2023-2024學年度第一學期期中學業水平檢測九年級數學試題（時間：120分鐘；滿分：120分）一、選擇題（本題共12個小題，共36分．在每個小題列出的選項中，選出符合題目要求的一項）1.已知α為銳角，且sin（α﹣10°）＝，則α等于（）A.70° B.60° C.50° D.30°【答案】A【解析】【分析】根據特殊角的三角函數值可得α﹣10°＝60°，進而可得α的值．【詳解】解：∵sin（α﹣10°）＝，∴α﹣10°＝60°，∴α＝70°．故選A．【點睛】本題考查特殊角的三角函數值，特殊角的三角函數值的計算在中考中經常出現，題型以選擇題、填空題為主．2.下列圖形中不一定是相似圖形的是()A.兩個等邊三角形 B.兩個等腰直角三角形C.兩個正方形 D.兩個長方形【答案】D【解析】【分析】根據相似三角形的判定定理：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等,那么這兩個三角形相似來分析解答本題.【詳解】等邊三角形的三個內角都是，所以任意兩個等邊三角形一定存在兩對內角分別對應相等，再由相似三角形判定定理得兩個等邊三角形一定相似，故A選項錯誤；等腰直角三角形的三個內角分別為，所以任意兩個等腰直角三角形一定存在兩對內角分別對應相等，再由相似三角形判定定理得兩個等腰直角三角形一定相似，故B選項錯誤；正方形可以看作是兩個全等的直角三角形拼接而成，故任意兩個正方形也相似，故C選項錯誤；任意兩個長方形的長和寬對應比例不確定，長之比和寬之比不一定相等，所以任意兩個長方形不一定相似，故正確答案為D選項.【點睛】本題主要考查相似三角形的定義和判定定理以及正方形相似和長方形相似的判定方法.3.如圖，是某商店售賣的花架簡圖，其中，，，，則長為（）．A. B. C.50 D.30【答案】D【解析】【分析】本題考查了平行線分線段成比例，牢記“三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例”是解題的關鍵．由，利用平行線分線段成比例，可求出的長．【詳解】解：，，即，，的長是．故選：D．4.如圖，若△ABC內接于半徑為R的⊙O，且∠A＝60°，連接OB、OC，則邊BC的長為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】延長BO交圓于D，連接CD，則∠BCD=90°，∠D=∠A=60°；又BD=2R，根據銳角三角函數的定義得BC=R.【詳解】解：延長BO交⊙O于D，連接CD，則∠BCD=90°，∠D=∠A=60°，∴∠CBD=30°，∵BD=2R，∴DC=R，∴BC=R，故選D.【點睛】此題綜合運用了圓周角定理、直角三角形30°角的性質、勾股定理，注意：作直徑構造直角三角形是解決本題的關鍵.5.如圖，把一根長的竹竿斜靠在石壩旁，量出竿長處離地面的高度為，則石壩的高度為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】證明，可得，即，即可求出結果．【詳解】解：過點B作，交的延長線于點，∵，∴，∵，，∴，∴，即，解得，即石壩的高度為2.7m，故選A．【點睛】本題考查相似三角形的實際應用，掌握相似三角形的性質是解題的關鍵．6.如圖，點D，E分別在的邊上，增加下列條件中的一個：①，②，③，④，使與一定相似的有（）A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④【答案】B【解析】【分析】本題考查了相似三角形的判定定理．根據相似三角形的判定定理“兩角對應相等的兩個三角形相似；兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似；三邊對應成比例的兩個三角形相似”即可判斷．【詳解】解：①添加，又，∴，成立；②添加，且，∴，成立；③添加，但不一定與相等，故與不一定相似；④添加且，∴，成立．綜上，使與一定相似的有①②④，故選：B．7.以原點O為位似中心，作的位似圖形，與的相似比為，若點C的坐標為，則點的坐標為（）A. B.