2024屆河南省洛陽市偃師高級中學高三下學期命題預測及題型示例數學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．三棱錐的各個頂點都在求的表面上，且是等邊三角形，底面，，，若點在線段上，且，則過點的平面截球所得截面的最小面積為（）A． B． C． D．2．已知，，則（）A． B． C． D．3．某幾何體的三視圖如右圖所示,則該幾何體的外接球表面積為()A． B．C． D．4．在中，是的中點，，點在上且滿足，則等于（）A． B． C． D．5．設命題：，，則為A．， B．，C．， D．，6．已知是圓心為坐標原點，半徑為1的圓上的任意一點，將射線繞點逆時針旋轉到交圓于點，則的最大值為（）A．3 B．2 C． D．7．已知集合，，則等于（）A． B． C． D．8．設集合，，則()A． B．C． D．9．已知，，若，則實數的值是（）A．-1 B．7 C．1 D．1或710．如圖是來自古希臘數學家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個半圓構成，三個半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊，直角邊.已知以直角邊為直徑的半圓的面積之比為，記，則（）A． B． C． D．11．的展開式中的系數是（）A．160 B．240 C．280 D．32012．已知函數且，則實數的取值范圍是()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某校高三年級共有名學生參加了數學測驗（滿分分），已知這名學生的數學成績均不低于分，將這名學生的數學成績分組如下：，，，，，，得到的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法中正確的是________（填序號）．①；②這名學生中數學成績在分以下的人數為；③這名學生數學成績的中位數約為；④這名學生數學成績的平均數為．14．在平面直角坐標系中，點在單位圓上，設，且．若，則的值為________________.15．某大學、、、四個不同的專業人數占本校總人數的比例依次為、、、，現欲采用分層抽樣的方法從這四個專業的總人數中抽取人調查畢業后的就業情況，則專業應抽取_________人．16．在直角坐標系中，已知點和點，若點在的平分線上，且，則向量的坐標為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知分別是內角的對邊，滿足（1）求內角的大小（2）已知，設點是外一點，且，求平面四邊形面積的最大值.18．（12分）市民小張計劃貸款60萬元用于購買一套商品住房，銀行給小張提供了兩種貸款方式.①等額本金：每月的還款額呈遞減趨勢，且從第二個還款月開始，每月還款額與上月還款額的差均相同；②等額本息：每個月的還款額均相同.銀行規定，在貸款到賬日的次月當天開始首次還款（若2019年7月7日貸款到賬，則2019年8月7日首次還款）.已知小張該筆貸款年限為20年，月利率為0.004.（1）若小張采取等額本金的還款方式，現已得知第一個還款月應還4900元，最后一個還款月應還2510元，試計算小張該筆貸款的總利息；（2）若小張采取等額本息的還款方式，銀行規定，每月還款額不得超過家庭平均月收入的一半，已知小張家庭平均月收入為1萬元，判斷小張該筆貸款是否能夠獲批（不考慮其他因素）；（3）對比兩種還款方式，從經濟利益的角度來考慮，小張應選擇哪種還款方式.參考數據：.19．（12分）在最新公布的湖南新高考方案中，“”模式要求學生在語數外3門全國統考科目之外，在歷史和物理2門科目中必選且只選1門，再從化學、生物、地理、政治4門科目中任選2門，后三科的高考成績按新的規則轉換后計入高考總分.相應地，高校在招生時可對特定專業設置具體的選修科目要求.雙超中學高一年級有學生1200人，現從中隨機抽取40人進行選科情況調查，用數字1~6分別依次代表歷史、物理、化學、生物、地理、政治6科，得到如下的統計表：序號選科情況序號選科情況序號選科情況序號選科情況11341123621156312352235122342223532236323513145232453323541451413524235341355156152362525635156624516236261563623672561715627134371568235182362823538134923519145292463923510236202353015640245（1）雙超中學規定：每個選修班最多編排50人且盡量滿額編班，每位老師執教2個選修班（當且僅當一門科目的選課班級總數為奇數時，允許這門科目的1位老師只教1個班）.已知雙超中學高一年級現有化學、生物科目教師每科各8人，用樣本估計總體，則化學、生物兩科的教師人數是否需要調整？如果需要調整，各需增加或減少多少人？（2）請創建列聯表，運用獨立性檢驗的知識進行分析，探究是否有的把握判斷學生“選擇化學科目”與“選擇物理科目”有關.附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828（3）某高校在其熱門人文專業的招生簡章中明確要求，僅允許選修了歷史科目，且在政治和地理2門中至少選修了1門的考生報名.現從雙超中學高一新生中隨機抽取3人，設具備高校專業報名資格的人數為，用樣本的頻率估計概率，求的分布列與期望.20．（12分）在四棱錐中，是等邊三角形，點在棱上，平面平面．（1）求證：平面平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值的最大值；（3）設直線與平面相交于點，若，求的值．21．（12分）已知各項均不相等的等差數列的前項和為,且成等比數列.（1）求數列的通項公式;（2）求數列的前項和.22．（10分）已知，，，，證明：（1）；（2）.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

