2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項

1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

2乃

1.拋物線『=2/儲＞0）的焦點為/，準(zhǔn)線為/,A,B是拋物線上的兩個動點，且滿足=設(shè)線段AB

\MN\

的中點M在/上的投影為N,則匚—的最大值是（）

73D.百

4

2.陀螺是中國民間最早的娛樂工具，也稱陀羅.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某個陀螺的三視

圖，則該陀螺的表面積為（）

A.(7+2夜卜B.(10+2回兀

C.(10+4夜)兀D.(11+4旬兀

3.已知函數(shù)/（x）=gsinx+*cosx,將函數(shù)/（幻的圖象向左平移加，”＞。）個單位長度后，所得到的圖象關(guān)于）‘軸

對稱，則加的最小值是（）

兀兀九■?

A.-B.—C.-D.一

6432

4.已知等差數(shù)列｛%｝的前13項和為52,則（-2）%+,=（）

A.256B.-256C.32D.-32

22

5.已知《、工分別為雙曲線C：^--2_=1＜?＞0,。＞0）的左、右焦點，過冗的直線/交C于A、B兩點,0

為坐標(biāo)原點，若。4_L8耳，|A8|=|BF21,則C的離心率為(

D.百

6.復(fù)數(shù)萬(1+i)的模為().

A.；B.1C.2D.2A/2

二項式0J展開式中，；項的系數(shù)為()

945189212835

------B.--------C?D.

1632648

8.對于任意xeR,函數(shù)f(x)滿足f(2-x)=—/(x),且當(dāng)x..l時，函數(shù)/(x)=.若

a=/(g),O=/(—g)，c=/(一；),則a,4c大小關(guān)系是()

A.b<c<aB.h<a<cC.c<a<bD.c<b<a

9.在平行四邊形ABC。中，A6=3,AQ=2,衣=g萬反愈=若CF.C0=12,則NA0C=()

10.以下關(guān)于/。)=5皿2%-《?2了的命題，正確的是

A.函數(shù)/(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增

B.直線需是函數(shù)y=/(x)圖象的一條對稱軸

O

C.點是函數(shù)y=/(x)圖象的一個對稱中心

D.將函數(shù)y=/(x)圖象向左平移需9個單位，可得到y(tǒng)=0sin2x的圖象

O

11.天干地支，簡稱為干支，源自中國遠(yuǎn)古時代對天象的觀測.“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”稱為十天

干，“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”稱為十二地支.干支紀(jì)年法是天干和地支依次按固定的順序

相互配合組成，以此往復(fù)，60年為一個輪回.現(xiàn)從農(nóng)歷2000年至2019年共20個年份中任取2個年份，則這2個年份

的天干或地支相同的概率為()

29485

A.—D.

19959519

2

12.已知雙曲線上：二y=1(?>0,/?>0)滿足以下條件：①雙曲線E的右焦點與拋物線y2=4x的焦點F重合;

a~

②雙曲線E與過點尸(4,2)的幕函數(shù)/(尤)=x"的圖象交于點Q,且該事函數(shù)在點Q處的切線過點F關(guān)于原點的對稱

點.則雙曲線的離心率是()

A6+1R非+1「3￡[

A.---------B.---------C.—D?、/5+1

222

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

x>y

13.設(shè)X)'滿足約束條件3x+yN0,則目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最小值為一.

3x-y<6

14.二項式(4一(]的展開式中所有項的二項式系數(shù)之和是64,則展開式中的常數(shù)項為.

15.如圖，橢圓「:/十瓦l(a>b>0)的離心率為e,尸是「的右焦點，點P是「上第一角限內(nèi)任意一點,

uuuuuu*UUUULU

OQ=AOP（A>Q）,FQOP=0,若/l<e,貝!P的取值范圍是

16.在人鉆。中，角A,8,C所對的邊分別為a1,c,ZABC=12O°,NABC的平分線交AC于點Z),且3。=1,

貝!]4a+c的最小值為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

x=3-3/

17.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線/的參數(shù)方程為《，，Q為參數(shù))，以原點。為極點，x軸正半軸

y=4t-4

為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為夕=10cos。.

(I)設(shè)直線/與曲線。交于M,N兩點,求|MV|；

(H)若點P(x,y)為曲線C上任意一點，求卜+島一1。|的取值范圍.

