永州市重點中學2023年下期高二第三次月考數學一?選擇題（共8小題）1.已知等比數列中，，則公比（）A.2B.-2C.D.2.若直線的斜率大于1，則的傾斜角的取值范圍為（）A.B.C.D.3.若拋物線的準線經過橢圓的右焦點，則的值為（）A.-2B.-1C.1D.2

4.已知半徑為3的圓的圓心與點關于直線對稱，則圓的標準方程為（）A.B.C.D.5.南宋數學家楊輝為我國古代數學研究做出了杰出貢獻，他的著名研究成果“楊輝三角”記錄于其重要著作《詳解九章算法》，該著作中的“垛積術”問題介紹了高階等差數列，以高階等差數列中的二階等差數列為例，其特點是從數列的第二項開始，每一項與前一項的差構成等差數列.若某個二階等差數列的前4個為，則該數列的第13項為（）A.156B.157C.158D.159

6.在正方體中，點為棱上的動點，則與平面所成角的取值范圍為（）A.B.C.D.7.已知分別為雙曲線的左?右焦點，過與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線于點，若，則雙曲線的離心率為（）A.3B.C.D.2

8.已知數列滿足，若對于任意正整數，都有，則的取值范圍為（）A.B.C.D.二?多選題（共4小題）9.記為等差數列的前項和.已知，則下列結論正確的是（）A.B.C.D.10.已知拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于兩點，則下列結論正確的是（）A.拋物線的焦點坐標是B.焦點到準線的距離是4C.若點的坐標為，則的最小值為5D.若為線段中點，則的坐標可以是11.已知首項為1的數列的前項和為，且，則下列結論正確的是（）A.數列為等比數列B.數列不是等比數列C.D.中任意三項不能構成等差數列12.如圖，在棱長為1的正方體中，點滿足，其中，則（）A.當時，B.當，時，點到平面的距離為C.當時，平面D.當時，三棱錐的體積恒為三?填空題（共4小題）13.函數在區間上的平均變化率等于__________.14.已知等差數列的前項和為，若，則取得最大值時的值為__________.15.已知點是直線和的交點，點是圓上的動點，則的最大值是__________.16.在三棱錐中，平面平面，底面是邊長為3的正三角形，若該三棱錐外接球的表面積為，則該三棱錐體積的最大值為__________.四?解答題（共6小題）17.已知圓與直線相交于兩點.（1）求弦的長；（2）若圓經過兩點，且圓與圓的公共弦所在直線平行于直線，求圓的方程.18.已知數列為等差數列，，數列的前項和為，且滿足.（1）求和的通項公式：（2）若，求數列的前項和為.19.四棱錐中，平面為的中點，且.（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值.20.已知圓，點是圓上一動點，線段的垂直平分線與交于點.（1）求點的軌跡方程；（2）過的左焦點且斜率為的直線與交于兩點，為坐標原點，當的面積為時，求的值.21.已知數列滿足且的前100項和3775.（1）求的首項；（2）記，數列的前項和為，求證：.22.已知雙曲線的右焦點為，漸近線與拋物線交于點.（1）求的方程；（2）設是與在第一象限的公共點，作直線與的兩支分別交于點，使得.（i）求證：直線過定點；（ii）過作于.是否存在定點，使得為定值？如果有，請求出點的坐標；如果沒有，請說明理由.2023年下期高二第三次月考數學試題答案一?單選題1-8BBADBCCC二?多選題9.ABC10.BD11.ABD12.ACD.三?填空題13.614.815.16.四?解答題17.解：（1）圓的圓心，半徑為1，圓心到直線的距離，所以.（2）設圓的方程為，圓兩方程相減，可得公共弦所在的直線方程為：，圓與圓的公共弦平行于直線，，即.又因為圓經過，所以所以圓的方程為.18.解：（1）設的公差為，由題意可得，解得，所以.時，時，，是以1為首項，3為公比的等比數列，.（2），，，兩式相減得，，，.19.（1）證明：因為平面平面，所以，因為平面，所以平面，又平面，所以，因為，所以，因為，所以，即，又平面，所以平面.（2）解：由（1）得，因為為的中點，且，所以，以為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，過點作的平行線為軸，建立空間直角坐標系，則，所以，設平面的法向量為，由得，，令，則，所以，由（1）知，平面的一個法向量為，所以.所以二面角的正弦值為.20.解：（1）因為是圓上一動點，線段的垂直平分線與交于點，可得，所以，則點的軌跡是以為焦點，長半軸，半焦距為的橢圓，此時，故軌跡的方程為；（2）不妨設直線方程為，聯立，消去并整理得，此時，由韋達定理得，因為的面積為，所以，整理得，解得，所以直線的斜率.21.解：（1）當為奇數時，，當為偶數時，，所以，又，所以，解得，；（2）證明：由（1）得，，當時，，.綜上，知.22解：（1）因為，雙曲線的漸近線過，聯立，解得，所以雙曲線；因為拋物線過，所以，所以拋物線；（2）（i）因為在不同支，所以直線的斜率存在，設直線方程為，聯立，消去，整理得，所以，設，聯