.〔08全國卷22〕〔本小題總分值14分〕函數f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,(i)求函數f(x)的最大值；(ii)設0<a<b,證明0<g(a)+g(b)-2g()<(b-a)ln2.解：(I)函數f(x)的定義域是(-1,∞),，令，解得：x=0，當-1<x<0時,,在〔-1，0〕上是增函數當x>0時,，在〔0，+∞〕上是減函數當x=0時，f(x)取得最大值，f(x)≤f(0)又f(0)=0，f(x)最大值是0(II)證法一：〔綜合法〕由(I)的結論知，由題設0<a<b,得a-b<0,因此，所以又〔這一隱性條件的挖掘很重要，一是看學生的轉換能力，二是看學生的分析能力，據需取舍。〕(1)(使用了放縮法，放縮的目的要明確。)綜上(II)證法二：作輔助函數法(構造新函數法)：解：∵，那么，又設0<a<b,證明0<g(a)+g(b)-2g()<(b-a)ln2. 構造輔助函數：設，那么，當0<x<a時，因此F(x)在(0,a)內為減函數當x>a時，因此F(x)在(a,+∞)上為增函數從而，當x=a時，F(x)有極小值F(a)因為F(a)=0,b>a,所以F(b)>0,即設,那么當x>0時,,因此G(x)在(0,+∞)上為減函數，因為G(a)=0,b>a,所以G(b)<0.即例3.〔2023全國卷Ⅱ理〕(本小題總分值12分)設函數有兩個極值點，且〔I〕求的取值范圍，并討論的單調性；〔II〕證明：解:〔I〕令，其對稱軸為。由題意知是方程的兩個均大于的不相等的實根，其充要條件為，得x⑴當時，在內為增函數；x⑵當時，在內為減函數；o-1x⑶當時，在內為增函數；o-1x〔II〕由〔I〕，〔學習難點，也是考試的區分點〕y設，那么⑴當時，在單調遞增；⑵當時，，在單調遞減。故．例4.〔1〕：，求證；〔2〕：，求證：。解：〔1〕令，由x>0，∴t>1，〔巧點：巧在換元，降低了做題難度〕原不等式等價于令f(t)=t-1-lnt，∵當時，有，∴函數f(t)在遞增∴f(t)>f(1) 即t-1<lnt另令，那么有∴g(t)在上遞增，∴g(t)>g(1)=0∴綜上得〔2〕由〔1〕令x=1,2,……(n-1)并相加得…即：高考新動態例1.(2023山東理科22題本小題總分值13分)函數為常數，e=2.71828…是自然對數的底數)，曲線在點處的切線與x軸平行.(Ⅰ)求k的值；(Ⅱ)求的單調區間；(Ⅲ)設，其中為的導函數.證明：對任意 .[來源:解：(I)，由，，∴.(II)由(I)知，.設，那么，即在上是減函數，由知，當時，從而，當時，從而.綜上可知，的單調遞增區間是，單調遞減區間是.(III)由(II)可知，當時，≤0＜1+，故只需證明在時成立.當時，＞1，且，∴.設，，那么，當時，，當時，，所以當時，取得最大值.所以.綜上，對任意，.例2.〔2023天津理科21題，本小題總分值14分〕函數．(Ⅰ)求函數f(x)的單調區間和極值；(Ⅱ)函數y=g(x)的圖象與函數y=f(x)的圖象關于直線x=1對稱．證明當x>1時， f(x)>g(x)；(Ⅲ)如果且證明．〔21〕本小題主要考查導數的運算、利