或C. D.或【答案】D【解析】【分析】此題考查了位似圖形的性質，注意在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或，據此即可求得答案．【詳解】解：在同一象限內，∵與是以原點O為位似中心的位似圖形，其中相似比是，點的坐標為，∴則點的坐標為：；不在同一象限內，∵與是以原點O為位似中心的位似圖形，其中相似比是，點的坐標為，∴則點的坐標為：，故選：D．8.如圖，AB是⊙O的直徑，點C，D，E在⊙O上，若∠AED＝20°，則∠BCD的度數為()A.100° B.110° C.115° D.120°【答案】B【解析】【分析】連接AD，BD，由圓周角定理可得∠ABD＝20°，∠ADB＝90°，從而可求得∠BAD＝70°，再由圓的內接四邊形對角互補得到∠BCD=110°.【詳解】如下圖，連接AD，BD，∵同弧所對的圓周角相等，∴∠ABD=∠AED＝20°，∵AB為直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°-20°=70°，∴∠BCD=180°-70°=110°.故選B【點睛】本題考查圓中的角度計算，熟練運用圓周角定理和內接四邊形的性質是關鍵.9.如圖，△ABC是面積為27cm2的等邊三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，則圖中陰影部分的面積為（）A.9cm2 B.8cm2 C.6cm2 D.12cm2【答案】A【解析】【分析】先證明△AEH∽△AFG∽△ABC，再根據相似三角形的面積比是相似比的平方，即可得出結果．【詳解】解：∵是面積為的等邊三角形∴∵矩形平行于∴∴∵被截成三等分∴，∴∴∴圖中陰影部分的面積故選：A【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，正確理解題意并能靈活運用相關判定方法和性質是解題的關鍵．10.如圖，和都是等邊三角形，點M是的外心，那么的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】延長交于點D，連接，根據是等邊三角形可知，設，則，利用銳角三角函數的定義用表示出的長，再根據相似三角形的性質即可得出結論．詳解】解：如圖，延長交于點D，連接，∵是等邊三角形，點M是的外心，∴，設，則，∴，∴，∵和都是等邊三角形，∴，∴，∴．故選：B．【點睛】本題考查了三角形的外心，等邊三角形的性質，含角的直角三角形的性質，相似三角形的判定和性質，熟練掌握知識點是解題的關鍵．11.如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足為C，，OC＝OD，則∠ABD的度數為（）A.90° B.95° C.100° D.105°【答案】D【解析】【分析】連接OB，即得出OB＝OD，從而得出∠OBD＝∠ODB．根據含30度角的直角三角形的性質結合題意可判斷∠OBC＝30°，再利用平行線的性質可得出∠BOD＝∠OBC＝30°，從而根據三角形內角和求出∠OBD＝∠ODB＝75°，最后由∠ABD＝∠OBC+∠OBD求解即可．【詳解】如圖：連接OB，∴OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB．∵OC＝OD，∴OC＝OB．∵OC⊥AB，∴,∴∠OBC＝30°．∵，∴∠BOD＝∠OBC＝30°，∴∠OBD＝∠ODB＝75°，∴∠ABD＝∠OBC+∠OBD=30°+75°＝105°．故選D．【點睛】本題考查圓的基本性質，等腰三角形的性質，含30度角的直角三角形的性質，平行線的性質，三角形內角和定理的應用．連接常用的輔助線是解題關鍵．12.如圖，正方形ABCD的邊長是3，BP=CQ，連接AQ，DP交于點O，并分別與邊CD，BC交于點F，E，連接AE，下列結論：①AQ⊥DP；②OA2=OE?OP；③S△AOD=S四邊形OECF；④當BP=1時，tan∠OAE=，其中正確結論的個數是（