2

18.(12分)在極坐標(biāo)系Qx中，曲線C的極坐標(biāo)方程為刁/----=0+psin8,直線/的極坐標(biāo)方程為

\J2-psinO

△(cos。—sin6)=l,設(shè)/與C交于A、8兩點，A3中點為M，AB的垂直平分線交C于E、尸.以。為坐標(biāo)原點,

極軸為x軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系xOy.

(1)求C的直角坐標(biāo)方程與點M的直角坐標(biāo)；

(2)求證：4HMe|=眼耳眼耳.

19.(12分)已知函數(shù)了=/(工)與^="的圖象關(guān)于直線丁=》對稱.(e為自然對數(shù)的底數(shù))

(1)若y=/(x)的圖象在點4(%,/(不))處的切線經(jīng)過點求.%的值；

(2)若不等式/(%),,go?—(］—a)x—1恒成立，求正整數(shù)。的最小值.

20.(12分)某校為了解校園安全教育系列活動的成效，對全校學(xué)生進行一次安全意識測試，根據(jù)測試成績評定“合格”、

“不合格”兩個等級，同時對相應(yīng)等級進行量化：“合格”記5分，“不合格”記0分.現(xiàn)隨機抽取部分學(xué)生的成績，統(tǒng)計結(jié)

果及對應(yīng)的頻率分布直方圖如下所示：

等級不合格合格

得分[20,40)[40,60)[60,80)[80,100)

頻數(shù)6X24y

(I)若測試的同學(xué)中，分?jǐn)?shù)段［20,40)、［40,60)、［60,80)、［80,100］內(nèi)女生的人數(shù)分別為2人、8人、16人、4人，

完成2x2列聯(lián)表，并判斷：是否有90%以上的把握認(rèn)為性別與安全意識有關(guān)？

是否合格

不合格合格總計

性別

男生

女生

總計

(n)用分層抽樣的方法，從評定等級為“合格”和“不合格”的學(xué)生中，共選取io人進行座談，現(xiàn)再從這io人中任選4

人，記所選4人的量化總分為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)；

(HI)某評估機構(gòu)以指標(biāo)M(加=4器，其中。(乂)表示X的方差)來評估該校安全教育活動的成效，若M20.7,

則認(rèn)定教育活動是有效的；否則認(rèn)定教育活動無效，應(yīng)調(diào)整安全教育方案.在(II)的條件下，判斷該校是否應(yīng)調(diào)整安

全教育方案？

n(ad-bc)2

附表及公式：K2,其中〃=。+人+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K>k0)0.150.100.050.0250.010

k。2.0722.7063.8415.0246.635

21.(12分)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,的對邊分別為a,4c,已知2bcos6=acosC+ccosA.

(1)求3；

(2)若AABC為銳角三角形，求￡的取值范圍.

a

22.(10分)已知。〉0,b>09且。+力=1.

(1)求，+3的最小值；

ab

ab+2hy/5

(2)證明:a2+h2+1<2

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.B

【解析】

試題分析：設(shè)A8在直線/上的投影分別是A，%則體目=|/闊，忸耳=忸閡，又/是AB中點，所以

,,1,,,,1|A4j+忸聞\AF\+\BF\

|“V|=5(|M|+|明|3則曷在由中

\ABf=\AFf+|BF|2-2|AF||BF|cosy-=|AF|2+|BF|2+|AF||BF|=(|AF|+|BF|)2-|AF||BF|>(|AF|+|BF|)2

\AF\+\BF\,中3陰,+,,|四12)=所(|以AE|+■忸F|產(chǎn))2V4，即\AF\+所\BF\2以73舄\MN\稱#，故選鳳

考點：拋物線的性質(zhì).

【名師點晴】

在直線與拋物線的位置關(guān)系問題中，涉及到拋物線上的點到焦點的距離，焦點弦長，拋物線上的點到準(zhǔn)線(或與準(zhǔn)線

平行的直線)的距離時，常常考慮用拋物線的定義進行問題的轉(zhuǎn)化.象本題弦AB的中點M到準(zhǔn)線的距離首先等于

A8兩點到準(zhǔn)線距離之和的一半，然后轉(zhuǎn)化為A5兩點到焦點戶的距離，從而與弦長|A同之間可通過余弦定理建立

關(guān)系.

