第2篇構件的強度、剛度和穩定性第5章根本知識與構件變形的根本形式第6章軸向拉伸和壓縮第7章剪切與擠壓第8章扭轉第9章梁的內力第10章截面幾何性質第11章梁的應力及強度計算第12章梁的變形第13章組合變形的強度條件第14章壓桿穩定精選課件第5章根本知識與構件變形的根本形式5.1根本任務5.2關于變形固體的概念5.3根本假設5.4構件變形的根本形式小結精選課件5.1根本任務5.1.1強度要求：強度，是指材料或構件抵抗破壞的能力。2007年6月，九江大橋約200米橋面坍塌2021年2月，咸寧學院籃球館被大雪壓塌精選課件5.1.2剛度要求：剛度，是指構件抵抗變形的能力。美國Tacoma大橋在風荷載作用下的變形起重臂變形過大影響起重機正常工作精選課件5.1.3穩定性要求：穩定性，是指細長受壓構件保持直線平衡形式的能力。壓桿失去直線平衡形式稱為失穩。1881～1897年間，世界上有24座較大金屬桁架結構橋梁發生整體破壞；1907年，加拿大跨長548米的奎拜克大橋倒塌，研究發現是受壓桿件失穩引起的。精選課件5.2關于變形固體的概念變形固體：在外力作用下形狀和尺寸發生變化的固體。彈性變形：指變形固體上的外力去掉后可消失的變形。塑性變形：指變形固體上的外力去掉后不可消失的變形。完全彈性體：指在外力作用下只有彈性變形的固體。局部彈性體：指在外力作用下產生的變形由彈性變形和塑性變形兩局部組成的固體。小變形：構件在荷載作用下產生的變形與構件本身尺寸相比是很微小的。反之，稱為大變形。本章研究內容限于小變形范圍。精選課件5.3根本假設連續、均勻假設：假設物體在其整個體積內毫無空隙地充滿了物質，且物體的性質各處都一樣。各向同性假設：假設材料沿不同方向具有相同的力學性能。假設材料沿不同方向具有不同力學性能，那么稱為各向異性材料。彈性假設：假設作用于物體上的外力不超過某一限度時，可將物體看成完全彈性體?？傊?，本篇把構件視為連續、均勻、各向同性的可變形固體，且只研究彈性階段的小變形問題。精選課件5.4構件變形的根本形式桿件：指長度遠大于橫向尺寸的構件，簡稱桿。等截面的直桿簡稱為等直桿。桿件變形的4種根本形式：1.軸向拉伸或壓縮FF在一對方向相反、作用線與桿軸線重合的外力作用下，桿件將發生長度的改變〔伸長或縮短〕精選課件2.剪切

在一對相距很近，大小相等、方向相反的橫向外力作用下，桿件的橫截面將沿外力方向發生相對錯動。FF精選課件3.扭轉MeMe

在一對大小相等、方向相反、位于垂直桿軸線的兩平面內的力偶作用下，桿的相鄰兩橫截面繞軸線發生相對轉動。精選課件4.彎曲MM

在一對大小相等、方向相反、位于桿的縱向平面內的力偶作用下，桿將在縱向平面內發生彎曲。精選課件小結根本任務本篇研究對象是構件，研究的主要內容是構件的強度、剛度和穩定性以及材料的力學性能。關于變性固體1〕具有可變形性質的固體稱為可變形固體。2〕變形固體上的外力去掉后可消失的變形叫彈性變形，變形固體上的外力去掉后不可消失的變形叫塑性變形〔剩余變形〕。3〕在外力作用下只有彈性變形的固體叫完全彈性體。而在外力作用下產生的變形由彈性變形和塑性變形兩局部組成的固體叫局部彈性體。構件變形的根本形式軸向拉伸或壓縮、剪切、扭轉、彎曲。根本假設將構件視為連續、均勻、各向同性的可變形固體，且只研究彈性階段的小變形問題。應注意的問題區分第一篇和第二篇的根本概念。精選課件第6章軸向拉伸和壓縮6.1軸向拉(壓)桿橫截面的內力、軸力圖6.2應力和應力集中的概念6.3軸向拉(壓)桿的強度計算6.4軸向拉(壓)桿的變形計算小結6.5材料在拉伸、壓縮時的力學性能6.6軸向拉壓超靜定問題精選課件6.1軸向拉〔壓〕桿橫截面的內力、軸力圖ABCFFFDEGKH軸向力：外力的作用線與桿的軸線重合。軸向拉力〔拉力〕：使桿件伸長的軸向力。軸向壓力〔壓力〕：使桿件縮短的軸向力。FFFF拉桿壓桿精選課件軸力：拉壓桿橫截面上的內力。求解內力的方法——截面法1〕用假想的垂直于軸線的截面沿所求內力處切開，將構件分為兩局部。2〕取兩局部中的任意局部為脫離體，用相應的內力代替另一局部對脫離體的作用。3〕對脫離體建立靜力平衡方程，求未知內力的大小。FABCFRFNFN'CCFA甲BFRC'C'乙精選課件例6-1一桿件所受外力經簡化后，其計算簡圖如下圖，試求各段截面上的軸力。3kN3kNIIIIII2kN3kN4kN2kNFN13kN2kNFN2FN34kN3kN2kNFN3′1kN3kNFN+--2kN解：在第I段桿內，取左段為脫離體在第III段桿內，假設取右段為脫離體在第II段桿內，取左段為脫離體在第III段桿內，取左段為脫離體精選課件6.2應力和應力集中的概念6.2.1截面上一點的應力應力：截面上的內力的分布集度。CC一點處應力的兩個分量：正應力：垂直于截面的分量；切應力：與截面相切的分量。應力單位：Pa,1Pa=1N/㎡常用單位：MPa,1MPa=106PaGPa，1MPa=109Pa由此，C點的應力為精選課件6.2.2拉〔壓〕桿橫截面上的正應力CFABFRFFNACC軸力：FN正應力：證明:(1)平面假設〔2〕縱向纖維伸長量相等〔3〕正應力在橫截面均勻分布lFF精選課件6.2.3拉〔壓〕桿斜截面上的應力FF斜截面上的應力：1122F1FN由橫截面上的正應力：得1F1斜截面上應力的兩個分量為正應力切應力當，當，精選課件δ6.2.4應力集中的概念應力集中:是指在構件截面突然變化處，局部應力遠大于平均應力。這種應力在局部劇增的現象稱為應力集中。圓孔附近的變形不同截面處的應力11F11dFFdb11F理論應力集中系數精選課件解：〔1〕求截面1-1和2-2的軸力。取截面1-1上部為脫離體

取截面2-2上部為脫離體

〔2〕求應力

例6-2圖為一正方形截面的階形磚柱，柱頂受軸向壓力F作用。上段柱重為W1，下段柱重為W2。F=15kN，W1=2.5kN,W2=10kN,l=3m。求上、下段柱的底截面1-1和2-2上的應力。ll1212400200FABCW1W2FFW11-1FN1W1W22-2FN2精選課件6.3軸向拉〔壓〕桿的強度計算極限應力：指材料喪失工作能力時的應力，記為平安因數：設計構件時給構件的平安儲藏，許用應力：構件在工作時允許承受的最大工作應力。確定平安因數的因素：〔1〕實際荷載與設計荷載的出入；〔2〕材料性質的不均勻性；〔3〕計算結果的近似性；〔4〕施工、制造和使用時的條件。精選課件拉〔壓〕桿的強度條件軸向拉壓桿滿足強度條件，必須保證桿件的最大工作應力不超過材料的許用應力，即求解工程實際中有關強度計算的3類問題〔1〕強度校核〔2〕選擇截面〔3〕確定需用荷載精選課件例6-3一鋼筋混凝土組合屋架的計算簡圖如下圖。其中F=13kN,屋架的上弦桿AC和BC由鋼筋混凝土制成，下弦桿AB為圓截面鋼拉桿，直徑為2.2cm。鋼的許用拉應力[σ]=170MPa,試校核該拉桿的強度。F/2F/2F/2F/2FAFFFAFFBBC1440144114414001441144214421441精選課件以C為矩心建立平衡方程：得〔3〕求拉桿橫截面上的正應力σ故拉桿平安解：〔1〕由屋架及荷載對稱求支座反力〔2〕用截面法求拉桿軸力F/2F/2FAFAFC1440144120014421441FNFCxFCy精選課件例6-4一空心鑄鐵短圓筒柱，頂部受壓力F=500kN,筒的外徑D=25cm，如下圖。鑄鐵的許用應力[σ]=30MPa，試求筒壁厚度δ。圓筒自重可略去不計。 δFD=25cmd精選課件那么筒的內徑值為由此得筒壁厚度的最小尺寸為最后選用δ=2.5cm,即筒的內徑為20cm。因此圓環面積為δFD=25cmd解：先求出所需橫截面面積A[σ]=30MPaF=500kN,精選課件例6-5如下圖某三腳架。鋼拉桿AB長2m，其截面積為A1=6cm2，許用應力為。BC為木桿，其截面積為A2=100cm2，許用應力為。試確定該結構的許用荷載[F]。FABC12精選課件解：〔1〕截取節點B為脫離體,求出兩桿軸力與力F之間的關系：