）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【詳解】∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，∵BP=CQ，∴AP=BQ，在△DAP與△ABQ中，，∴△DAP≌△ABQ，∴∠P=∠Q，∵∠Q+∠QAB=90°，∴∠P+∠QAB=90°，∴∠AOP=90°，∴AQ⊥DP；故①正確；∵∠DOA=∠AOP=90°，∠ADO+∠P=∠ADO+∠DAO=90°，∴∠DAO=∠P，∴△DAO∽△APO，∴，∴AO2=OD?OP，∵AE＞AB，∴AE＞AD，∴OD≠OE，∴OA2≠OE?OP；故②錯誤；在△CQF與△BPE中，∴△CQF≌△BPE，∴CF=BE，∴DF=CE，在△ADF與△DCE中，，∴△ADF≌△DCE，∴S△ADF﹣S△DFO=S△DCE﹣S△DOF，即S△AOD=S四邊形OECF；故③正確；∵BP=1，AB=3，∴AP=4，∵△AOP∽△DAP，∴，∴BE=，∴QE=，∵△QOE∽△PAD，∴，∴QO=，OE=，∴AO=5﹣QO=，∴tan∠OAE==，故④正確，故選C．點睛：本題考查了相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，正方形的性質，三角函數的定義，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．二、填空題（本題共5個小題，共15分）13.如圖，已知四邊形四邊形，若，，則的長為______．【答案】##【解析】【分析】本題考查了相似多邊形的性質．根據相似多邊形的性質得出，代入數據即可得出答案．【詳解】解：∵四邊形四邊形，∴，∵，，∴，∴，故答案為：．14.如圖，中，ACB=90°,AC=4,BC=3,則_______.【答案】【解析】【分析】先求得∠A=∠BCD，然后根據銳角三角函數的概念求解即可．【詳解】在Rt△ABC與Rt△BCD中，∠A+∠B=90°，∠BCD+∠B=90°．∴∠A=∠BCD．∴tan∠BCD=tan∠A=．故答案為．【點睛】本題考查了解直角三角形，三角函數值只與角的大小有關，因而求一個角的函數值，可以轉化為求與它相等的其它角的三角函數值．15.已知：在⊙O中，弦AB將圓周分為5：1兩段弧，則弦AB所對的圓周角為__________°．【答案】30°或150°【解析】【分析】求出，再利用圓周角定理，圓內接四邊形的性質解決問題即可；【詳解】如圖，∵弦AB將圓周分為5：1兩段弧，∴，在優弧AB上取一點C，連接AC，BC，在劣弧AB上取一點D，連接AD，BD，∵，，∴，；故答案是30°或150°．【點睛】本題主要考查了圓周角定理和圓內接四邊形的性質，準確計算是解題的關鍵．16.正六邊形的內切圓半徑與外接圓半徑之比為___．【答案】【解析】【分析】先根據正六邊形的性質確認其內切圓和外接圓的圓心位置，再利用正六邊形的性質求解即可得．【詳解】如圖，六邊形ABCDEF是正六邊形連接AD、CF，交于點O，過點O作于點G由正六邊形性質可知，點O是正六邊形的內切圓和外接圓的圓心，OC為其外接圓的半徑，OG是其內切圓的半徑，且是等邊三角形設則在中，，因此，故答案為：．【點睛】本題考查了正六邊形的性質、直角三角形的性質等知識點，根據正六邊形的性質確定圓心的位置是解題關鍵．17.如圖，是的切線，B為切點，與交于點C，以點A為圓心、以的長為半徑作，分別交于點E，F．若，則圖中陰影部分的面積為__________．【答案】【解析】【分析】先證明再利用陰影部分的面積等于三角形面積減去扇形面積即可得到答案．【詳解】解：如圖，連接OB，是的切線，設故答案為：【點睛】本題考查的是圓的切線的性質，扇形面積的計算，掌握“整體求解扇形的面積”是解本題的關鍵．三、解答題（本題共8個小題，共計69分．解答題應寫出必要的文字說明、證明過程或推理步驟．）18.