2.C

【解析】

畫出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的表面積即可，

【詳解】

由題意可知幾何體的直觀圖如圖：

上部是底面半徑為1,高為3的圓柱，下部是底面半徑為2,高為2的圓錐，

幾何體的表面積為：4萬+,x4萬X20+2萬x3=(10+4A歷)乃,

2

故選：C

【點睛】

本題考查三視圖求解幾何體的表面積，判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵.

3.A

【解析】

化簡/(x)=gsinx+乎cosx為/(x)=sin(x+g],求出它的圖象向左平移機(〃?>0)個單位長度后的圖象的函數(shù)表

達(dá)式y(tǒng)=sin[x+機+向，利用所得到的圖象關(guān)于＞軸對稱列方程即可求得加=看+版■仕ez),問題得解。

【詳解】

函數(shù)/(x)=；siar+^^cosx可化為：/(x)=sin(x+§],

將函數(shù)/(x)的圖象向左平移皿相＞0)個單位長度后，

得到函數(shù)，=5也(》+加+?)的圖象，又所得到的圖象關(guān)于)，軸對稱，

IJT\JT-rr-TT

所以sinO+mH—=±1,解得：m-\——=——I■火乃(&wz),即：m=——I"&1(&ez),

V3J326

7t

又加＞0,所以mmin="T.

6

故選：A.

【點睛】

本題主要考查了兩角和的正弦公式及三角函數(shù)圖象的平移、性質(zhì)等知識，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題。

4.A

【解析】

利用等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)可以求得結(jié)果.

【詳解】

由S”=13%=52,%=4,得(—2)%+%=(—2)8=256.選A.

【點睛】

本題主要考查等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列的等和性應(yīng)用能快速求得結(jié)果.

5.D

【解析】

作出圖象，取A8中點E,連接EB,設(shè)BA=x,根據(jù)雙曲線定義可得x=2a,再由勾股定理可得到c2=7d,進而得

到e的值

【詳解】

解：取A8中點E,連接EB,則由已知可得8斤i,Eg,FiA=AE=EB,

設(shè)FiA=x,則由雙曲線定義可得AF2=2a+x,BFI-BF2=3x-2a-x=2a,

所以x=2a,則EF2=2V^a,

由勾股定理可得(4a)2+(273?)2=(2c)2

所以c2=7a2,

則e=—=4~j

a

故選：D.

【點睛】

本題考查雙曲線定義的應(yīng)用，考查離心率的求法，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.對于圓錐曲線中求離心率的問題，關(guān)

鍵是列出含有4c中兩個量的方程，有時還要結(jié)合橢圓、雙曲線的定義對方程進行整理，從而求出離心率.

6.D

【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由復(fù)數(shù)模的計算公式求解.

【詳解】

解：+i)=-2+2i,

.-?復(fù)數(shù)2/(1+/)的模為正2)2+22=20.

故選：D.

【點睛】

本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)模的求法，屬于基礎(chǔ)題.

7.D

【解析】

寫出二項式的通項公式,再分析x的系數(shù)求解即可.

【詳解】

二項式展開式的通項為(+1=3

數(shù)為(-3>=等

故選：D

【點睛】

本題主要考查了二項式定理的運算，屬于基礎(chǔ)題.

8.A

【解析】

由已知可得口?)的單調(diào)性，再由/(2-x)=-/(x)可得/(x)對稱性，可求出f(x)在(-8,1)單調(diào)性，即可求出結(jié)論.

【詳解】

對于任意xeR,函數(shù)/(x)滿足/(2-x)=-/(x),

因為函數(shù)關(guān)于點(1,0)對稱，

當(dāng)時，/(x)=GT是單調(diào)增函數(shù)，

所以/(幻在定義域R上是單調(diào)增函數(shù).

因為-卜沁,所以O(shè)dTWJ

b<c<a.

故選:A.

【點睛】

本題考查利用函數(shù)性質(zhì)比較函數(shù)值的大小，解題的關(guān)鍵要掌握函數(shù)對稱性的代數(shù)形式，屬于中檔題..

9.C

【解析】

Iy/

由CP=CB+BP=-ADCQ=CO+。。=一A8—/AO,利用平面向量的數(shù)量積運算,先求得NBAD=耳,

利用平行四邊形的性質(zhì)可得結(jié)果.