聯立可得FABC12〔2〕求桿件允許的最大軸力。先讓桿1充分發揮作用，求出最大軸力為所以許用荷載為FN1FBFN2精選課件由此值求桿2的應力，并帶入強度條件，有故桿2應力已超過許用應力，所以必須降低許用荷載。為此，假設讓桿2充分發揮作用，有求得桿2的許用荷載為故此三腳架的許用荷載值由桿2確定，其大小為[F]=40.4kN。精選課件6.4軸向拉〔壓〕桿的變形計算6.4.1線變形和線應變FF拉桿壓桿ll'ΔlΔl桿件的變形l'l線應變：指桿件單位長度的變形。線應變是無量綱量，拉應變為正，壓應變為負。精選課件6.4.2

胡克定律比例常數E為彈性模量，是反映材料在彈性階段抵抗變形的能力的一個量。其值由試驗確定。彈性模量的綱量與應力相同：胡克定律：由試驗證明，大多數建筑材料，在變形不超過彈性范圍時，其正應力與相應的縱向線應變成正比。即Pa,MPa,GPa精選課件6.4.3拉〔壓〕桿的軸向變形根據胡克定律有因為得即拉壓桿的軸向變形與軸力和桿長成正比，與彈性模量和截面面積成反比。EA反映了桿件抵抗變形的能力，稱為拉壓桿的抗拉壓剛度。精選課件6.4.4拉〔壓〕桿的橫向變形FFFF拉桿壓桿d1l1l1d1ddll桿件的橫向變形橫向線應變：在彈性范圍內，桿件的橫向線應變與軸向線應變的比值，稱為泊松比。彈性模量和泊松比都是表征材料彈性的常量，其值由試驗確定。精選課件例6-6圖為一兩層的排架，橫木擱在立柱上，作用于橫木上的荷載全傳給立柱。設在由橫木傳給柱子的荷載作用下，柱子在軸向受力狀態下工作，其中一根柱子的計算簡圖如下圖。柱的截面是20cm×20cm的正方形。求柱子上段及下段的內力、應力、應變及變形，并求柱的總形變。設木材順紋受壓的彈性模量E=10GPa。100kN100kN精選課件解：〔1〕上段〔圖c〕

或〔2〕下段〔圖d〕100kN100kN100kN100kN100kNFN1FN2b)c)d)精選課件或〔3〕全柱的總變形

負號表示柱子的變形為縮短。100kN100kNb)精選課件例6-7

某等截面柱高l，橫截面面積A，材料重度γ。求整個桿件由自重引起的線變形Δl。lO精選課件解：以柱頂O為坐標原點建立x軸，向下為正。取x截面上部為脫離體如下圖，得軸力方程為

應力方程為

應變方程為在x截面臨近取一微段dx，如下圖，其變形為lOxdxOFNFNFN全柱的線變形為另外，柱的總重為，假設把柱的總重作為一個集中荷載加于柱頂，如下圖，那么全柱的變形為精選課件6.5

材料在拉伸、壓縮時的力學性能6.5.1

試件簡介標準拉伸試驗試件：對于直徑為d的圓截面試件，規范中規定L=10d或L=5d，對于面積為A的扁矩形截面試件，規范中規定或標準壓縮試件：圓截面或方截面短柱體的長度與直徑或邊長的比值取1-3。LLb精選課件試驗設備：萬能試驗機電阻應變儀試驗名稱：材料在常溫、靜載下的拉伸與壓縮試驗。精選課件6.5.2

材料在拉伸時的力學性能1.低碳鋼拉伸時的力學性能應力-應變圖FABCDB'ΔlOFbFpFsABCDB'Oσbσ

pσ

s荷載-變形圖〔1〕拉伸曲線精選課件〔2〕變形開展的4個階段ABCDB'Oσ

pσ

s第一階段——彈性階段〔OA〕應力與應變呈線性關系，材料服從虎克定律，OA線的斜率為材料的彈性模量E。應力—應變呈線性關系的最大應力稱為比例極限σp另外，材料還存在彈性極限，其值略高于比例極限，由于二者十分接近，所以工程上很少提及。σb精選課件第二階段——屈服階段〔B′B〕ABCDB'Oσ

pσ

sσb此階段應力幾乎不變，而變形卻急劇增大，這種現象稱為屈服或流動。材料發生屈服時的應力用σs表示，稱為屈服極限。此階段桿件外表45°方向出現滑移線。FF精選課件第三階段——強化階段〔BC〕ABCDB'Oσ

pσ

sσb經歷了屈服之后，材料的內部結構重新得到了調整，抵抗變形的能力又有所回復，此時，要使試件繼續變形，需要增大應力，這種現象稱為強化。強化階段材料產生彈性和塑性變形，強化階段的最高點，所對應的應力稱為強度極限，用σb

表示。精選課件第四階段——頸縮階段〔CD〕ABCDB'Oσ

pσ

sσb此階段試件中某一薄弱截面顯著收縮成頸，稱為頸縮現象。材料變形增大，應力反而下降，最后導致材料在D點拉斷。精選課件〔3〕材料的塑性指標1〕斷后伸長率d：試件斷裂后的長度L1減去原長L除以原長的百分比。2〕斷面收縮率ψ：試件原面積A減去斷裂后斷口處的面積A1除以原面積的百分比。精選課件ABCDB'O〔4〕卸載定律冷拉時效構件卸載后在室外放置一段時間后再加載，將獲得更高的強度指標，材料的彈性極限得到進一步提高，這種現象稱作冷拉時效。冷作硬化在低碳鋼拉伸過程中，首次加載到超過彈性階段的某一時刻卸載，那么卸載曲線mn根本上與OA平行，卸載后彈性變形消失，卸去的應力與卸去的應變成正比，即這叫卸載規律。卸載后繼續加載，此時應力應變曲線為mnCD,材料的彈性極限有所提高，這種現象稱作冷作硬化。nm精選課件2.其它幾種材料拉伸時的力學性能對于沒有明顯屈服階段的塑性材料，取塑性變形為0.2%時所對應的應力值作為條件屈服極限，以表示。精選課件鑄鐵的拉伸圖典型的脆性材料——鑄鐵，沒有變形的四個階段，在較小的變形下發生脆斷破壞。由于沒有明顯的彈性階段，故其彈性模量用一條割線的斜率代替，稱作割線彈性模量。脆性材料的強度指標為：抗拉強度精選課件6.5.3

材料在壓縮時的力學性能1.塑性材料壓縮時的力學性能低碳鋼材料在屈服階段前，拉伸和壓縮曲線根本重合，拉壓彈性模量和屈服點相同。進入強化階段后，試件壓縮時的應力隨著應變的增長急劇增大。試件變為鼓形，不可能壓碎。精選課件2.脆性材料壓縮時的力學性能脆性材料受壓時的變形和強度遠高于受拉情況。鑄鐵受壓時大致沿與軸線成45