由題意畫出圖形，求出三棱錐S-ABC的外接球的半徑，再求出外接球球心到D的距離，利用勾股定理求得過點D的平面截球O所得截面圓的最小半徑，則答案可求.【題目詳解】如圖，設三角形ABC外接圓的圓心為G，則外接圓半徑AG=,設三棱錐S-ABC的外接球的球心為O，則外接球的半徑R=取SA中點E，由SA=4，AD=3SD，得DE=1,所以OD=.則過點D的平面截球O所得截面圓的最小半徑為所以過點D的平面截球O所得截面的最小面積為故選：A【題目點撥】本題考查三棱錐的外接球問題，還考查了求截面的最小面積，屬于較難題.2、D【解題分析】

分別解出集合然后求并集.【題目詳解】解：，故選：D【題目點撥】考查集合的并集運算，基礎題.3、A【解題分析】

由三視圖知：幾何體為三棱錐，且三棱錐的一條側棱垂直于底面，結合直觀圖判斷外接球球心的位置，求出半徑，代入求得表面積公式計算．【題目詳解】由三視圖知：幾何體為三棱錐，且三棱錐的一條側棱垂直于底面，高為2，底面為等腰直角三角形，斜邊長為，如圖：的外接圓的圓心為斜邊的中點，，且平面，，的中點為外接球的球心，半徑，外接球表面積．故選：A【題目點撥】本題考查了由三視圖求幾何體的外接球的表面積，根據三視圖判斷幾何體的結構特征，利用幾何體的結構特征與數據求得外接球的半徑是解答本題的關鍵．4、B【解題分析】

由M是BC的中點，知AM是BC邊上的中線，又由點P在AM上且滿足可得：P是三角形ABC的重心，根據重心的性質，即可求解．【題目詳解】解：∵M是BC的中點，知AM是BC邊上的中線，又由點P在AM上且滿足∴P是三角形ABC的重心∴又∵AM＝1∴∴故選B．【題目點撥】判斷P點是否是三角形的重心有如下幾種辦法：①定義：三條中線的交點．②性質：或取得最小值③坐標法：P點坐標是三個頂點坐標的平均數．5、D【解題分析】

直接利用全稱命題的否定是特稱命題寫出結果即可.【題目詳解】因為全稱命題的否定是特稱命題，所以，命題：，，則為：，.故本題答案為D.【題目點撥】本題考查命題的否定，特稱命題與全稱命題的否定關系，是基礎題.6、C【解題分析】

設射線OA與x軸正向所成的角為，由三角函數的定義得，，，利用輔助角公式計算即可.【題目詳解】設射線OA與x軸正向所成的角為，由已知，，，所以，當時，取得等號.故選：C.【題目點撥】本題考查正弦型函數的最值問題，涉及到三角函數的定義、輔助角公式等知識，是一道容易題.7、A【解題分析】

進行交集的運算即可．【題目詳解】，1，2，，，，1，．故選：．【題目點撥】本題主要考查了列舉法、描述法的定義，考查了交集的定義及運算，考查了計算能力，屬于基礎題．8、D【解題分析】

利用一元二次不等式的解法和集合的交運算求解即可.【題目詳解】由題意知,集合,,由集合的交運算可得,.故選:D【題目點撥】本題考查一元二次不等式的解法和集合的交運算;考查運算求解能力;屬于基礎題.9、C【解題分析】

根據平面向量數量積的坐標運算，化簡即可求得的值.【題目詳解】由平面向量數量積的坐標運算，代入化簡可得.∴解得.故選：C.【題目點撥】本題考查了平面向量數量積的坐標運算，屬于基礎題.10、D【解題分析】

由半圓面積之比，可求出兩個直角邊的長度之比，從而可知，結合同角三角函數的基本關系，即可求出，由二倍角公式即可求出.【題目詳解】解：由題意知，以為直徑的半圓面積，以為直徑的半圓面積，則，即.由，得，所以.故選:D.【題目點撥】本題考查了同角三角函數的基本關系，考查了二倍角公式.本題的關鍵是由面積比求出角的正切值.11、C【解題分析】

首先把看作為一個整體，進而利用二項展開式求得的系數，再求的展開式中的系數，二者相乘即可求解.【題目詳解】由二項展開式的通項公式可得的第項為，令，則，又的第為，令，則，所以的系數是.故選：C【題目點撥】本題考查二項展開式指定項的系數，掌握二項展開式的通項是解題的關鍵，屬于基礎題.12、B【解題分析】

構造函數，判斷出的單調性和奇偶性，由此求得不等式的解集.【題目詳解】構造函數，由解得，所以的定義域為，且，所以為奇函數，而，所以在定義域上為增函數，且.由得，即，所以.故選：B【題目點撥】本小題主要考查利用函數的單調性和奇偶性解不等式，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、②③【解題分析】