計算：（1）（2）【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先根據絕對值、負整數指數冪、零指數冪和特殊角的三角函數值計算，然后根據二次根式的乘法法則運算；（2）先根據特殊角的三角函數值計算，再行二次根式的混合運算．【小問1詳解】解：．【小問2詳解】解：．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的性質、二次根式的乘法法則、特殊角的三角函數值、零指數冪和負整數指數冪是解決問題的關鍵．19.如圖，O為原點，兩點坐標分別為，．（1）以O為位似中心在y軸左側將放大兩倍，并畫出圖形；（2）分別寫出兩點的對應點的坐標；（3）已知為內部一點，寫出的對應點的坐標．【答案】（1）見解析（2）點（3）點的坐標為【解析】【分析】（1）根據位似的性質作圖即可．（2）由圖可直接得出答案．（3）觀察點的變化規律，可得答案．【小問1詳解】解：如圖，即為所求．【小問2詳解】解：由圖可得，點．【小問3詳解】解：由題意得，點的坐標為．【點睛】本題考查了位似圖形的作圖及性質，根據題意正確地作出已知圖形的位似圖形是解題的關鍵．20.如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD為BC邊上的中線，DE⊥AB于點E．（1）求證：△BDE∽△CAD．（2）若AB＝13，BC＝10，求線段DE的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性質可知∠B=∠C，再證∠DEB=∠ADC=90°即可解決問題；（2）先求出AD的長，由?AD?BD＝?AB?DE，即可求解DE的長．【小問1詳解】∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠B＝∠C，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC，∴△BDE∽△CAD．【小問2詳解】∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，在Rt△ADB中，AD＝=＝12，∵?AD?BD＝?AB?DE，∴DE＝．【點睛】本題考查相似三角形的判定，勾股定理、等腰三角形的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識．21.如圖，是一個地下排水管的橫截面圖，已知⊙O的半徑OA等于50cm，水的深度等于25cm（水的深度指的中點到弦AB的距離）．求：（1）水面的寬度AB．（2）橫截面浸沒在水中的的長（結果保留π）．【答案】（1）50cm；（2）cm【解析】【分析】（1）過O作OH⊥AB于H，并延長交⊙O于D，根據圓的性質，計算得OH，再根據勾股定理計算，即可得到答案；（2）連接OB，結合題意，根據含角的直角三角形性質，得∠OAH＝30°，從而計算得∠AOB；再根據弧長公式計算，即可完成求解．詳解】（1）過O作OH⊥AB于H，并延長交⊙O于D，∴∠OHA＝90°，AH＝AB，，∵水的深度等于25cm，即HD＝25cm又∵OA＝OD＝50cm∴OH＝OD-HD＝25cm∴AH＝cm∴AB＝50cm；（2）連接OB，∵OA＝50cm，OH＝25cm，∴OH＝OA∵∠OHA＝90°∴∠OAH＝30°∴∠AOH＝60°∵OA＝OB，OH⊥AB∴∠BOH＝∠AOH＝60°∴∠AOB＝120°∴的長是：cm．【點睛】本題考查了圓、勾股定理、含角直角三角形、弧長的知識；解題的關鍵是熟練掌握圓、垂徑定理、勾股定理、弧長計算的性質，從而完成求解．22.如圖，某人在山坡坡腳C處測得一座建筑物定點A的仰角為60°，沿山坡向上走到P處再測得該建筑物頂點A的仰角為45°．已知BC＝60m，山坡的坡比為1：2．（1）求該建筑物的高度（即AB的長，結果保留根號）；（2）求此人所在位置點P的鉛直高度（即PD的長，結果保留根號）．【答案】(1)建筑物的高度為60米；(2)點P的鉛直高度為（20﹣20）米．