北京九中2024屆高三上數學期末監測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．地球上的風能取之不盡，用之不竭.風能是淸潔能源，也是可再生能源.世界各國致力于發展風力發電，近10年來，全球風力發電累計裝機容量連年攀升，中國更是發展迅猛，2014年累計裝機容量就突破了，達到，中國的風力發電技術也日臻成熟，在全球范圍的能源升級換代行動中體現出大國的擔當與決心.以下是近10年全球風力發電累計裝機容量與中國新增裝機容量圖.根據所給信息，正確的統計結論是（）A．截止到2015年中國累計裝機容量達到峰值B．10年來全球新增裝機容量連年攀升C．10年來中國新增裝機容量平均超過D．截止到2015年中國累計裝機容量在全球累計裝機容量中占比超過2．要排出高三某班一天中，語文、數學、英語各節，自習課節的功課表，其中上午節，下午節，若要求節語文課必須相鄰且節數學課也必須相鄰（注意：上午第五節和下午第一節不算相鄰），則不同的排法種數是（）A． B． C． D．3．已知雙曲線的一條漸近線傾斜角為，則（）A．3 B． C． D．4．設a=log73，，c=30.7，則a，b，c的大小關系是（）A． B． C． D．5．有一改形塔幾何體由若千個正方體構成，構成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個頂點是下層正方體上底面各邊的中點.已知最底層正方體的棱長為8，如果改形塔的最上層正方體的邊長小于1，那么該塔形中正方體的個數至少是（）A．8 B．7 C．6 D．46．已知是球的球面上兩點,,為該球面上的動點.若三棱錐體積的最大值為36,則球的表面積為（）A． B． C． D．7．已知，若，則等于（）A．3 B．4 C．5 D．68．已知集合，集合，則（）.A． B．C． D．9．拋物線的焦點為F，點為該拋物線上的動點，若點，則的最小值為（）A． B． C． D．10．如圖，在三棱柱中，底面為正三角形，側棱垂直底面，.若分別是棱上的點，且，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．11．已知復數（為虛數單位）在復平面內對應的點的坐標是（）A． B． C． D．12．已知，函數在區間上恰有個極值點，則正實數的取值范圍為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知為等比數列，是它的前項和.若，且與的等差中項為，則__________.14．已知函數，則曲線在點處的切線方程為___________.15．設O為坐標原點,,若點B(x,y)滿足，則的最大值是__________．16．的展開式中，的系數為____________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知件次品和件正品混放在一起，現需要通過檢測將其區分，每次隨機檢測一件產品，檢測后不放回，直到檢測出件次品或者檢測出件正品時檢測結束．（1）求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；（2）已知每檢測一件產品需要費用元，設表示直到檢測出件次品或者檢測出件正品時所需要的檢測費用（單位：元），求的分布列．18．（12分）為迎接2022年冬奧會，北京市組織中學生開展冰雪運動的培訓活動，并在培訓結束后對學生進行了考核．記表示學生的考核成績，并規定為考核優秀．為了了解本次培訓活動的效果，在參加培訓的學生中隨機抽取了30名學生的考核成績，并作成如下莖葉圖：（Ⅰ）從參加培訓的學生中隨機選取1人，請根據圖中數據，估計這名學生考核優秀的概率；（Ⅱ）從圖中考核成績滿足的學生中任取2人，求至少有一人考核優秀的概率；（Ⅲ）記表示學生的考核成績在區間的概率，根據以往培訓數據，規定當時培訓有效．請根據圖中數據，判斷此次中學生冰雪培訓活動是否有效，并說明理由．19．（12分）已知函數，且.（1）求的解析式；（2）已知，若對任意的，總存在，使得成立，求的取值范圍.20．（12分）已知曲線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．（1）寫出曲線的極坐標方程；（2）點是曲線上的一點，試判斷點與曲線的位置關系．21．（12分）己知，，.（1）求證：；（2）若，求證：.22．（10分）在平面直角坐標系中，曲線C的參數方程為（為參數）.以原點為極點，x軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系.（1）求曲線C的極坐標方程；（2）直線（t為參數）與曲線C交于A，B兩點，求最大時，直線l的直角坐標方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