由頻率分布直方圖可知，解得，故①不正確；這名學生中數學成績在分以下的人數為，故②正確；設這名學生數學成績的中位數為，則，解得，故③正確；④這名學生數學成績的平均數為，故④不正確．綜上，說法正確的序號是②③．14、【解題分析】

根據三角函數定義表示出，由同角三角函數關系式結合求得，而，展開后即可由余弦差角公式求得的值.【題目詳解】點在單位圓上，設，由三角函數定義可知，因為，則，所以由同角三角函數關系式可得，所以故答案為：.【題目點撥】本題考查了三角函數定義，同角三角函數關系式的應用，余弦差角公式的應用，屬于中檔題.15、【解題分析】

求出專業人數在、、、四個專業總人數的比例后可得．【題目詳解】由題意、、、四個不同的專業人數的比例為，故專業應抽取的人數為．故答案為：1．【題目點撥】本題考查分層抽樣，根據分層抽樣的定義，在各層抽取樣本數量是按比例抽取的．16、【解題分析】

點在的平分線可知與向量共線，利用線性運算求解即可.【題目詳解】因為點在的平線上，所以存在使，而，可解得，所以，故答案為：【題目點撥】本題主要考查了向量的線性運算，利用向量的坐標求向量的模，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】

（1）首先利用誘導公式及兩角和的余弦公式得到，再由同角三角三角的基本關系得到，即可求出角；（2）由（1）知，是正三角形，設，由余弦定理可得：，則，得到，再利用輔助角公式化簡，最后由正弦函數的性質求得最大值；【題目詳解】解：（1）由，，，，，，，；（2）由（1）知，是正三角形，設，由余弦定理得：，，，所以當時有最大值【題目點撥】本題考查同角三角函數的基本關系，三角恒等變換公式的應用，三角形面積公式的應用，以及正弦函數的性質，屬于中檔題.18、（1）289200元；（2）能夠獲批；（3）應選擇等額本金還款方式【解題分析】

（1）由題意可知，等額本金還款方式中，每月的還款額構成一個等差數列，即可由等差數列的前n項和公式求得其還款總額，減去本金即為還款的利息；（2）根據題意，采取等額本息的還款方式，每月還款額為一等比數列，設小張每月還款額為元，由等比數列求和公式及參考數據，即可求得其還款額，與收入的一半比較即可判斷；（3）計算出等額本息還款方式時所付出的總利息，兩個利息比較即可判斷.【題目詳解】（1）由題意可知，等額本金還款方式中，每月的還款額構成一個等差數列，記為，表示數列的前項和，則，，則，故小張該筆貸款的總利息為元.（2）設小張每月還款額為元，采取等額本息的還款方式，每月還款額為一等比數列，則，所以，即，因為，所以小張該筆貸款能夠獲批.（3）小張采取等額本息貸款方式的總利息為：，因為，所以從經濟利益的角度來考慮，小張應選擇等額本金還款方式.【題目點撥】本題考查了等差數列與等比數列求和公式的綜合應用，數列在實際問題中的應用，理解題意是解決問題的關鍵，屬于中檔題.19、（1）不需調整（2）列聯表見解析；有的把握判斷學生“選擇化學科目”與“選擇物理科目”有關（3）詳見解析【解題分析】

（1）可估計高一年級選修相應科目的人數分別為120，2，推理得對應開設選修班的數目分別為15，1．推理知生物科目需要減少4名教師，化學科目不需要調整．（2）根據列聯表計算觀測值，根據臨界值表可得結論．（3）經統計，樣本中選修了歷史科目且在政治和地理2門中至少選修了一門的人數為12，頻率為．用頻率估計概率，則，根據二項分布概率公式可得分布列和數學期望．【題目詳解】（1）經統計可知，樣本40人中，選修化學、生物的人數分別為24，11，則可估計高一年級選修相應科目的人數分別為120，2．根據每個選修班最多編排50人，且盡量滿額編班，得對應開設選修班的數目分別為15，1．現有化學、生物科目教師每科各8人，根據每位教師執教2個選修班，當且僅當一門科目的選課班級總數為奇數時，允許這門科目的一位教師執教一個班的條件，知生物科目需要減少4名教師，化學科目不需要調整．（2）根據表格中的數據進行統計后，制作列聯表如下：選物理不選物理合計選化學19524不選化學61016合計251540則，有的把握判斷學生”選擇化學科目”與“選擇物理科目”有關．（3）經統計，樣本中選修了歷史科目且在政治和地理2門中至少選修了一門的人數為12，頻率為．用頻率估計概率，則，分布列如下：01230.3430.4410.1890.021數學期望為．【題目點撥】本題主要考查了離散型隨機變量的期望與方差，考查獨立性檢驗，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力．20、（1）證明見解析（2）（3）【解題分析】

（1）取中點為,連接,由等邊三角形性質可得,再由面面垂直的性質可