方向的斜面上發生剪切破壞。精選課件其它常用材料的力學性能混凝土材料由水泥、沙子、石子、添加劑、水混合而成，屬于脆性材料。上下外表不加潤滑劑受壓時的破壞形式。上下外表涂抹潤滑劑受壓時的破壞形式。精選課件3.木材的力學性能木材屬各向異性材料，其順紋方向的強度要比橫紋方向的強度高的多，且其抗拉強度高于抗壓強度。順紋拉伸順紋壓縮橫紋壓縮精選課件4.塑性材料和脆性材料比較1〕塑性材料在彈性范圍內，應力應變成正比，而脆性材料不具有嚴格線性關系。2〕塑性材料斷裂時伸長率大，塑性好，而脆性材料伸長率小，塑性差。3〕塑性材料屈服前，抗拉和抗壓性能根本相同，而脆性材料抗壓強度遠高于抗拉強度。4〕塑性材料承受動荷載的能力強，而脆性材料承受動荷載的能力差。5〕塑性材料的力學性能指標有彈性極限、屈服極限、強度極限、伸長率、截面收縮率等，而脆性材料只有強度極限。6〕塑性材料屈服時發生較大塑性變形，雖沒產生斷裂破壞，但變形過大將影響構件的正常工作；脆性材料的破壞形式為突發性脆斷。精選課件6.6軸向拉壓超靜定問題根本概念靜定結構結構的反力和內力可利用靜力平衡方程求得，該類問題稱為靜定問題，其結構稱為靜定結構。超靜定結構單憑靜力平衡方程不能求解結構的全部反力和全部內力，這類問題稱為超靜定問題，其結構稱為超靜定結構。多余約束維持結構平衡的多余約束或構件，稱為多余約束。其對應的支反力或內力，稱為多余未知力。超靜定次數指多余未知力的個數。精選課件超靜定問題的解法——ABCablFFCFAFB〔1〕靜力方面〔2〕幾何方面〔3〕物理方面〔3〕代入〔2〕得代入〔1〕得三方面精選課件超靜定問題的一般解法1〕判斷超靜定次數n。2〕根據靜力平衡原理列出獨立的平衡方程。3〕根據變形與約束情況應互相協調的要求列出變形幾何方程。4〕根據胡克定律列出相應的物理方程。5〕將物理方程代入幾何變形方程并化簡得到補充方程。6〕聯立解平衡方程和補充方程，即可得出全部未知力。精選課件例6-8

圖示結構由剛性桿AB及兩彈性桿EC及FD組成，在B端受力F作用。兩彈性桿的剛度分別為E1A1和E2A2。試求桿EC和FD的軸力。FEAaDCBF精選課件aDCBFAFABCDFN1FN2FAyFAxC'D'解：受力分析該結構為一次超靜定〔1〕靜力方面。取脫離體如圖有〔2〕幾何方面〔3〕物理方面解得精選課件小結軸向拉〔壓〕桿的軸向內力稱為軸力，截面法求解內力。

正應力﹑應力集中的概念

軸向拉〔壓〕桿的強度計算〔1〕截面上一點的應力〔2〕正應力〔3〕斜截面上的應力〔4〕應力集中的概念強度計算一般有三類問題〔１〕強度校核〔２〕設計截面〔３〕確定許用荷載精選課件〔1〕變形分4個階段：彈性階段﹑屈服階段﹑強化階段﹑頸縮階段〔2〕3個強度指標：〔3〕彈性模量〔4〕兩個塑性指標軸向拉〔壓〕桿的變形計算軸向拉〔壓〕桿的軸向線應變軸向拉〔壓〕桿的橫向線應變泊松比胡克定律軸向拉〔壓〕桿的變形利用胡克定律求得材料在拉伸﹑壓縮時的力學性能〔5〕卸載定律﹑冷作硬化﹑拉冷時效精選課件解超靜定問題的一般步驟：〔１〕根據約束性質，正確分析約束反力，確定超靜定次數?！玻病掣鶕o力平衡原理列出全部獨立的平衡方程?！玻场掣鶕冃螏缀侮P系，列出變形協調方程?！玻础硨⑽锢黻P系式代入變形協調方程，得出補充方程?！玻怠硨⑵胶夥匠膛c補充方程聯立，求出全部未知力。軸向拉〔壓〕超靜定問題精選課件第7章剪切與擠壓7.1剪切與擠壓的概念及工程實例7.2剪切的實用計算7.3擠壓的實用計算小結精選課件7.1剪切與擠壓的概念及工程實例當桿件受到大小相等、方向相反、作用線與軸線垂直且相距很近的橫向力作用下，桿件的橫截面將沿外力方向發生相對錯動，產生剪切變形。FF剪切面切應變，橫截面與縱向線形成的直角的改變量。精選課件工程實例——連接構件中的剪切變形FF精選課件7.2剪切的實用計算連接件的三種破壞形式1〕連接件被剪壞2〕連接處局部擠壓引起連接松動3〕被連接件被拉斷FFFF精選課件1.剪切面的剪力和切應力實用計算FFFFSFs——剪切面上的剪力A——剪切面面積精選課件FFFF一個剪切面上的平均剪力精選課件一個剪切面上的平均剪力FF/2F/2FF精選課件2.剪切強度條件鋼材的許用切應力許用拉應力F切應力切應力強度條件精選課件7.3

擠壓的實用計算擠壓面積精選課件名義擠壓應力

擠壓強度條件擠壓面積

材料的許用擠壓應力鋼材的許用擠壓應力材料的許用壓應力精選課件例7-1兩塊鋼板用3個直徑相同的鉚釘連接，如下圖。鋼板寬度b=100mm，厚度δ=10mm，鉚釘直徑d=20mm，鉚釘許用切應力[τ]=100MPa,鉚釘許用擠壓應力[σbs]=300MPa，鋼板許用拉應力[σ]=160MPa。試求許用荷載[F]。精選課件解：由此可得許用剪力,即〔1〕按剪切強度條件求F每個鉚釘所受剪力為據切應力強度條件精選課件〔2〕按擠壓強度條件求F每個鉚釘承受的擠壓力為據擠壓強度條件由此可得許用擠壓力,即精選課件〔3〕按連接板拉伸強度條件求F。如圖，1-1為危險截面。有由此可得式中，故應選取最小的荷載值作為此連接結構的許用荷載，取[F]=94.2kN即精選課件例7-2如下圖為一普通螺栓連接接頭，受拉力F作用。：F=100kN。鋼板厚δ=8mm，寬b=100mm，螺栓直徑d=16mm。螺栓許用應力[τ]=145MPa,[σbs]=340MPa,鋼板許用拉應力[σ]=170MPa。試校核該接頭的強度。精選課件解：〔1〕螺栓的剪切強度校核。沿螺桿的剪切面切開，受力分析假定每個螺栓所受的力相同，那么剪力為由于所以滿足強度要求。得精選課件〔2〕螺桿同板之間的擠壓強度校核。由式中每個螺桿所收到的擠壓力所以因此，平安。精選課件根據軸向拉伸強度的校核公式得也滿足強度要求。第2排有兩個孔，截面被削弱得較多，需校核。(3〕板的拉伸強度校核。板的圓孔對板的截面面積的削弱，故對板需進行拉斷校核。沿第1排孔的中心線偏右將板截開，取右部為脫離體，假定拉應力σ均勻分部，有平衡條件

