概率與統計(8)1．[2023·全國乙卷(文)]某廠為比較甲、乙兩種工藝對橡膠產品伸縮率的處理效應，進行10次配對試驗，每次配對試驗選用材質相同的兩個橡膠產品，隨機地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產品的伸縮率．甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產品的伸縮率分別記為xi，yi(i＝1，2，…，10).試驗結果如下：試驗序號i12345678910伸縮率xi545533551522575544541568596548伸縮率yi536527543530560533522550576536記zi＝xi－yi(i＝1，2，…，10)，z1，z2，…，z10的樣本平均數為eq\o(z,\s\up6(－))，樣本方差為s2.(1)求eq\o(z,\s\up6(－))，s2；(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率是否有顯著提高(如果eq\o(z,\s\up6(－))≥2eq\r(\f(s2,10))，則認為甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率有顯著提高，否則不認為有顯著提高).2．[2023·黑龍江齊齊哈爾三模(文)]某校從甲、乙兩個班級所有學生中分別隨機抽取8名，對他們的航天知識進行評分調查(滿分100分)，被抽取的學生的評分結果如下莖葉圖所示：(1)分別計算甲、乙兩個班級被抽取的8名學生得分的平均值和方差，并估計兩個班級學生航天知識的整體水平差異；(2)若從得分不低于85分的學生中隨機抽取2人參觀市教育局舉辦的航天攝影展，求這兩名學生均來自乙班級的概率．3．[2023·四川石室中學三模(文)]某學校共有1000名學生參加知識競賽，其中男生400人．為了了解該校學生在知識競賽中的情況，采取按性別分層抽樣，隨機抽取了100名學生進行調查，分數分布在450～950分之間．將分數不低于750分的學生稱為“高分選手”．根據調查的結果繪制的學生分數頻率分布直方圖如圖所示．(1)求a的值，并估計該校學生分數的眾數、平均數和中位數(同一組中的數據用該組區間的中點值作代表)；(2)若樣本中屬于“高分選手”的女生有10人，完成下列2×2列聯表，并判斷是否有97.5%的把握認為該校學生屬于“高分選手”與“性別”有關．屬于“高分選手”不屬于“高分選手”合計男生女生合計參考公式：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8284．[2023·貴州畢節三模(文)]為調查某地區某種野生動物的數量，將其分成面積相近的100個地塊，從這些地塊中用簡單隨機抽樣的方法抽取10個作為樣區，調查得到樣本數據(xi，yi)(i＝1，2，…，10)，其中xi和yi分別表示第i個樣區的植物覆蓋面積(單位：公頃)和這種野生動物的數量，據分析野生動物的數量y與植物覆蓋面積x線性相關并計算得eq\i\su(i＝1,10,x)i＝30，eq\i\su(i＝1,10,y)i＝600，eq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))＝250，eq\i\su(i＝1,10,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝400.(1)求該地區植物覆蓋面積和野生動物數量的回歸直線方程；(2)根據上述方程，預計該地區一塊植物覆蓋面積為5公頃的地塊中這種野生動物的數量．參考公式：回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))·\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－n\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).5．[2023·吉林模擬預測]北京于2022年2月成功地舉辦了第二十四屆冬季奧林匹克運動會．共赴冰雪之約，共享冬奧機遇，“冰雪經濟”逐漸升溫，“帶動三億人參與冰雪運動”正在從愿景逐漸變為現實，某大型滑雪場為了了解“喜愛冰雪運動”是否與“性別”有關，用簡單隨機抽樣的方法從不同地區進行調查統計，得到如下2×2列聯表：男性女性合計喜歡冰雪運動80不喜歡冰雪運動40合計統計數據表明：男性喜歡冰雪運動的人數占男性人數的eq\f(4,5)；女性喜歡冰雪運動的人數占女性人數的eq\f(3,5).(1)完成2×2列聯表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認為“喜歡冰雪運動”與“性別”有關系；(結果精確到0.001)(2)根據數據統計，在參與調查的人員中年齡在40歲以上的占總體的eq\f(1,5)，在20歲到40歲之間的占eq\f(3,5)，20歲以下的占eq\f(1,5).現利用分層抽樣的方法，從參加調查的人員中隨機抽取5人參與抽獎活動，獎項設置如下：一等獎，享受全雪季雪場全部項目五折優惠，名額2人；二等獎，享受全雪季雪場全部項目八折優惠，名額3人．求獲得一等獎的兩人年齡都在20歲到40歲之間的概率．參考公式：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.1000.0100.001k02.7066.63510.8286．[2023·云南昆明模擬預測(文)]《中共中央國務院關于深入打好污染防治攻堅戰的意見》提出“構建智慧高效的生態環境管理信息化體系”，下一步，需加快推進5G、物聯網、大數據、云計算等新信息技術在生態環境保護領域的建設與應用，實現生態環境管理信息化、數字化、智能化．某科技公司開發出一款生態環保產品，已知該環保產品每售出1件預計利潤為0.4萬元，當月未售出的環保產品，每件虧損0.2萬元．根據市場調研，該環保產品的市場月需求量在[155，205]內取值，將月需求量區間平均分成5組，畫出頻率分布直方圖如下．(1)請根據頻率分布直方圖，估計該環保產品的市場月需求量的平均值eq\o(x,\s\up6(－))和方差s2.(2)若該環保產品的月產量為185件，x(單位：件，155≤x≤205，x∈N*)表示該產品一個月內的市場需求量，y(單位：萬元)表示該公司生產該環保產品的月利潤．①將y表示為x的函數；②以頻率估計概率，標準差s精確到1，根據頻率分布直方圖估計x∈[eq\o(x,\s\up6(－))－s，eq\o(x,\s\up6(－))＋s]且y不少于68萬元的概率．概率與統計（8）1．