【解析】【分析】（1）過點P作PE⊥BD于E，PF⊥AB于F，在Rt△ABC中，求出AB的長度即可；（2）設PE＝x米，則BF＝PE＝x米，根據山坡坡度為1：2，用x表示CE的長度，然后根據AF＝PF列出等量關系式，求出x的值即可．【詳解】解：（1）過點P作PE⊥BD于E，PF⊥AB于F，又∵AB⊥BC于B，∴四邊形BEPF是矩形，∴PE＝BF，PF＝BE∵在Rt△ABC中，BC＝90米，∠ACB＝60°，∴AB＝BC?tan60°＝60（米），故建筑物的高度為60米；（2）設PE＝x米，則BF＝PE＝x米，∵在Rt△PCE中，tan∠PCD＝，∴CE＝2x，∵在Rt△PAF中，∠APF＝45°，∴AF＝AB﹣BF＝60﹣x，PF＝BE＝BC+CE＝60+2x，又∵AF＝PF，∴60﹣x＝60+2x，解得：x＝20﹣20，答：人所在的位置點P的鉛直高度為（20﹣20）米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，要求學生借助仰角關系構造直角三角形，并結合圖形利用三角函數解直角三角形，難度適中．23.如圖，AD是⊙O的直徑，AB為⊙O的弦，OP⊥AD，OP與AB的延長線交于點P，過B點的切線交OP于點C（1）求證：∠CBP=∠ADB（2）若OA=2，AB=1，求線段BP的長.【答案】（1）證明見解析；（2）BP=7.【解析】【詳解】分析：（1）連接OB，如圖，根據圓周角定理得到∠ABD=90°，再根據切線性質得到∠OBC=90°，然后利用等量代換進行證明；（2）證明△AOP∽△ABD，然后利用相似比求BP的長．詳（1）證明：連接OB，如圖，∵AD是⊙O的直徑，∴∠ABD=90°，∴∠A+∠ADB=90°，∵BC為切線，∴OB⊥BC，∴∠OBC=90°，∴∠OBA+∠CBP=90°，而OA=OB，∴∠A=∠OBA，∴∠CBP=∠ADB；（2）解：∵OP⊥AD，∴∠POA=90°，∴∠P+∠A=90°，∴∠P=∠D，∴△AOP∽△ABD，∴，即，∴BP=7．點睛：本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．若出現圓的切線，必連過切點的半徑，構造定理圖，得出垂直關系．也考查了圓周角定理和相似三角形的判定與性質．24.圖1是安裝在傾斜屋頂上的熱水器，圖2是安裝熱水器的側面示意圖．已知屋面AE的傾斜角為，長為3米的真空管AB與水平線AD的夾角為，安裝熱水器的鐵架豎直管CE的長度為0.5米．（1）真空管上端B到水平線AD的距離．（2）求安裝熱水器的鐵架水平橫管BC的長度．（結果精確到0.1米）參考數據：，，，，，【答案】（1）1.8米（2）0.9米【解析】【分析】（1）過B作BF⊥AD于F．構建Rt△ABF中，根據三角函數的定義與三角函數值即可求出答案．（2）根據BF的長可求出AF的長，再判定出四邊形BFDC是矩形，可求出AD，根據BC＝DF＝AD?AF計算即可．【小問1詳解】如圖，過B作BF⊥AD于F．在Rt△ABF中，

∵sin∠BAF＝，

∴BF＝ABsin∠BAF＝3sin37°≈1.8．

∴真空管上端B到AD的距離約為1.8米．【小問2詳解】在Rt△ABF中，

∵cos∠BAF＝，

∴AF＝ABcos∠BAF＝3cos37°≈2.4，

∵BF⊥AD，CD⊥AD，又BC∥FD，

∴四邊形BFDC是矩形．

∴BF＝CD，BC＝FD，

∵EC＝0.5米，

∴DE＝CD?CE＝1.3米，

在Rt△EAD中，

∵tan∠EAD＝，

∴，

∴AD＝3.25米，

∴BC＝DF＝AD?AF＝3.25?2.4＝0.85≈0.9

∴安裝熱水器的鐵架水平橫管BC的長度約為0.9米．【點睛】此題考查了解直角三角形的應用，培養學生運用三角函數知識解決實際問題的能力，掌握三角函數是解題的關鍵．25.如圖，已知AB是⊙O的直徑，點E是⊙O上異于A，B的點，點F是的中點，連接AE，AF，BF，過點F作FC⊥AE交AE的延長線于