精選課件第3排孔的截面積受到的內力比第2排孔小，而截面積大，所以更平安。所以，平安。于是有平衡條件如圖截面2-2，取脫離體如圖示所以而精選課件小結剪切變形是桿件的根本變形之一。①剪切時的內力的方向總是作用與橫截面內。②與剪切對應的切應力作用在橫截面內。以兩個作用力間的橫截面為分界面，構件兩局部沿該面〔剪切面〕發生相對錯動。了解鉚接和螺栓聯接構件的實用計算?！?〕鉚釘的剪切強度條件：〔2〕鉚釘或連接板釘孔壁的擠壓強度條件：〔3〕連接板的拉伸強度條件：在求解此類問題的過程中，關鍵在于確定剪切面和擠壓面。精選課件第8章扭轉8.1概述8.2扭矩的計算及扭矩圖8.3薄壁圓筒扭轉時橫截面上的切應力8.4切應力互等定理和剪切胡克定律8.5實心圓軸扭轉時的應力和強度條件小結8.6等直圓桿的扭轉變形、剛度條件和扭轉超靜定問題精選課件8.1概述扭轉受力：作用面垂直于桿件軸線、等值、反向的兩個力偶作用，桿件發生扭轉變形。變形特點：橫截面繞軸線發生轉動。

門過梁相對扭轉角：兩個截面的相對轉角。工程實例精選課件8.2扭矩的計算及扭矩圖8.2.1外力偶矩的計算

外力偶矩：使桿件產生扭轉變形的力偶矩。記為Me一般情況下，傳動軸的功率P〔kW),傳動軸的轉數n(r/min)。由此得外力偶矩Me=9549P/n(Nm)

那么由功率計算每分鐘做功：W=P×1000×60外力偶矩每分鐘所做的功W=Me×=Me×2πn精選課件8.2.2扭矩及扭矩圖

1.扭矩：由截面法計算橫截面上的扭矩T=Me由平衡方程∑Mx=0得正負號：右手螺旋法那么，使四指沿扭矩的轉向握住圓桿，假設拇指的指向離開截面向外為正，反之為負。2.扭矩圖：橫坐標平行于軸線，縱坐標代表扭矩的大小。正扭矩位于軸線上方，負扭矩位于軸線下方。精選課件例8-1試作出圖示圓軸的扭矩圖。解：〔1〕截面法在1-1處切開，取左段別離體，根據平衡方程得在2-2處切開，取左段別離體。得在3-3處切開，取右段為別離體。〔2〕根據各段扭矩值繪圖由得由精選課件例8-2如下圖傳動軸，A輪為主動輪，輸入功率從動輪B、C的輸出功率為，從動輪D的輸出功率，傳動輪的轉速為n=300r/min。試畫出此軸的扭矩圖。精選課件解：〔1〕計算外力偶矩〔2〕計算各段扭矩BC段CA段：AD段：（3）畫扭矩圖可以看出精選課件8.3薄壁圓筒扭轉時橫截面上的切應力

線彈性、小變形范圍內，薄壁圓筒受扭變形：平面假設：各圓周線形狀、大小不變，變形前為平面的橫截面，變形后仍為平面；圓周只繞軸線轉動一個角度，圓筒沒有橫向和縱向線應變。各縱向線傾斜相同角度，橫截面上有切應力，薄壁構件切應力沿壁厚均勻分布。橫截面上的切應力：精選課件8.4切應力互等定理和剪切胡克定律8.4.1切應力互等定理

從薄壁圓筒中取一單元體，由單元體平衡方程得：即切應力互等定律

在兩個互相垂直的截面上的切應力必然成對存在，而且大小相等，其方向或共同指向兩平面的交線，或共同背離兩截面的交線。精選課件8.4.2剪切胡克定律純剪切應力狀態：單元體側面上只有切應力而無正應力的應力狀態。剪切胡克定律：在線彈性范圍內，切應力與切應變成正比。G——材料的切變模量在彈性范圍內，切變模量，彈性模量和泊松比之間的關系為：精選課件8.5實心圓軸扭轉時的應力和強度條件8.5.1應力計算

1.試驗現象的觀察與分析

平截面假定：各圓周線繞軸線轉動，且大小，形狀不變?？v向線傾斜相同角度。由幾何關系和物理關系可知橫截面切應力的分布規律。2.圓軸扭轉時橫截面內的切應力精選課件圓軸扭轉時橫截面上的切應力公式切應力在橫截面上的分布如下圖。即切應力沿半徑方向按直線規律變化，在與圓心等距離的各點處，切應力均相等。實心圓軸

稱為極慣性矩。

空心圓軸精選課件8.5.2強度條件

塑性材料受扭：試件在最大切應力處產生屈服破壞。即沿橫截面產生剪斷破壞。脆性材料受扭：沿最大拉應力作用的斜截面發生拉斷破壞。精選課件塑性材料極限應力：屈服應力脆性材料的極限應力：抗剪強度許用切應力n——平安系數在常溫下，材料的許用切應力和拉伸許用應力的關系為塑性材料：脆性材料：圓軸扭轉的強度條件——抗扭截面系數實心圓軸空心圓軸精選課件8.6等直圓桿的扭轉變形、剛度條件和扭轉超靜定問題8.6.1等直圓桿的扭轉變形計算

計算扭轉角的公式——扭轉剛度——截面扭轉角（單位：rad)精選課件例8-3如下圖空心圓軸，外徑D=40mm，內徑d=20mm，桿長l=1m，外力偶，材料的切變模量G=80GPa。試求：

〔1〕ρ=15mm的K點處的切應力。〔2〕橫截面上的最大和最小切應力?！?〕A截面相對B截面的扭轉角。精選課件（3）計算為（1）計算極慣性矩（2）用截面法求出梁上的扭矩，，分別計算各點切應力為解：精選課件8.6.2圓軸扭轉時的剛度條件

圓軸扭轉時的剛度條件:最大單位長度扭轉角不超過許用范圍——扭轉剛度——截面扭轉角（單位：rad)——單位長度的許用扭轉角（單位：rad/m)精選課件例8-4

一鋼軸的轉速n=250r/min。傳遞功率P=60kW，許用切應力[τ]=40MPa，單位長度的許用扭轉角[θ]=0.014rad/m,材料的切變模量G=80GPa，試設計軸徑。解：〔1〕計算軸的扭矩〔2〕根據圓軸扭轉時的強度條件，求軸徑。由得〔3〕根據圓軸扭轉時的剛度條件，求軸徑。得所以，應按剛度條件設計軸徑，取d=68mm。精選課件8.6.3扭轉超靜定問題

扭轉超靜定的解法：幾何方面：桿的扭轉變形滿足變形協調條件和邊界條件。物理方面：線彈性范圍，力與變形成正比。靜力學方面：列平衡方程。例8-5

圖受扭圓截面軸，已知，，抗扭剛度為，試求支座A、B的反力偶矩。精選課件約束力偶與圖方向相反。解：

受力分析如圖，此題為一次超靜定。幾何條件補充方程即A截面和B截面的相對扭轉角為零。由疊加法得解得由平衡方程解得精選課件例8-6有一空心圓管A套在實心圓桿B的一端，如下圖。兩桿在同一橫截面處各有一直徑相同的貫穿孔，但兩孔的中心線構成一個β角。在桿B上施加外力偶使桿B扭轉，以使兩孔對準，并穿孔裝上銷釘。在裝上銷釘后卸除施加在桿B上的外力偶。試問兩桿內的扭矩分別為多少？桿A和桿B的極慣矩分別為和；兩桿材料相同，切變模量為G。精選課件上面三式聯立，解得

解：套管A和圓桿安裝后在連接處有一相互作用力偶矩T，在此力偶矩作用下，A管轉過一個角度，B桿轉過的角度為，由A、B桿連接處的幾何協調條件得由物理關系知

A、B桿的扭矩相同，大小相等。精選課件小結扭轉變形是桿件的根本變形之一。本章研究薄壁圓筒和圓軸扭轉時的應力和變形計算及強度和剛度計算，介紹了切應力互等定理和剪切胡克定律。扭轉時內力是扭矩T；應力是切應力；變形用扭轉角度量。切應力計算公式、強度條件、扭轉角計算公式、強度條件。①任一橫截面上任一點的切應力：②強度條件：③某一截面相對另一截面的扭轉角：④剛度條件：精選課件常用的實心圓截面和空心圓截面的極慣性矩和抗扭截面系數的計算公式分別是：①實心圓截面：