先列表分析近10年全球風力發電新增裝機容量，再結合數據研究單調性、平均值以及占比，即可作出選擇.【詳解】年份2009201020112012201320142015201620172018累計裝機容量158.1197.2237.8282.9318.7370.5434.3489.2542.7594.1新增裝機容量39.140.645.135.851.863.854.953.551.4中國累計裝機裝機容量逐年遞增，A錯誤；全球新增裝機容量在2015年之后呈現下降趨勢，B錯誤；經計算，10年來中國新增裝機容量平均每年為，選項C錯誤；截止到2015年中國累計裝機容量，全球累計裝機容量，占比為，選項D正確.故選：D【點睛】本題考查條形圖，考查基本分析求解能力，屬基礎題.2、C【解析】

根據題意，分兩種情況進行討論：①語文和數學都安排在上午；②語文和數學一個安排在上午，一個安排在下午.分別求出每一種情況的安排方法數目，由分類加法計數原理可得答案．【詳解】根據題意，分兩種情況進行討論：①語文和數學都安排在上午，要求節語文課必須相鄰且節數學課也必須相鄰，將節語文課和節數學課分別捆綁，然后在剩余節課中選節到上午，由于節英語課不加以區分，此時，排法種數為種；②語文和數學都一個安排在上午，一個安排在下午.語文和數學一個安排在上午，一個安排在下午，但節語文課不加以區分，節數學課不加以區分，節英語課也不加以區分，此時，排法種數為種.綜上所述，共有種不同的排法.故選：C．【點睛】本題考查排列、組合的應用，涉及分類計數原理的應用，屬于中等題．3、D【解析】

由雙曲線方程可得漸近線方程，根據傾斜角可得漸近線斜率，由此構造方程求得結果.【詳解】由雙曲線方程可知：，漸近線方程為：，一條漸近線的傾斜角為，，解得：.故選：.【點睛】本題考查根據雙曲線漸近線傾斜角求解參數值的問題，關鍵是明確直線傾斜角與斜率的關系；易錯點是忽略方程表示雙曲線對于的范圍的要求.4、D【解析】

，，得解．【詳解】，，，所以，故選D【點睛】比較不同數的大小，找中間量作比較是一種常見的方法．5、A【解析】

則從下往上第二層正方體的棱長為：，從下往上第三層正方體的棱長為：，從下往上第四層正方體的棱長為：，以此類推，能求出改形塔的最上層正方體的邊長小于1時該塔形中正方體的個數的最小值的求法.【詳解】最底層正方體的棱長為8，則從下往上第二層正方體的棱長為：，從下往上第三層正方體的棱長為：，從下往上第四層正方體的棱長為：，從下往上第五層正方體的棱長為：，從下往上第六層正方體的棱長為：，從下往上第七層正方體的棱長為：，從下往上第八層正方體的棱長為：，∴改形塔的最上層正方體的邊長小于1，那么該塔形中正方體的個數至少是8.故選：A.【點睛】本小題主要考查正方體有關計算，屬于基礎題.6、C【解析】

如圖所示，當點C位于垂直于面的直徑端點時，三棱錐的體積最大，設球的半徑為，此時，故，則球的表面積為，故選C．考點：外接球表面積和椎體的體積．7、C【解析】

先求出，再由，利用向量數量積等于0，從而求得.【詳解】由題可知，因為，所以有，得，故選：C.【點睛】該題考查的是有關向量的問題，涉及到的知識點有向量的減法坐標運算公式，向量垂直的坐標表示，屬于基礎題目.8、A【解析】

算出集合A、B及，再求補集即可.【詳解】由，得，所以，又，所以，故或.故選：A.【點睛】本題考查集合的交集、補集運算，考查學生的基本運算能力，是一道基礎題.9、B【解析】

通過拋物線的定義，轉化，要使有最小值，只需最大即可，作出切線方程即可求出比值的最小值．【詳解】解：由題意可知，拋物線的準線方程為，，過作垂直直線于，由拋物線的定義可知，連結，當是拋物線的切線時，有最小值，則最大，即最大，就是直線的斜率最大，設在的方程為：，所以，解得：，所以，解得，所以，．故選：．【點睛】本題考查拋物線的基本性質，直線與拋物線的位置關系，轉化思想的應用，屬于基礎題．10、B【解析】

