安徽省蚌埠市禹會區北京師范大學蚌埠附屬學校2024屆高三（實驗班）第一次模擬數學試題試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若實數滿足不等式組，則的最大值為（）A． B． C．3 D．22．已知函數（）的部分圖象如圖所示.則（）A． B．C． D．3．設，是雙曲線的左，右焦點，是坐標原點，過點作的一條漸近線的垂線，垂足為．若，則的離心率為（）A． B． C． D．4．已知復數，為的共軛復數，則（）A． B． C． D．5．設，則（）A． B． C． D．6．已知雙曲線：（，）的焦距為.點為雙曲線的右頂點，若點到雙曲線的漸近線的距離為，則雙曲線的離心率是（）A． B． C．2 D．37．“紋樣”是中國藝術寶庫的瑰寶，“火紋”是常見的一種傳統紋樣.為了測算某火紋紋樣（如圖陰影部分所示）的面積，作一個邊長為3的正方形將其包含在內，并向該正方形內隨機投擲200個點，己知恰有80個點落在陰影部分據此可估計陰影部分的面積是（）A． B． C．10 D．8．已知集合，集合，則（）A． B． C． D．9．已知函數，則的值等于（）A．2018 B．1009 C．1010 D．202010．函數的圖象與函數的圖象的交點橫坐標的和為（）A． B． C． D．11．已知數列的前項和為，且，，，則的通項公式（）A． B． C． D．12．設是虛數單位，則“復數為純虛數”是“”的（）A．充要條件 B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件 D．充分不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球，從中一次隨機摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為__________．14．一個空間幾何體的三視圖及部分數據如圖所示，則這個幾何體的體積是___________15．已知為雙曲線：的左焦點，直線經過點，若點，關于直線對稱，則雙曲線的離心率為__________．16．已知實數滿足，則的最小值是______________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知；.（1）若為真命題，求實數的取值范圍；（2）若為真命題且為假命題，求實數的取值范圍.18．（12分）武漢有“九省通衢”之稱，也稱為“江城”，是國家歷史文化名城.其中著名的景點有黃鶴樓、戶部巷、東湖風景區等等.（1）為了解“五·一”勞動節當日江城某旅游景點游客年齡的分布情況，從年齡在22歲到52歲的游客中隨機抽取了1000人，制成了如圖的頻率分布直方圖：現從年齡在內的游客中，采用分層抽樣的方法抽取10人，再從抽取的10人中隨機抽取4人，記4人中年齡在內的人數為，求；（2）為了給游客提供更舒適的旅游體驗，該旅游景點游船中心計劃在2020年勞動節當日投入至少1艘至多3艘型游船供游客乘坐觀光.由2010到2019這10年間的數據資料顯示每年勞動節當日客流量（單位：萬人）都大于1.將每年勞動節當日客流量數據分成3個區間整理得表：勞動節當日客流量頻數（年）244以這10年的數據資料記錄的3個區間客流量的頻率作為每年客流量在該區間段發生的概率，且每年勞動節當日客流量相互獨立.該游船中心希望投入的型游船盡可能被充分利用，但每年勞動節當日型游船最多使用量（單位：艘）要受當日客流量（單位：萬人）的影響，其關聯關系如下表：勞動節當日客流量型游船最多使用量123若某艘型游船在勞動節當日被投入且被使用，則游船中心當日可獲得利潤3萬元；若某艘型游船勞動節當日被投入卻不被使用，則游船中心當日虧損0.5萬元.記（單位：萬元）表示該游船中心在勞動節當日獲得的總利潤，的數學期望越大游船中心在勞動節當日獲得的總利潤越大，問該游船中心在2020年勞動節當日應投入多少艘型游船才能使其當日獲得的總利潤最大？19．（12分）已知函數.其中是自然對數的底數.（1）求函數在點處的切線方程；（2）若不等式對任意的恒成立，求實數的取值范圍.20．（12分）如圖1，與是處在同-個平面內的兩個全等的直角三角形，，，連接是邊上一點，過作，交于點，沿將向上翻折，得到如圖2所示的六面體（1）求證：（2）設若平面底面，若平面與平面所成角的余弦值為，求的值；（3）若平面底面，求六面體的體積的最大值.21．（12分）已知二階矩陣A=abcd，矩陣A屬于特征值λ1=-1的一個特征向量為α122．（10分）設函數，（）.（1）若曲線在點處的切線方程為，求實數a、m的值；（2）若對任意恒成立，求實數a的取值范圍；（3）關于x的方程能否有三個不同的實根？證明你的結論.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