②空心圓軸：求解扭轉超靜定問題必須綜合變形協調條件和邊界條件、物理方程、靜力平衡方程三個方面，求解約束反力，進而求解內力和進行強度、剛度計算。精選課件第9章梁的內力9.1工程實際中的彎曲問題9.2梁的計算簡圖9.3梁的內力及內力圖9.4彎矩、剪力與荷載集度間的關系小結9.5疊加法作剪力圖和彎矩圖精選課件9.1工程實際中彎曲問題受力特點：在軸線平面內受到外力偶或垂直于軸線方向的外力；變形特點：桿件的軸線彎曲成曲線。這種形式的變形稱為彎曲。工程實例：屋面大梁、橋式起重機梁、根底梁等。精選課件梁：以彎曲為主要變形的桿件。平面彎曲：假設所有的外力都作用在同一對稱平面內，梁在變形時，其軸線也將在此對稱平面內彎曲成一條光滑的平面曲線。這種彎曲稱為平面彎曲。對稱彎曲：有縱向對稱面的平面彎曲稱為對稱彎曲。縱對稱面精選課件工程中梁的受力和支承情況比較復雜，需要進行合理的簡化,以得到定量分析的力學模型，稱為計算簡圖。簡化的原那么：〔1〕要反映梁的主要受力特點〔2〕要便于進行力學分析〔3〕簡化內容：梁本身的簡化支座的簡化荷載的簡化

9.2梁的計算簡圖q精選課件工程中簡單靜定梁的三種形式1.簡支梁2.外伸梁3.懸臂梁超靜定梁精選課件9.3梁的內力及內力圖9.3.1梁彎曲時的內力—剪力、彎距及其正負號規定剪力M彎距精選課件對剪力和彎距的正負號作如下規定：使所取梁段〔左段或右段〕發生順時針轉動的剪力為正，反之為負；使所取梁段〔左段或右段〕產生上凹下凸變形的彎距為正，反之為負。精選課件某截面上的剪力等于所取左段梁或右段梁上各外力的代數和；取左梁研究時，向上外力取正，向下外力取負。取右段梁研究時，向下外力取正，向上力取負；某截面上的彎距等于所取梁段〔左或右段〕各外力、外力偶對該截面形心力矩的代數和；引起該梁段上凹下凸變形的力矩、力偶距取正，反之取負。截面內力計算方法小結精選課件例9-1一外伸梁如下圖，試求1-1、2-2、3-3截面上的內力。精選課件

解：〔1〕求出支座反力〔2〕求1-1截面上的剪力和彎矩。取該截面左段梁來計算，得截面1-1上的剪力為負值，即剪力使左段梁發生逆時針轉動，彎矩為負值，即該截面的變形凸向上。精選課件截面3-3的剪力為正值，即剪力使右段梁發生順時針轉動；彎矩為正值，即該截面處變形凸向下。〔3〕求2-2，3-3截面上的剪力和彎矩。取右段梁計算，得精選課件以沿梁軸的橫坐標表示梁橫截面位置，以縱坐標表示相應截面上的剪力和彎距數值。按照一定的比例畫出函數圖線。

9.3.2剪力方程和彎距方程，剪力圖和彎距圖梁各個橫截面上剪力方程和彎距方程為繪制剪力圖和彎距圖的方法：精選課件例9-2懸臂梁受集中力作用，如下圖，試列出該梁的剪力方程、彎矩方程并作出剪力圖和彎矩圖。Fxlx精選課件由上式知，梁上各截面上的剪力均相同，其值為-F，所以剪力圖是一條平行于x軸的直線且位于x軸下方。M〔x〕是線性函數，因而彎矩圖是一斜直線，只需確定其上兩點即可。Fxlx解：〔1〕列剪力方程和彎矩方程。設x軸沿梁的軸線，以A點為坐標原點，取距原點為x的截面左側的梁段研究，得〔2〕繪制剪力圖和彎矩圖。精選課件例9-3簡支梁受集中力F作用，如下圖。試列出該梁的剪力方程、彎矩方程并作出剪力圖和彎矩圖。ABC精選課件解：〔1〕求支反力。由平衡方程和得方向如下圖?！?〕列剪力方程和彎矩方程以梁的左端A為坐標原點，x軸沿梁的軸線。AC段：取距原點為x1

的任意截面，得ABC精選課件CB段：在CB段內取距原點為x2的任意截面，得〔3〕繪制剪力圖和彎矩圖由剪力圖、彎矩圖知，當a>b，當a=b=l/2時，那么最大彎矩發生在梁中點截面處，其值為在集中力作用處，其左右兩側橫截面上的彎矩相同，而剪力突變，突變值等于該集中力之值。ABC精選課件例9-4圖示簡支梁，在全梁上受均布荷載q的作用，試列出剪力方程、彎矩方程并作剪力圖和彎矩圖。精選課件解：〔2〕列剪力方程和彎矩方程。取距左端為x的任意橫截面，剪力圖為一斜直線，只需確定其上兩點。彎矩圖為一拋物線，需確定3點。由圖可見，兩端面處的剪力值最大

〔1〕求支反力。由對稱關系，可得最大彎矩發生在剪力為零的跨中截處，l/2精選課件例9-5簡支梁受集中力偶作用，如下圖，試列出剪力方程，彎矩方程并作剪力圖和彎矩圖。精選課件解：〔2〕列出剪力方程和彎矩方程。以梁的左端A為坐標原點AC段：得〔1〕求支反力。由力偶平衡條件CB段：〔3〕繪制剪力圖和彎矩圖。FAFB精選課件9.4彎距、剪力與荷載集度間的關系設梁上有任意分布的荷載，規定向上為正。x軸坐標原點取在梁的左端，在距截面x處取一微段梁dx如圖示精選課件利用剪力、彎矩、分布荷載的微分關系作剪力圖和彎距圖1.梁上無均勻荷載時，剪力圖為水平線，彎距圖為一斜直線，斜線方向由剪力的正負號決定。2.梁上有均勻荷載作用時，剪力圖為一斜直線，彎距圖為二次曲線。3.假設梁上某一截面的剪力為零，該截面的彎距是一個極值，不一定是最大值或最小值。4.梁上有集中力作用處，剪力圖有突變，彎距圖有尖角。5.集中力偶作用處，剪力圖無變化，彎距有突變。精選課件例9-6試繪圖示梁的剪力圖和彎矩圖。精選課件解：〔1〕求支反力得由得AC段為拋物線，且拋物線下凸,為該拋物線的頂點。BC段為一水平線。且在B處有集中力偶，彎矩發生突變，突變值為該集中力偶矩的值?！?〕畫剪力圖AC段q為常量且小于零，所以AC段剪力圖為向下斜的直線,CB段q=0且無集中力作用，所以為一水平線?！?〕畫彎矩圖由精選課件例9-7外伸梁如下圖。q=20kN/m,F=20kN,M=160kN·m,繪制此梁的剪力圖和彎矩圖。q精選課件解：〔1〕求支反力說明支座反力求解正確。由校核，精選課件16〔2〕畫剪力圖〔3〕畫彎矩圖精選課件9.5疊加法作剪力圖和彎距圖所謂疊加原理，指的是由幾個外力共同作用時，某一截面處引起某一參數〔如內力、應力或變形等〕，等于每個外力單獨作用時所引起該參數值的代數和。例9-8用疊加法作圖示懸臂梁的內力圖。精選課件解：先將梁上的每個荷載分開，分別作只有集中力和只有均布荷載作用下的剪力圖和彎矩圖。將兩剪力圖和兩彎矩圖分別疊加。直線與直線疊加后仍為直線，直線與曲線或曲線與曲線疊加后為曲線。精選課件