【詳解】

0

如圖所示,

B

平行四邊形ABC。中，AB=3,AD=2,

AP=-AB,AQ^-Ab,

32

_________9___

：.CP^CB+BP=-AD——AB,

3

CQ=CD+DQ=-AB-^AD,

因為麗?西=12,

所以而.詼=(_而_］福)(_礪詬］

2--21----24—-----

=-AB+-AD+-ABAO

323

214

=—x32+—x22+—x3x2xcosZBAD=12,

323

171

cos/BAD=-,/BAD--,

23

所以乙M)C=7T—2=二，故選C.

33

【點睛】

本題主要考查向量的幾何運算以及平面向量數(shù)量積的運算法則，屬于中檔題.向量的運算有兩種方法：(1)平行四邊

形法則(平行四邊形的對角線分別是兩向量的和與差)；(2)三角形法則(兩箭頭間向量是差，箭頭與箭尾間向量是

和).

10.D

【解析】

利用輔助角公式化簡函數(shù)得到/(x)=J5sin(2x-工)，再逐項判斷正誤得到答案.

4

【詳解】

/(x)=sinlx-cos2x-yflsin(2x--)

4

/O\1Q

A選項，XG0,—=>2x--G(^,-^-)函數(shù)先增后減，錯誤

(3J4412

B選項，x=gJT=2x-f-TT=0不是函數(shù)對稱軸，錯誤

84

C選項，x=f7Tn2x-￡7T=￡7T,不是對稱中心，錯誤

444

D選項，圖象向左平移需三個單位得到y(tǒng)=V^sin(2(x+M)-2)=亞sin2x,正確

884

故答案選D

【點睛】

本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性，對稱軸，對稱中心，平移，意在考查學(xué)生對于三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，其中化簡三

角函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

11.B

【解析】

利用古典概型概率計算方法分析出符合題意的基本事件個數(shù)，結(jié)合組合數(shù)的計算即可出求得概率.

【詳解】

20個年份中天干相同的有10組(每組2個)，地支相同的年份有8組(每組2個)，從這20個年份中任取2個年份，

10+89

則這2個年份的天干或地支相同的概率Pn=三7—=—.

故選:B.

【點睛】

本小題主要考查古典概型的計算，考查組合數(shù)的計算，考查學(xué)生分析問題的能力，難度較易.

12.B

【解析】

由已知可求出焦點坐標(biāo)為(1,0),(-1,0)，可求得幕函數(shù)為/(x)=&，設(shè)出切點通過導(dǎo)數(shù)求出切線方程的斜率，利用斜率

相等列出方程，即可求出切點坐標(biāo)，然后求解雙曲線的離心率.

【詳解】

依題意可得，拋物線V=4x的焦點為尸(1,0),尸關(guān)于原點的對稱點(一1,0)；2=4“，a=；，所以/(尤)=1=?，

/(乃=左，設(shè)。(須,衣)，則=g■，解得Z=1，,Q(1，D，可得，一\=1，又c=l,c2=a2+b2,

e=￡=」一=好擔(dān)

可解得a=XI二，故雙曲線的離心率是e一%一出_1―2.

2

故選B.

【點睛】

本題考查雙曲線的性質(zhì),已知拋物線方程求焦點坐標(biāo)，求幕函數(shù)解析式，直線的斜率公式及導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查了學(xué)生分

析問題和解決問題的能力，難度一般.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.-1

【解析】

x>y

根據(jù)X，）'滿足約束條件<3x+yZO,畫出可行域，將目標(biāo)函數(shù)z=2x+y,轉(zhuǎn)化為y=-2x+z,平移直線y=-2x,

3x-y<6

找到直線y=-2x+z在），軸上截距最小時的點，此時，目標(biāo)函數(shù)Z=2x+），取得最小值.

【詳解】

由x，N滿足約束條件3x+y>0,畫出可行域如圖所示陰影部分：

3x—y<6

將目標(biāo)函數(shù)z=2x+y,轉(zhuǎn)化為y=-2x+z,

平移直線y=—2X,找到直線y=-2x+Z在y軸上截距最小時的點4（1,-3）

此時，目標(biāo)函數(shù)z=2x+y取得最小值，最小值為—1

故答案為：-1

【點睛】

本題主要考查線性規(guī)劃求最值，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于基礎(chǔ)題.

【解析】

由二項式系數(shù)性質(zhì)求出N,由二項展開式通項公式得出常數(shù)項的項數(shù)，從而得常數(shù)項.