作出可行域，直線目標函數對應的直線，平移該直線可得最優解．【題目詳解】作出可行域，如圖由射線，線段，射線圍成的陰影部分（含邊界），作直線，平移直線，當過點時，取得最大值1．故選：C．【題目點撥】本題考查簡單的線性規劃問題，解題關鍵是作出可行域，本題要注意可行域不是一個封閉圖形．2、C【解題分析】

由圖象可知,可解得,利用三角恒等變換化簡解析式可得,令,即可求得.【題目詳解】依題意，，即,解得；因為所以，當時，.故選:C.【題目點撥】本題主要考查了由三角函數的圖象求解析式和已知函數值求自變量,考查三角恒等變換在三角函數化簡中的應用,難度一般.3、B【解題分析】

設過點作的垂線，其方程為，聯立方程，求得，，即，由，列出相應方程，求出離心率.【題目詳解】解：不妨設過點作的垂線，其方程為，由解得，，即，由，所以有，化簡得，所以離心率．故選：B.【題目點撥】本題主要考查雙曲線的概念、直線與直線的位置關系等基礎知識，考查運算求解、推理論證能力，屬于中檔題．4、C【解題分析】

求出，直接由復數的代數形式的乘除運算化簡復數.【題目詳解】.故選：C【題目點撥】本題考查復數的代數形式的四則運算，共軛復數，屬于基礎題.5、D【解題分析】

結合指數函數及對數函數的單調性,可判斷出,,,即可選出答案.【題目詳解】由,即,又,即,,即,所以.故選:D.【題目點撥】本題考查了幾個數的大小比較,考查了指數函數與對數函數的單調性的應用,屬于基礎題.6、A【解題分析】

由點到直線距離公式建立的等式，變形后可求得離心率．【題目詳解】由題意，一條漸近線方程為，即，∴，，即，，．故選：A．【題目點撥】本題考查求雙曲線的離心率，掌握漸近線方程與點到直線距離公式是解題基礎．7、D【解題分析】

直接根據幾何概型公式計算得到答案.【題目詳解】根據幾何概型：，故.故選：.【題目點撥】本題考查了根據幾何概型求面積，意在考查學生的計算能力和應用能力.8、D【解題分析】

可求出集合，，然后進行并集的運算即可．【題目詳解】解：，；．故選．【題目點撥】考查描述法、區間的定義，對數函數的單調性，以及并集的運算．9、C【解題分析】

首先，根據二倍角公式和輔助角公式化簡函數解析式，根據所求函數的周期性，得到其周期為4，然后借助于三角函數的周期性確定其值即可．【題目詳解】解：．，，的周期為，，，，，．．故選：C【題目點撥】本題重點考查了三角函數的圖象與性質、三角恒等變換等知識，掌握輔助角公式化簡函數解析式是解題的關鍵，屬于中檔題．10、B【解題分析】

根據兩個函數相等，求出所有交點的橫坐標，然后求和即可.【題目詳解】令，有，所以或.又，所以或或或，所以函數的圖象與函數的圖象交點的橫坐標的和，故選B.【題目點撥】本題主要考查三角函數的圖象及給值求角，側重考查數學建模和數學運算的核心素養.11、C【解題分析】

利用證得數列為常數列，并由此求得的通項公式.【題目詳解】由，得，可得（）.相減得，則（），又由，，得，所以，所以為常數列，所以，故.故選：C【題目點撥】本小題考查數列的通項與前項和的關系等基礎知識；考查運算求解能力，邏輯推理能力，應用意識.12、D【解題分析】

結合純虛數的概念，可得，再結合充分條件和必要條件的定義即可判定選項.【題目詳解】若復數為純虛數，則，所以，若，不妨設，此時復數，不是純虛數，所以“復數為純虛數”是“”的充分不必要條件.故選：D【題目點撥】本題考查充分條件和必要條件，考查了純虛數的概念，理解充分必要條件的邏輯關系是解題的關鍵，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】試題分析：根據題意，記白球為A，紅球為B，黃球為，則一次取出2只球，基本事件為、、、、、共6種，其中2只球的顏色不同的是、、、、共5種；所以所求的概率是．考點：古典概型概率14、【解題分析】

先還原幾何體，再根據柱體體積公式求解【題目詳解】空間幾何體為一個棱柱，如圖，底面為邊長為的直角三角形，高為的棱柱，所以體積為【題目點撥】本題考查三視圖以及柱體體積公式，考查基本分析求解能力，屬基礎題15、【解題分析】