例9-9

試按疊加原理作圖示簡支梁的彎矩圖，并令計算梁的極值彎矩和最大彎矩。精選課件解：將簡支梁上的荷載分開，分別作只有集中力偶和只有均布荷載作用時的彎矩圖。精選課件當時，先確定支座A的反力，由得極值彎矩所在截面剪力為零，故此截面的極值彎矩如圖，全梁的最大彎矩在x=0截面上，。精選課件小結本章應首先掌握平面彎曲的根本概念及梁結構的簡化原那么。熟記剪力、彎距的定義及正負號規定。學會用截面法計算梁指定截面上的內力值和截面上內力值的計算法那么。剪力方程、彎距方程的建立，著重掌握剪力圖、彎距圖的繪制。建立剪力方程、彎矩方程時通常以梁的左端為坐標原點，x軸沿梁的軸線方向。應掌握均布荷載、剪力、彎距之間的微分關系繪制內力圖時注意集中力和集中力偶處剪力圖和彎矩圖上的突變。用疊加法繪制比較簡單的彎矩圖較方便，而對于梁上有多種荷載或受力比較復雜的情況下，疊加法不一定方便。精選課件第10章截面幾何性質10.1靜矩和形心10.2慣性矩和慣性積10.3平行移軸公式和轉軸公式10.4主慣性軸和主慣性矩小結精選課件10.1靜矩和形心10.1.1

靜矩CzCyCdAzyOzyA如圖示為一任意形狀的平面圖形，其面積為A，在平面圖形內選取坐標系zoy。在坐標〔z,y〕處取微面積dA，那么微面積dA與坐標y(或坐標z)的乘積稱為微面積dA對軸z〔或y軸〕的靜距，記作

積分普及整個面積A，故靜距也稱為作面積的一次矩或面積矩。

單位：m3精選課件10.1.2形心

設平面圖形的形心C的坐標為zC、yC，平面圖形形心的坐標的公式為在的極限情況下，圖形形心坐標的精確公式可寫成積分形式，即當坐標軸通過平面圖形的形心時，其靜矩為零；反之，假設平面圖形對某軸的靜矩為零，那么該軸必通過平面圖形的形心。平面圖形對其對稱軸的靜矩必等于零。代入靜矩的表達式，得精選課件10.1.3組合圖形的靜矩

根據平面圖形靜矩的定義，組合圖形對z軸〔或y軸〕的靜矩等于各簡單圖形對同一軸靜矩的代數和，即組合圖形形心的計算公式為

精選課件例10-1矩形截面尺寸如下圖,試求該矩形對z1軸的靜矩和對形心軸靜矩。解：〔1〕計算矩形截面對z1軸的靜矩。

〔2〕計算矩形截面對形心軸的靜矩。由于z軸為矩形截面的對稱軸，通過截面形心，所以矩形截面對z軸的靜矩為Czyz1b/2b/2h/2h/2精選課件例10-2

試計算圖示的平面圖形對z1和y1軸的靜矩，并求該圖形的形心位置。解：將平面圖形看作由兩個矩形1和2組成，其面積分別為矩形2：兩個矩形的形心坐標分別為矩形1：精選課件該平面圖形的形心坐標為該平面圖形對軸和軸的靜矩分別為精選課件10.2慣性矩和慣性積

10.2.1慣性矩定義：慣性矩為截面對軸的二次矩。平面圖形對z軸〔或y軸〕的慣性矩Iz，Iy定義為dAzyOzyA

ρ

單位：m4精選課件平面圖形對任一點的極慣性矩，等于圖形對該點為原點的任意兩正交坐標軸的慣性矩之和，其值恒為正值。極慣性矩也稱為截面對點的二次矩dAzyOzyA

ρ極慣性矩定義為精選課件10.2.2慣性積微面積dA與它的兩個坐標軸y、z的乘積yzdA，稱為微面積dA對y、z軸的慣性積。整個圖形上所有微面積對z、y兩軸慣性積的總和稱為該圖形對z、y兩軸的慣性積。兩個坐標軸中只要有一根軸為平面圖形的對稱軸，那么該圖形對這一對坐標軸的慣性矩一定等于零。dAzyOzyA

ρ單位：m4，慣性積可正、負或零。精選課件10.2.3慣性半徑

在工程中因為某些計算的特殊的需要，常將圖形的慣性矩表示為圖形面積A與某一長度平方的乘積?！矫鎴D形對z軸、y軸和極點的慣性半徑，也叫回轉半徑。、、

或改寫為單位：m精選課件例10-3矩形截面的尺寸如下圖。試計算矩形截面對其形心軸z、y的慣性矩，慣性半徑及慣性積。解：〔1〕計算矩形截面對z軸和y軸的慣性矩矩形截面對z軸的慣性矩為矩形截面對y軸的慣性矩為Cybhzdzdy精選課件〔2〕計算矩形截面對z軸、y軸的慣性半徑?！?〕計算矩形截面對z軸、y軸的慣性積。因為z軸和y軸為對稱軸，所以Cybhdzdyz精選課件例10-4直徑為D的圓形截面如下圖。試計算圓形對形心軸z軸、y軸的慣性矩和慣性半徑。解：〔1〕計算圓形截面對形心軸z軸、y軸的慣性矩。圓形截面對O點的極慣性矩為由對稱性知zyC精選課件〔2〕計算圓形截面對其形心軸z軸、y軸的慣性半徑。取平行于z軸的微小長條為微面積dA而由于對稱性，圓形截面對任一根形心軸的慣性矩都等于由對稱性知，慣性半徑對任意形心軸均相等精選課件10.3慣性矩和慣性積的平行移軸和轉軸公式10.3.1平行移軸公式在平面圖形上取微面積dA,微面積dA在z、y和z1、y1坐標系中的坐標分別為〔z,y〕(z1,y1),由圖可見，微面積dA在兩個坐標系中的坐標有如下關系zbOz1yaz1CzydAy1y1精選課件

圖形對任一軸的慣性矩,等于圖形對與該軸平行的形心軸的慣性矩再加上圖形面積與兩平行軸間距離平方的乘積。由于a2〔或b2〕恒為正值，故在所有平行軸中，平面圖形對形心軸的慣性矩最小。同理得其中得

bOz1yaz1CzydAy1y1精選課件解：

z軸、y軸是矩形截面的形心軸，它們分別與軸和軸平行，由平行移軸公式，得慣性矩分別為例10-5計算如圖示矩形截面對軸和軸的慣性矩。Czyb/2b/2h/2h/2z1y1精選課件例10-6三角形截面圖形如下圖。，軸與軸平行。試求該圖形對軸的慣性矩。故三角形截面對軸的慣性矩為注意，在應用平行移軸公式時，z軸、y軸必須是形心軸，、軸必須分別與z軸、y軸平行。解：該圖形形心到z軸的距離為h/3，由平行移軸公式得聯立上式得Czbhz1z0h/3精選課件10.3.2組合圖形慣性矩的計算

組合圖形對任一軸的慣性矩，等于組成組合圖形的各簡單圖形對同一軸慣性矩之和，即

計算組合圖形的慣性矩時，首先應確定組合圖形的形心位置，然后通過積分或查表求得各簡單圖形對自身形心軸的慣性矩，再利用平行移軸公式，就可計算出組合圖形對其形心軸的慣性矩。精選課件例10-7

試計算圖示T形截面對其形心軸z軸、y軸的慣性矩。zyC精選課件解：〔1〕計算截面的形心位置。由于T形截面有一根對稱軸，形心必在此軸上，即選坐標系，以確定截面形心的位置。將T形分成如圖所示的兩個矩形1、2，其面積和形心位置分別為T形截面的形心坐標為zyCz′OyC12精選課件（2）計算組合圖形對形心軸的慣性矩、。分別求出矩形1、2對形心軸z軸、y軸的慣性矩。由平行移軸公式，得整個圖形對z軸、y軸的慣性矩分別為精選課件此題也可用“負面積法〞計算。T形截面可看成是由的矩形減去兩個面積均為的小矩形而得到的。兩種計算方法所得結果相同。