【詳解】

由題意2〃=64，〃=6.

I—3--r

1r1r23

展開式通項為Tr+l=cQ'尸(--)=(--)C^x,由3—彳=0得r=2,

2x22

?,.常數(shù)項為4=(一()2戲=?.

故答案為：.

4

【點睛】

本題考查二項式定理，考查二項式系數(shù)的性質(zhì)，掌握二項展開式通項公式是解題關(guān)鍵.

【解析】

由于點P在橢圓上運動時，0P與X軸的正方向的夾角在變，所以先設(shè)NFOQ=e,又由而?麗=(),可知

ccos20ccosOsin。

Q（ccos?e,ccos6sin，），從而可得P,而點P在橢圓上，所以將點P的坐標(biāo)代入橢圓方程

中化簡可得結(jié)果.

【詳解】

設(shè)|Ob|=c,P（x,y）,Z.FOQ=6,則Q（ccos?，,ccosOsin（9）,

由循=九法(4>0),得，學(xué),￡￡2"代入橢圓方程,

I4X；

得乎+勺吐=%化簡得,>.(°。<"9()。)恒成立'

b21

由此得：2上，即故ee

a12

故答案為:

【點睛】

此題考查的是利用橢圓中相關(guān)兩個點的關(guān)系求離心率，綜合性強，屬于難題.

16.9

【解析】

分析：先根據(jù)三角形面積公式得條件、再利用基本不等式求最值.

詳解：由題意可知，由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得

—acsin120°=—tzx1xsin60°4--cx1xsin60°,化簡得。°=。+。,l+工=1,因此

222ac

-、/11、「c八c4a八

4Aa+c=(4a+c)(—i—)=5H---1---25+2.1-----9,

acac\ac

當(dāng)且僅當(dāng)c=2a=3時取等號，則4a+c的最小值為9.

點睛：在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母

為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(I)6(II)|x+V3y-10|e[0,15]

【解析】

(I)化簡得到直線/的普通方程化為4x+3y=0,,C是以點(5,0)為圓心，5為半徑的圓，利用垂徑定理計算得到

答案.

(II)設(shè)P(5+5cose,5sin6),貝||卜+6y-1()|=10sin(6+M)—5,得到范圍.

116

【詳解】

(I)由題意可知，直線/的普通方程化為4x+3y=0,

曲線C的極坐標(biāo)方程Q=10cos6變形為=10。cos。，

所以C的普通方程分別為產(chǎn)+)，2-10》=0,C是以點(5,0)為圓心，5為半徑的圓，

|4x5+3x0|_

4所以|MN|=2,52_42=6.

設(shè)點(5,0)到直線/的距離為d,則"行+4夕—‘

、、fx=5+5cos。八八

(II)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—5)2+y2=25,所以參數(shù)方程為《u.八(。為參數(shù))，設(shè)尸(5+5cose,5sin。),

y=5sin夕

卜+傷一10]=|5+5cos6+5氐in6—10]=10sin(6+令一5,

7T7T

因為-10<10sin(9+-)<10,所以一15<10sin(e+」)一5<5,

66

所以卜+島-10k[0,15].

【點睛】

本題考查了參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.

2

18.(1)C:—+y2=l,M;(2)見解析.

2'3，-3

【解析】

(1)將曲線C的極坐標(biāo)方程變形為Q2+(°sine)2=2,再由，可將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)

，[°sin8=y

方程，將直線/的方程與曲線C的方程聯(lián)立，求出點A、3的坐標(biāo)，即可得出線段A3的中點”的坐標(biāo);

(2)求得|陽4|=|“耳=半，寫出直線旅的參數(shù)方程，將直線EF的參數(shù)方程與曲線C的普通方程聯(lián)立，利用韋

達(dá)定理求得|加￡卜|"耳的值，進而可得出結(jié)論.

【詳解】

(1)曲線C的極坐標(biāo)方程可化為02=2—(°sine)2,即0?+(°sine)2=2,

"222

將+"V代入曲線C的方程得Y+2y2=2,

psin。=y

所以，曲線。的直角坐標(biāo)方程為C：￡+V=i.