解析：（1）由題意，求出zi的值如表所示，試驗序號i12345678910zi968－8151119182012則eq\x\to(z)＝eq\f(1,10)×（9＋6＋8－8＋15＋11＋19＋18＋20＋12）＝11，s2＝eq\f(1,10)×[（9－11）2＋（6－11）2＋（8－11）2＋（－8－11）2＋（15－11）2＋（11－11）2＋（19－11）2＋（18－11）2＋（20－11）2＋（12－11）2]＝61.（2）因為2eq\r(\f(s2,10))＝2eq\r(6.1)＝eq\r(24.4)，eq\x\to(z)＝11＝eq\r(121)>eq\r(24.4)，所以可認為甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率有顯著提高．2．解析：（1）eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,8)（76＋79＋80＋81＋85＋88＋90＋93）＝84，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,8)（73＋80＋81＋82＋83＋89＋90＋94）＝84.seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))＝eq\f(1,8)（64＋25＋16＋9＋1＋16＋36＋81）＝31，seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))＝eq\f(1,8)（121＋16＋9＋4＋1＋25＋36＋100）＝39，因為兩個班級學生得分的平均值相同，所以我們估計兩個班級航天知識整體水平相差不大，又由于乙班級學生得分的方差比甲班大，所以我們估計甲班級學生航天知識水平更加均衡一些，乙班級學生航天知識水平差異略大．（2）甲班級得分不低于85分的有4名同學，記為A，B，C，D.乙班級得分不低于85分的有3名同學，記為a，b，c，從這7名同學中選取2人共有（A，B），（A，C），（A，D），（A，a），（A，b），（A，c），（B，C），（B，D），（B，a），（B，b），（B，c），（C，D），（C，a），（C，b），（C，c），（D，a），（D，b），（D，c），（a，b），（a，c），（b，c）共21個基本事件．其中兩名學生均來自于乙班級的有（a，b），（a，c），（b，c）共3個基本事件，所以所求事件的概率P＝eq\f(3,21)＝eq\f(1,7).3．解析：（1）100×（0.0015＋a＋0.0025＋0.0015＋0.0010）＝1，解得a＝0.0035.眾數估計值為600分．平均數估計值為500×0.15＋600×0.35＋700×0.25＋800×0.15＋900×0.1＝670（分），分數分布在450～650分之間時，頻率為100×（0.0015＋0.0035）＝0.5，故中位數估計值為650分．（2）由題意可知，樣本中男生有40人，女生有60人，屬于“高分選手”的有25人，其中女生10人．因此，得到2×2列聯表如下：屬于高分選手不屬于高分選手合計男生152540女生105060合計2575100因此，K2＝eq\f(100×（15×50－10×25）2,40×60×25×75)＝eq\f(50,9)≈5.556>5.024，所以有97.5%的把握認為該校學生屬于“高分選手”與“性別”有關．4．解析：（1）由題意得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,10)eq\i\su(i＝1,10,x)i＝3，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,10)eq\i\su(i＝1,10,y)i＝60，由于eq\i\su(i＝1,n,)（xi－eq\o(x,\s\up6(－))）2＝eq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－2（x1＋x2＋…＋x10）eq\o(x,\s\up6(－))＋10eq\o(x,\s\up6(－))2＝eq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－2×10eq\o(x,\s\up6(－))2＋10eq\o(x,\s\up6(－))2＝eq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－10eq\o(x,\s\up6(－))2，∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,10,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\i\su(i＝1,10,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)＝eq\f(\i\su(i＝1,10,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－10\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(400,250－10×9)＝2.5，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝60－2.5×3＝52.5，∴回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝2.5x＋52.5.（2）當x＝5時，eq\o(y,\s\up6(^))＝65，即預計這種野生動物的數量為65.5．解析：（1）參與調查的男性有80÷eq\f(4,5)＝100人，女性有40÷（1－eq\f(3,5)）＝100人，根據已知條件，可得列聯表如下：男性女性合計喜歡冰雪運動8060140不喜歡冰雪運動204060合計100100200K2＝eq\f(200×（80×40－60×20）2,140×60×100×100)＝eq\f(200,21)≈9.524<10.828.所以不能在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為“喜歡冰雪運動”與“性別”有關系．（2）設“獲得一等獎的兩人年齡都在20歲到40歲之間”為事件A，利用分層抽樣的方法抽取，在40歲以上的人員中抽取1人，記其為a；在20歲到40歲之間的人員中抽取3人，記其為b，c，d；在20歲以下的人員中抽取1人，記其為e.在抽獎的5人中2人獲得一等獎的基本事件為：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de共10種，滿足條件的基本事件為：bc，bd，cd共3種，所以P（A）＝eq\f(3,10).即獲得一等獎的兩人年齡都在20歲到40歲之間的概率為eq\f(3,