當把組合圖形視為幾個簡單圖形之和時，其慣性矩等于簡單圖形對同一軸慣性矩之和；當把組合圖形視為幾個簡單圖形之差時，其慣性矩等于簡單圖形對同一軸慣性矩之差。

精選課件例10-8試計算如下圖的由方鋼和I20a工字鋼組成的組合圖形對形心軸z軸、y軸的慣性矩。yzbh10120C精選課件〔1〕計算組合圖形的形心位置。取z′軸作為參考軸，y軸為組合圖形的對稱軸，組合圖形的形心必在y軸上，故查表后可計算得解：〔2〕計算組合圖形對形心軸z軸、y軸的慣性矩。先計算工字鋼和方鋼截面對本身形心軸z軸、y軸的慣性矩。查表：yzbh10120z′CyC精選課件整個組合圖形對形心軸的慣性矩應等于工字鋼和方鋼截面對形心軸的慣性矩之和由平行移軸公式可得工字鋼和方鋼截面分別對形心軸z軸、y軸的慣性矩為精選課件10.3.3轉軸公式

如下圖為任意形狀的平面圖形，平面圖形內任一微面積dA在兩個坐標系中的坐標〔z、y〕(z1,y1)之間的關系為zyy1z1zyz1y1αdAo圖形對z1軸的慣性矩精選課件兩式左右兩邊分別相加，可得平面圖形對于通過同一點的任意一對正交坐標軸的慣性矩之和為一常數，并等于該圖形對該坐標原點的極慣性矩。帶入并整理，可得慣性矩和慣性積的轉軸公式利用倍角公式精選課件10.4主慣性軸和主慣性矩由轉軸公式可知，慣性積隨角α作周期變化，故總可以找到一對坐標軸z0、y0，使平面圖形對這對坐標軸的慣性積為零。通常我們把這一對坐標軸稱為平面圖形的主慣性軸，簡稱主軸。平面圖形對主軸的慣性矩稱為主慣性矩。主慣性軸的方位精選課件主慣性矩的大小

通過平面圖形形心C的主慣性軸稱為形心主慣性軸，簡稱形心主軸。平面圖形對形心主軸的慣性矩稱為形心主慣性矩。對于具有對稱軸的平面圖形，其形心主軸的位置可按如下方法確定：如果圖形有一根對稱軸，那么該軸必是形心主軸，而另一根形心主軸通過圖形的形心且與該軸垂直。如果圖形有兩根對稱軸，那么兩根軸都是形心主軸。如果圖形具有兩個以上的對稱軸，那么任一根對稱軸都是形心主軸，且對任一形心主軸的慣性矩都相等。精選課件小結本章主要研究與桿件的平面圖形形狀和尺寸有關的一些幾何量〔如靜距、慣性距、慣性積、主軸及主慣性距等〕的定義和計算方法。這些幾何量統稱為平面圖形的幾何性質。主要計算公式〔1〕靜距

〔2〕慣性距

〔3〕慣性積精選課件〔4〕慣性半徑〔5〕平行移軸公式〔6〕主慣性軸方位〔7〕主慣性距精選課件組合圖形組合圖形對某軸的靜矩等于各簡單圖形對同一軸靜矩的代數和，組合圖形對某軸的慣性矩等于各簡單圖形對同一軸慣性矩的代數和。平面圖形的形心主軸形心主軸是一對通過形心且慣性積為零的軸。形心主軸的特征：〔1〕整個圖形對形心主軸的靜矩恒為零；〔2〕整個圖形對形心主軸的慣性積恒為零；〔3〕在通過形心的所有軸中，圖形對一對正交形心主軸的慣性矩，分別為最大值和最小值；〔4〕圖形假設有一根對稱軸，此軸必是形心主軸。圖形對形心主軸的慣性矩為形心主慣性矩。精選課件第11章梁的應力及強度計算11.1梁純彎曲時橫截面上的正應力11.2純彎曲理論在橫力彎曲中的推廣及梁的正應力強度條件11.3彎曲時的切應力和強度計算11.4梁的合理截面形狀及變截面梁小結精選課件11.1梁純彎曲時橫截面上的正應力橫力彎曲：梁的橫截面上即有剪力Fs又有彎距M，這種彎曲稱為橫力彎曲。

純彎曲：梁的橫截面上，剪力Fs為零，彎曲M是一個常數，這種彎曲稱為純彎曲精選課件梁在純彎曲時橫截面上的正應力幾何方面

〔1〕縱向線aa和bb變成了相互平行的圓弧線，梁凹邊的縱向線縮短，凸邊的縱向線伸長.〔2〕對梁的純彎曲下的變形作如下假設：梁彎曲后原來的橫截面仍為平面，在旋轉一定角度后與軸線保持垂直，該假設稱為彎曲問題的平面假設。精選課件中性層：梁在變形后凹邊纖維縮短，凸邊纖維伸長，根據梁的連續性，由縮短到伸長必然有一層縱向纖維的長度不變，這一層為中性層。中性軸：指中性層與橫截面的交線。精選課件

由幾何圖形可知，距中性軸距離為y處的縱向纖維b1b2的線應變為中性軸的曲率為代入得由此可得，橫截面各點處線應變與該點到中性軸的距離成正比。精選課件物理方面假設梁在純彎曲時縱向纖維之間無擠壓作用，即各條縱向纖維僅發生簡單的拉伸或壓縮，梁內各點均處于單向應力狀態。材料在線彈性范圍內有正應力與線應變成正比橫截面上的法向內力元素構成了空間平行力系，由空間平行力系的平衡方程，得

靜力方面

靜矩為零可知中性軸z過形心。慣性積為零可知y、z軸為形心主軸。精選課件

代入得這是描述彎曲變形的最根本公式。其中為抗彎剛度，抗彎剛度越大，梁變形的曲率越小，說明梁越不易變形。為計算梁在純彎曲時橫截面上任意一點的正應力公式。彎曲構件橫截面上正應力計算公式精選課件矩形截面圓形截面正應力的正負號判定方法：以中性層為界，變形后凸邊的纖維受拉，正應力為正值〔拉應力〕；凹邊的纖維受壓，正應力為負值〔壓應力〕。對一指定截面而言，彎距、慣性矩為常量，y值越大，那么正應力越大，所以最大正應力發生在橫截面的上、下邊緣處，其值為令為抗彎截面系數，那么如果是型鋼，可查型鋼規格表確定Wz值。精選課件例11-1一簡支梁受力如下圖。：F=5kN。求m-m截面上的點1、2的正應力。精選課件解：

作梁的彎矩圖在CD段mm截面上的彎矩為矩形截面對z軸的慣性矩為點1，，該點的正應力為點2，，該點的正應力為根據彎曲變形判斷應力正負號：mm截面上的彎矩為正值，梁在該處變形為凸向下。如果橫截面橫放如圖示，那么最大正應力為多少？有何啟示？精選課件11.2純彎曲理論在橫力彎曲中的推廣及梁的正應力強度條件11.2.1純彎曲理論的推廣

橫力彎曲情況下，梁各橫截面的彎距是截面位置x的函數，任意截面上任意一點的應力值為全梁最大正應力那么為

或精選課件例11-2圖示的簡支梁由I56a工字鋼組成，F=150kN，試求此梁危險截面上的最大正應力，及同一截面上翼緣與腹板交界處a點的正應力。精選課件解：利用型鋼規格表I56a查作彎矩圖，該截面的最大正應力危險截面處a點的正應力a點處的正應力也可利用正應力線性變化規律計算，精選課件11.2.2梁的正應力強度條件

梁內彎矩最大的截面距中性軸最遠的點正應力最大，由于該點為單向應力狀態，可仿照桿件軸向拉〔壓〕桿的強度條件形式建立梁的正應力強度條件，即或由于脆性材料的許用拉應力遠遠小于許用壓應力，故脆性材料要選擇非對稱截面，使橫截面上最大拉應力降低。例如T型截面。精選課件例11-3如下圖，T形截面鑄鐵梁，假設許用拉應力，許用壓應力，試按正應力校核該梁的強度。精選課件解：由圖示截面的幾何尺寸可確定中性軸位置設中性軸距上邊緣距離為h，那么截面對中性軸的慣性矩由彎矩圖可知最大彎矩發生在B截面，該截面的最大拉應力和最大壓應力分別為精選課件B截面最大拉應力和最大壓應力都小于許用應力，但還不能說該梁是安全的。因為C截面彎矩值雖小，但下邊緣受拉，下邊緣各點距中性軸的距離比上邊緣各點距中性軸的距離大，產生拉應力有可能大于B截面的拉應力，所以需校核。