2

將直線I的極坐標(biāo)方程化為普通方程得X-y=1,

12

(2)由⑴得慳川=|用河=乎，.??阿山.|〃目=2,

32

易知AB的垂直平分線EF的參數(shù)方程為「J為參數(shù))，

代入C的普通方程得m產(chǎn)—半f_g=0,，I知曰=仔=|,

因此，=

【點睛】

本題考查曲線的極坐標(biāo)方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)化，同時也考查了直線參數(shù)幾何意義的應(yīng)用，涉及韋達(dá)定理的應(yīng)用，

考查計算能力，屬于中等題.

19.(1)et(2)2.

【解析】

(1)根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)，得出f(x)=lnx,再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出曲線y=lnx在點A處的切線為

＞一方=一。一%),構(gòu)造函數(shù)〃(x)=xlnx,利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)性，即可得出與的值；

九0

(2)設(shè)g(x)=lnx-'a?+(i-a)x+l,求導(dǎo),,、+D,求出gW的單調(diào)性，從而得出最大值

2g(%)=---------------

為gd=，--lna,結(jié)合恒成立的性質(zhì)，得出正整數(shù)。的最小值.

\a)2a

【詳解】

(1)根據(jù)題意，、=/。)與〉="的圖象關(guān)于直線卜=》對稱，

所以函數(shù)/(x)的圖象與y=e'互為反函數(shù)，則/(x)=Inx,,

設(shè)點A(Xo，%),%=lnxo，又y=g,

,1

當(dāng)x=x()時，＞=一，

xo

1\

曲線y=InX在點A處的切線為y-%=一。z一%),

“0

即y—lnx0=--1,代入點(一鄉(xiāng)-1),

%

~~e

得一1一In%=----1,即/In/=e,

%

構(gòu)造函數(shù)H(x)=xlnX,

當(dāng)(0,1)時，/7(%)＜0,

當(dāng)X￡(1,+8)時，//(X)>0,

且H'(x)=lnx+1,當(dāng)x>l時，〃'(x)>O,”(x)單調(diào)遞增,

而"(e)=e,故Xoln/=e存在唯一的實數(shù)根.%=e.

(2)由于不等式/(x),,；0?一(］一。?_］恒成立,

可設(shè)g(x)=Inx-gox?+(l-a)x+l,

所以g，W=3+(l-a)x+l

x

令g'(x)=O,得x=L.

a

所以當(dāng)xe*

時，g'(x)>0；當(dāng)無時，g'(x)<0,

因此函數(shù)g(x)在是增函數(shù)，在xw(L,+oo)是減函數(shù).

ka)\a；

故函數(shù)g(無)的最大值為g［一］=In——axf—+(l-a)x—+1=——Ina.

\a)a23J'a2a

令〃(a)=----Ina,

2a

因為〃(l)=L>0,〃(2)=L-ln2<0,

24

又因為在ae(0,+8)是減函數(shù).

所以當(dāng)a.2時,h(d)<0.

所以正整數(shù)。的最小值為2.

【點睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題，涉及到單調(diào)性、構(gòu)造函數(shù)法等，考查函數(shù)思想和計算能力.

20.(I)詳見解析；(II)詳見解析；(皿)不需要調(diào)整安全教育方案.

【解析】

(D根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)填寫好2x2列聯(lián)表，計算出K?的值，由此判斷出在犯錯誤概率不超過90%的前提下，不能

認(rèn)為性別與安全測試是否合格有關(guān).(II)利用超幾何分布的計算公式，計算出X的分布列并求得數(shù)學(xué)期望.(HD由

(ID中數(shù)據(jù)，計算出O(X),進而求得”的值，從而得出該校的安全教育活動是有效的，不需要調(diào)整安全教育方案.

【詳解】

解：（I）由頻率分布直方圖可知，得分在［20,40）的頻率為0.005x20=0.1,故抽取的學(xué)生答卷總數(shù)為焉=60,

y=60x0.2=12,尤=18.

性別與合格情況的2x2列聯(lián)表為:

是否合格

不合格合格小計

性別

男生141630

女生102030

小計243660

,2_60x（14x20-10x16）10

?.——<乙./UO

30x30x24x369

即在犯錯誤概率不超過90%的前提下，不能認(rèn)為性別與安全測試是否合格有關(guān).

（II）“不合格”和“合格”的人數(shù)比例為24:36=2:3,因此抽取的1（）人中“不合格”有4人，“合格”有6人，所以X可

能的取值為20、15、10S、0,

P（X=20）=