由點，關于直線對稱，得到直線的斜率，再根據直線過點，可求出直線方程，又，中點在直線上，代入直線的方程，化簡整理，即可求出結果.【題目詳解】因為為雙曲線：的左焦點，所以，又點，關于直線對稱，，所以可得直線的方程為，又，中點在直線上，所以，整理得，又，所以，故，解得，因為，所以.故答案為【題目點撥】本題主要考查雙曲線的簡單性質，先由兩點對稱，求出直線斜率，再由焦點坐標求出直線方程，根據中點在直線上，即可求出結果，屬于常考題型.16、【解題分析】

先畫出不等式組對應的可行域，再利用數形結合分析解答得解.【題目詳解】畫出不等式組表示的可行域如圖陰影區域所示.由題得y=-3x+z,它表示斜率為-3,縱截距為z的直線系，平移直線，易知當直線經過點時，直線的縱截距最小，目標函數取得最小值，且.故答案為：-8【題目點撥】本題主要考查線性規劃問題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和數形結合分析能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或【解題分析】

（1）根據為真命題列出不等式，進而求得實數的取值范圍；（2）應用復合命題真假判定的口訣：真“非”假，假“非”真，一真“或”為真，兩真“且”才真.【題目詳解】（1），且，解得所以當為真命題時，實數的取值范圍是.（2）由，可得，又∵當時，，.∵當為真命題，且為假命題時，∴與的真假性相同，當假假時，有，解得；當真真時，有，解得；故當為真命題且為假命題時，可得或.【題目點撥】本題主要考查結合不等式的含有量詞的命題的恒成立問題，存在性問題，考查復合命題的真假判斷，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.18、（1）；（2）投入3艘型游船使其當日獲得的總利潤最大【解題分析】

（1）首先計算出在，內抽取的人數，然后利用超幾何分布概率計算公式，計算出.（2）分別計算出投入艘游艇時，總利潤的期望值，由此確定當日游艇投放量.【題目詳解】（1）年齡在內的游客人數為150，年齡在內的游客人數為100；若采用分層抽樣的方法抽取10人，則年齡在內的人數為6人，年齡在內的人數為4人.可得.（2）①當投入1艘型游船時，因客流量總大于1，則（萬元）.②當投入2艘型游船時，若，則，此時；若，則，此時；此時的分布列如下表：2.56此時（萬元）.③當投入3艘型游船時，若，則，此時；若，則，此時；若，則，此時；此時的分布列如下表：25.59此時（萬元）.由于，則該游船中心在2020年勞動節當日應投入3艘型游船使其當日獲得的總利潤最大.【題目點撥】本小題主要考查分層抽樣，考查超幾何分布概率計算公式，考查隨機變量分布列和期望的求法，考查分析與思考問題的能力，考查分類討論的數學思想方法，屬于中檔題.19、（1）；（2）.【解題分析】

(1)利用導數的幾何意義求出切線的斜率，再求出切點坐標即可得在點處的切線方程；（2）令，然后利用導數并根據a的情況研究函數的單調性和最值.【題目詳解】（1），，∴，又，∴切線方程為，即.（2）令，，①若，則在上單調遞減，又，∴恒成立，∴在上單調遞減，又，∴恒成立.②若，令，∴，易知與在上單調遞減，∴在上單調遞減，，當即時，在上恒成立，∴在上單調遞減，即在上單調遞減，又，∴恒成立，∴在上單調遞減，又，∴恒成立，當即時，使，∴在遞增，此時，∴，∴在遞增，∴，不合題意.綜上，實數的取值范圍是.【題目點撥】本題主要考查導數的幾何意義及構造函數解決含參數的不等式恒成立時求參數的取值范圍問題，第二問的難點是構造函數后二次求導問題，對分類討論思想及化歸與等價轉化思想要求較高，難度較大，屬拔高題.20、（1）證明見解析（2）（3）【解題分析】

根據折疊圖形，，由線面垂直的判定定理可得平面，再根據平面，得到.（2）根據，以為坐標原點，為軸建立空間直角坐標系，根據，可知，，表示相應點的坐標，分別求得平面與平面的法向量，代入求解.設所求幾何體的體積為，設為高，則，表示梯形BEFD和ABD的面積由，再利用導數求最值.【題目詳解】（1）證明：不妨設與的交點為與的交點為由題知，，則有又，則有由折疊可知所以可證由平面平面，則有平面又因為平面，所以....（2）解：依題意，有平面平面，又平面，則有平面，，又由題意知，如圖所示：以為坐標原點，為軸建立如圖所示的空間直角坐標系由題意知由可知，則則有，，設平面與平面的法向量分別為則有則所以因為，解得設所求幾何體的體積為，設，則，當時，，當時，在是增函數，在上是減函數當時，有最大值，即六面體的體積的最大值是【題目點撥】本題主要考查線線垂直，線面垂直，面面垂直的轉化，二面角的向量求法和空間幾