該截面的的壓應力不需再校核。綜上計算，該梁是平安的。精選課件例11-4如下圖的工字型截面外伸梁，梁上作用均布荷載q=20kN/m，許用應力[σ]=140MPa,試選擇工字鋼型號。解：作彎矩圖根據強度條件計算截面的抗彎截面系數由此值在型鋼表上查得型號為12.6。根據選擇型號計算值，不超過的5%即可。精選課件例11-5圖示為一受均布荷載的梁，其跨度l=2m，梁截面的直徑d=10cm，許用應力，試確定梁能承受的最大荷載集度q值為多少？精選課件解：作彎矩圖梁橫截面上的最大彎矩由梁的正應力集度條件即圓截面的抗彎截面系數故該梁能承受的最大均布荷載集度為精選課件11.3彎曲時的切應力和強度計算

11.3.1彎曲時的切應力1.矩形截面梁的切應力在求切應力時，對切應力的分布作如下的假設：橫截面上各點的切應力方向均與兩側邊平行。切應力沿矩形截面寬度均勻分布，即在橫截面上距中性軸等距的各點處的切應力大小相等。取一微段梁dx，受力如下圖。沿縱向面ac將梁截開，如圖示，列平衡方程′精選課件

矩形截面梁橫截面上一點處切應力計算公式精選課件切應力在橫截面上的分布從而可得橫截面上切應力沿高度的分布規律當時，切應力為零,當y=0時，有切應力極大值，代入得即矩形截面梁的最大切應力為平均切應力的1.5倍。精選課件2.I字型截面梁及圓形截面梁的切應力

〔1〕工字型截面梁，由于腹板是狹長矩形，可以完全采用矩形截面切應力的計算公式切應力沿高度方向按二次曲線規律變化。在中性軸上切應力為最大，這也是整個截面的最大切應力為中性軸一邊半個截面面積對中性軸的靜矩。d為腹板的寬度，Iz為整個截面對中性軸的慣性矩。型鋼查表確定Iz及值。精選課件〔2〕圓形截面梁的切應力假設切應力在截面上的分布為：距y軸等距離各點切應力在寬度方向上沿y軸分量相等，且切應力匯交于一點，仿照矩形截面梁切應力計算公式可知，圓形截面梁的最大切應力發生在中性軸上。截面的最大切應力比平均切應力大33%。精選課件3.薄壁環形截面梁的切應力假設環形截面上切應力的分布為：圓環內外周邊上的切應力與圓周相切且，并且切應力沿圓環厚度方向均勻分布。仿照矩形截面的研究方法，經分析可知，圓環形截面的最大切應力同樣發生在中性軸處。即截面的最大切應力為平均切應力的2倍。精選課件例11-6T形截面梁如下圖。，，試求中性軸及翼緣與腹板交界處的切應力。解：T形截面梁，橫截面可分解為兩個矩形由矩形截面切應力的計算公式得中性軸上的切應力為翼緣與腹板交界處的切應力精選課件例11-7一矩形截面簡支梁，中點處承受集中力F，如下圖。試求最大切應力和最大彎曲正應力的比值。精選課件解：在荷載與各支座之間的剪力為常值F/2在梁高度中點處，切應力最大。梁跨度中點C處的彎矩有最大值，故正應力最大，且截面C的頂部和底部的彎曲正應力值相等。聯立上式解得y由于細長梁彎曲正應力遠大于切應力，故正應力強度是主要參數。精選課件11.3.2

梁的切應力強度條件在最大剪力所在的截面上，中性軸上的各點切應力值最大，即梁的切應力強度條件一般情況下，梁的設計是由正應力強度條件決定的，而利用切應力強度條件進行校核。實際上梁的截面根據正應力強度條件選擇后，通常不再需要進行切應力強度校核，只有以下情況需要校核梁的切應力：1〕梁的跨度較小或支座附近作用有較大的集中荷載時可能出現彎矩較小而剪力較大的情況。2〕木材順紋方向的切應力強度。3〕組合截面，當腹板的寬度與梁高之比小于型鋼截面的相應比值時，需要校核切應力強度。精選課件例11-8某工字鋼簡支梁，受荷載如下圖。l=2m，a=0.2m，q=10kN/m，F=200kN，材料的許用應力，

,假設選擇工字鋼型號為I25b，問此梁是否平安？精選課件解：最大彎矩在跨中最大剪力在支座處〔1〕校核正應力強度查型鋼表知：〔2〕校核切應力強度故梁滿足應力強度條件，此梁是平安的。精選課件11.4梁的合理截面形狀及變截面梁

11.4.1合理截面

在材料用量一定的情況下，應使其抗彎截面系數與其面積A之比盡可能大，從而降低橫截面上的最大正應力。為充分發揮材料的潛力，要根據橫截面形式將截面設計成使最大拉壓應力同時到達材料的許用應力。通常塑性材料采用對稱截面，而脆性材料采用非對稱截面。綜合考慮梁橫截面上的應力情況、材料的力學性能、梁的使用條件及加工工藝等多方面因素。精選課件11.4.2變截面梁

為了充分發揮材料的潛能，節省材料并減輕梁的自重，可將梁的橫截面設計成變化的，即變截面梁。最理想的變截面梁是使梁各個截面的最大正應力均到達材料的許用應力，即等強度梁的形式。在x=0處由切應力強度確定梁的最小高度。精選課件魚腹梁變截面梁在工程中的應用實例M精選課件小結純彎曲、橫力彎曲、中性層、中性軸、梁的正應力、切應力及其分布規律等的主要概念。根據平面假設，純彎曲時梁橫截面上的正應力計算公式為對于跨高比較大的梁〔〕，可將純彎曲時正應力的計算公式推廣到橫力彎曲情況下使用。正應力的計算公式為梁彎曲時的正應力強度條件矩形截面梁上各點的切應力分布及計算公式最大切應力計算公式精選課件工字形截面、圓形截面和圓環形截面的最大切應力計算公式：梁彎曲時的切應力強度條件由正應力強度條件設計梁的合理截面形式，同時要滿足切應力的強度要求。根據正應力強度條件、切應力強度條件校核強度，設計合理的截面尺寸及求許用荷載等。精選課件第12章梁的變形

12.1梁截面的撓度和轉角

12.2梁的撓曲線近似微分方程12.3用積分法求梁的變形12.4用疊加法求梁的變形12.5梁的剛度校核和提高梁剛度的措施

小結12.6簡單超靜定梁

精選課件12.1梁截面的撓度和轉角

撓度v：梁上任一截面的形心沿垂直于梁軸線方向的線位移。轉角：梁的橫截面繞中性軸相對其原來位置所旋轉的角度。撓曲線方程:撓度v沿軸x的變化規律的函數表達。即撓曲線上任一點處切線的斜率都可以足夠精確地代表該點處截面的轉角。為轉角方程。規定撓度向下為正，向上為負；順時針轉角為正，逆時針轉角為負。，故在小變形情況下精選課件12.2梁的撓曲線近似微分方程在梁的純彎曲變形中，其曲率為由于梁的變形很小，其撓曲線為一平坦曲線，遠小于1，可忽略不計，改寫為，在數學上，平面曲線的曲率公式為總結可得：上式即為梁的撓曲線近似微分方程。當梁的剛度為常量時，梁的撓曲線近似微分方程可表達為精選課件正負號的選取彎矩M的正負號與的正負號相反，故梁的撓曲線近似微分方程表達為精選課件12.3用積分法求梁的變形

對梁的撓曲線近似微分方程兩端連續兩次積分，得轉角方程撓曲線方程積分常數由邊界條件或梁的連續光滑條件確定。連續條件邊界條