專題7瓜豆原理中動點軌跡圓或圓弧型最值問題【專題說明】動點的軌跡為定圓時，可利用：“一定點與圓上的動點距離最大值為定點到圓心的距離與半徑之和，最小值為定點到圓心的距離與半徑之差”的性質求解。確定動點軌跡為圓或者圓弧型的方法:動點到定點的距離不變，則點的軌跡是圓或者圓弧。當某條邊與該邊所對的角是定值時，該角的頂點的軌跡是圓，具體運用如下;=1\*GB3①見直角，找斜邊，想直徑，定外心，現圓形=2\*GB3②見定角，找對邊，想周角，轉心角，現圓形【知識精講】如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，Q為AP中點．考慮：當點P在圓O上運動時，Q點軌跡是？【分析】觀察動圖可知點Q軌跡是個圓，而我們還需確定的是此圓與圓O有什么關系？考慮到Q點始終為AP中點，連接AO，取AO中點M，則M點即為Q點軌跡圓圓心，半徑MQ是OP一半，任意時刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．【小結】確定Q點軌跡圓即確定其圓心與半徑，由A、Q、P始終共線可得：A、M、O三點共線，由Q為AP中點可得：AM=1/2AO．Q點軌跡相當于是P點軌跡成比例縮放．根據動點之間的相對位置關系【分析】圓心的相對位置關系；根據動點之間的數量關系【分析】軌跡圓半徑數量關系．

如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．考慮：當點P在圓O上運動時，Q點軌跡是？【分析】Q點軌跡是個圓，可理解為將AP繞點A逆時針旋轉90°得AQ，故Q點軌跡與P點軌跡都是圓．接下來確定圓心與半徑．考慮AP⊥AQ，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AM⊥AO；考慮AP=AQ，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AM=AO，且可得半徑MQ=PO．即可確定圓M位置，任意時刻均有△APO≌△AQM．如圖，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，當P在圓O運動時，Q點軌跡是？【分析】考慮AP⊥AQ，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AM⊥AO；考慮AP:AQ=2:1，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AO:AM=2:1．即可確定圓M位置，任意時刻均有△APO∽△AQM，且相似比為2．【模型總結】為了便于區分動點P、Q，可稱點P為“主動點”，點Q為“從動點”．此類問題的必要條件：兩個定量主動點、從動點與定點連線的夾角是定量（∠PAQ是定值）；主動點、從動點到定點的距離之比是定量（AP:AQ是定值）．【結論】（1）主、從動點與定點連線的夾角等于兩圓心與定點連線的夾角：∠PAQ=∠OAM；（2）主、從動點與定點的距離之比等于兩圓心到定點的距離之比：AP:AQ=AO:AM，也等于兩圓半徑之比．按以上兩點即可確定從動點軌跡圓，Q與P的關系相當于旋轉+伸縮．古人云：種瓜得瓜，種豆得豆．“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”．

【例題】1、如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點O是AB的三等分點，半圓O與AC相切，M，N分別是BC與半圓弧上的動點，則MN的最小值和最大值之和是（）A．5 B．6 C．7 D．8【解析】如圖，設⊙O與AC相切于點D，連接OD，作SKIPIF1<0垂足為P交⊙O于F，此時垂線段OP最短，PF最小值為SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵點O是AB的三等分點，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵⊙O與AC相切于點D，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴MN最小值為SKIPIF1<0，如圖，當N在AB邊上時，M與B重合時，MN經過圓心，經過圓心的弦最長，MN最大值SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,∴MN長的最大值與最小值的和是6．故選B．

2、如圖，在矩形紙片ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點E是AB的中點，點F是AD邊上的一個動點，將SKIPIF1<0沿EF所在直線翻折，得到SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的長的最小值是SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．3 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】以點E為圓心，AE長度為半徑作圓，連接CE，當點SKIPIF1<0在線段CE上時，SKIPIF1<0的長取最小值，如圖所示，根據折疊可知：SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值SKIPIF1<0．故選D．

3、如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝23，△ADC與△ABC關于AC對稱，點E、F分別是邊DC、BC上的任意一點，且DE＝CF，BE、DF相交于點P，則CP的最小值為()A．1 B．3 C．32 D【解析】連接AD，因為∠ACB＝30°，所以∠BCD＝60°，因為CB＝CD，所以△CBD是等邊三角形，所以BD＝DC.因為DE＝CF，∠EDB＝∠FCD＝60°，所以△EDB≌△FCD，所以∠EBD＝∠FDC，因為∠FDC＋∠BDF＝60°，所以∠EBD＋∠BDF＝60°，所以∠BPD＝120°，所以點P在以A為圓心，AD為半徑的弧BD上，直角△ABC中，∠ACB＝30°，BC＝23，所以AB＝2，AC＝4，所以AP＝2.當點A，P，C在一條直線上時，CP有最小值，CP的最小值是AC－AP＝4－2＝2.故選D.4、如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB邊的中點，F是線段BC上的動點，將ΔEBF沿EF所在直線折疊得到ΔEB'F，連接B'D，則B'D的最小值是_____．【解析】如圖所示點B'在以E為圓心EA為半徑的圓上運動，當D、B'、E共線時，B'D的值最小，根據折疊的性質，△EBF≌△EB'F，∴∠B=∠EB'F，EB'=EB．∵E是AB邊的中點，AB=4，∴AE=EB'=2．又∵AD=6，∴DESKIPIF1<02SKIPIF1<0，∴B'D=2SKIPIF1<025、如圖，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0內部的一個動點，且滿足SKIPIF1<0，則線段SKIPIF1<0長的最小值為________.【解析】∵∠PAB+∠PBA=90°，∴∠APB=90°，∴點P在以AB為直徑的弧上（P在△ABC內）設以AB為直徑的圓心為點O，如圖接OC，交☉O于點P，此時的PC最短，∵AB=6，∴OB=3，又∵BC=4，∴SKIPIF1<0，∴PC=5-3=26、如圖，點SKIPIF1<0在半圓SKIPIF1<0上，半徑SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在弧SKIPIF1<0上移動，連接SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在移動的過程中，SKIPIF1<0的最小值是______．【解析】如圖，設AD的中點為點E，則SKIPIF1<0由題意得，點H的運動軌跡在以點E為圓心，EA為半徑的圓上由點與圓的位置關系得：連接BE，與圓E交于點H，則此時SKIPIF1<0取得最小值，SKIPIF1<0連接BDSKIPIF1<0AB為半圓O的直徑，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0

7、如圖，過拋物線上一點A作軸的平行線，交拋物線于另一點B，交軸于點C，已知點A的橫坐標為．（1）求拋物線的對稱軸和點B的坐標；（2）在AB上任取一點P，連結OP，作點C關于直線OP的對稱點D；①連結BD，求BD的最小值；②當點D落在拋物線的對稱軸上，且在軸上方時，求直線PD的函數表達