建立空間直角坐標系，利用向量法計算出異面直線與所成角的余弦值.【詳解】依題意三棱柱底面是正三角形且側棱垂直于底面.設的中點為，建立空間直角坐標系如下圖所示.所以，所以.所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：B【點睛】本小題主要考查異面直線所成的角的求法，屬于中檔題.11、A【解析】

直接利用復數代數形式的乘除運算化簡，求得的坐標得出答案.【詳解】解：，在復平面內對應的點的坐標是.故選：A.【點睛】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數的代數表示法及其幾何意義，屬于基礎題．12、B【解析】

先利用向量數量積和三角恒等變換求出，函數在區間上恰有個極值點即為三個最值點，解出，，再建立不等式求出的范圍，進而求得的范圍.【詳解】解：令，解得對稱軸，，又函數在區間恰有個極值點，只需解得．故選：．【點睛】本題考查利用向量的數量積運算和三角恒等變換與三角函數性質的綜合問題.(1)利用三角恒等變換及輔助角公式把三角函數關系式化成或的形式;(2)根據自變量的范圍確定的范圍，根據相應的正弦曲線或余弦曲線求值域或最值或參數范圍.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

設等比數列的公比為，根據題意求出和的值，進而可求得和的值，利用等比數列求和公式可求得的值.【詳解】由等比數列的性質可得，，由于與的等差中項為，則，則，，，，，因此，.故答案為：.【點睛】本題考查等比數列求和，解答的關鍵就是等比數列的公比，考查計算能力，屬于基礎題.14、【解析】

根據導數的幾何意義求出切線的斜率，利用點斜式求切線方程.【詳解】因為，所以，又故切線方程為，整理為，故答案為：【點睛】本題主要考查了導數的幾何意義，切線方程，屬于容易題.15、【解析】,可行域如圖，直線與圓相切時取最大值，由16、16【解析】

要得到的系數，只要求出二項式中的系數減去的系數的2倍即可【詳解】的系數為.故答案為：16【點睛】此題考查二項式的系數，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）見解析.【解析】

（1）利用獨立事件的概率乘法公式可計算出所求事件的概率；（2）由題意可知隨機變量的可能取值有、、，計算出隨機變量在不同取值下的概率，由此可得出隨機變量的分布列.【詳解】（1）記“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品”為事件，則；（2）由題意可知，隨機變量的可能取值為、、．則，，．故的分布列為【點睛】本題考查概率的計算，同時也考查了隨機變量分布列，考查計算能力，屬于基礎題.18、（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）見解析【解析】

（Ⅰ）根據莖葉圖求出滿足條件的概率即可；（Ⅱ）結合圖表得到6人中有2個人考核為優，從而求出滿足條件的概率即可；（Ⅲ）求出滿足的成績有16個，求出滿足條件的概率即可．【詳解】解：（Ⅰ）設這名學生考核優秀為事件，由莖葉圖中的數據可以知道，30名同學中，有7名同學考核優秀，所以所求概率約為（Ⅱ）設從圖中考核成績滿足的學生中任取2人，至少有一人考核成績優秀為事件，因為表中成績在的6人中有2個人考核為優，所以基本事件空間包含15個基本事件，事件包含9個基本事件，所以（Ⅲ）根據表格中的數據，滿足的成績有16個，所以所以可以認為此次冰雪培訓活動有效．【點睛】本題考查了莖葉圖問題，考查概率求值以及轉化思想，是一道常規題．19、（1）；（2）【解析】

（1）由,可求出的值,進而可求得的解析式;（2）分別求得和的值域,再結合兩個函數的值域間的關系可求出的取值范圍.【詳解】（1）因為,所以,解得,故.（2）因為,所以,所以，則,圖象的對稱軸是.因為,所以,則,解得,故的取值范圍是.【點睛】本題考查了三角函數的恒等變換,考查了二次函數及三角函數值域的求法,考查了學生的計算求解能力,屬于中檔題.20、（1）（2）點在曲線外．【解析】

（1）先消參化曲線的參數方程為普通方程,再化為極坐標方程；（2）由點是曲線上的一點,利用的范圍判斷的范圍,即可判斷位置關系.【詳解】（1）由曲線的參數方程為可得曲線的普通方程