高三上期數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、已知集合，，則()A. B. C.R D.2、設(shè)z是復(fù)數(shù)且，則的最小值為()A.1 B. C. D.3、設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且，則()A. B.C. D.4、函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為()A. B. C. D.5、設(shè)，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C上且，則的面積為()A. B.3 C. D.26、如圖，為了測(cè)量某濕地A，B兩點(diǎn)間的距離，觀察者找到在同一條直線上的三點(diǎn)C，D，E.從D點(diǎn)測(cè)得，從C點(diǎn)測(cè)得，，從E點(diǎn)測(cè)得.若測(cè)得，（單位：百米），則A，B兩點(diǎn)間的距離為()A. B. C.3 D.7、近年來(lái)，“共享單車”的出現(xiàn)為市民“綠色出行”提供了極大方便某共享單車公司計(jì)劃在甲、乙兩座城市共投資120萬(wàn)元，根據(jù)行業(yè)規(guī)定，每座城市至少要投資40萬(wàn)元.由前期市場(chǎng)調(diào)研可知：甲城市收益P(單位：萬(wàn)元與投入a(單位：萬(wàn)元滿足，乙城市收益Q(單位：萬(wàn)元與投入A(單位：萬(wàn)元滿足，則投資這兩座城市收益的最大值為()A.26萬(wàn)元 B.44萬(wàn)元 C.48萬(wàn)元 D.72萬(wàn)元8、已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)，任意，存在，使得成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是().A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分。9、已知向量，，則下列命題正確的是()A.若，則B.若，則C.設(shè)，則當(dāng)取得最大值時(shí)，D.的最大值為10、在公比為q等比數(shù)列中，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則下列說(shuō)法正確的是()A. B.數(shù)列是等比數(shù)列C. D.11、已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()A.的最小正周期為B.的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱C.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D.的單調(diào)遞增區(qū)間是12、2020年上半年，中國(guó)養(yǎng)豬企業(yè)受豬價(jià)高位的利好影響，大多收獲史上最佳半年報(bào)業(yè)績(jī)，部分企業(yè)半年報(bào)營(yíng)業(yè)收入同比增長(zhǎng)超過(guò)1倍.某養(yǎng)豬場(chǎng)抓住機(jī)遇，加大了生豬養(yǎng)殖規(guī)模，為了檢測(cè)生豬的養(yǎng)殖情況，該養(yǎng)豬場(chǎng)對(duì)2000頭生豬的體重（單位：kg）進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說(shuō)法正確的是()A.這2000頭生豬體重的眾數(shù)為160kgB.這2000頭生豬中體重不低于200kg的有80頭C.這2000頭生豬體重的中位數(shù)落在區(qū)間內(nèi)D.這2000頭生豬體重的平均數(shù)為152.8kg三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、已知，則的值是___________.14、若復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則m的取值范圍是_______.15、已知圓錐的軸截面PAB是邊長(zhǎng)為a的正三角形，AB為圓錐的底面直徑，球O與圓錐的底面以及每條母線都相切，記圓錐的體積為，球O的體積為，則___________；若M，N是圓錐底面圓上的兩點(diǎn)，且，則平面PMN截球O所得截面的面積為_(kāi)________________.16、某大學(xué)選拔新生進(jìn)“籃球”“電子競(jìng)技”“國(guó)學(xué)”三個(gè)社團(tuán)，據(jù)資料統(tǒng)計(jì)，新生是否通過(guò)考核選拔進(jìn)入這三個(gè)社團(tuán)相互獨(dú)立．某新生參加社團(tuán)時(shí)，假設(shè)他通過(guò)考核選拔進(jìn)入該校的“籃球”“電子競(jìng)技”“國(guó)學(xué)”三個(gè)社團(tuán)的概率依次為m，，n，已知三個(gè)社團(tuán)他都能進(jìn)入的概率為，至少進(jìn)入一個(gè)社團(tuán)的概率為，則__________.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（10分）記的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.已知.（1）求角A的大小；（2）若點(diǎn)D在邊BC上，AD平分，，且，求a.18、（12分）已知數(shù)列，，滿足，，，，.（1）證明是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：.19、（12分）如圖，已知三棱柱，平面平面ABC，，，，E，F(xiàn)分別是AC，的中點(diǎn).(1)證明:;(2)求直線EF與平面所成角的余弦值.20、（12分）如圖，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)M，A，B均在C上，點(diǎn)M位于第一象限，且三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線，C的離心率為的周長(zhǎng)為.(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若的內(nèi)切圓面積分別為，試求的最大值.21、（12分）某職稱晉級(jí)評(píng)定機(jī)構(gòu)對(duì)參加某次專業(yè)技術(shù)考試的100人的成績(jī)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，規(guī)定成績(jī)?yōu)?0分及以上者晉級(jí)成功，否則晉級(jí)失敗（滿分為100分）.

（1）求圖中a的值；

（2）根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表，并判斷能否有85%的把握認(rèn)為能否晉級(jí)成功與性別有關(guān)：晉級(jí)成功晉級(jí)失敗總計(jì)男16女50總計(jì)附：0.400.250.150.100.050.025k0.7801.3232.0722.7063.8415.024（3）將頻率視為概率，從本次考試的所有人員中，隨機(jī)抽取4人進(jìn)行約談，記這4人中晉級(jí)失敗的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.22、（12分）已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)性；（2）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求的取值范圍.參考答案1、答案：A解析：因?yàn)椋颍曰颍蔬xA.2、答案：C解析：表示在復(fù)平面內(nèi)，表示復(fù)數(shù)z的點(diǎn)Z在以為圓心，以1為半徑的圓上，表示點(diǎn)Z到點(diǎn)的距離，數(shù)形結(jié)合得，的最小值為.故選C.3、答案：A解析：因?yàn)閍，b，c均為正數(shù)，所以由指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得，，，所以.故選A.4、答案：A解析：，因?yàn)椋裕郧芯€方程為，即，故選A.5、答案：B解析：通解：設(shè)，分別為雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，則由題意可知，，又，所以，所以是直角三角形，所以.不妨令點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，則有，兩邊平方，得，又，所以，則，故選B.秒解：設(shè)分別為雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，則由題意可知，，又，所以，所以是直角三角形，所以（其中），故選B.6、答案：C解析：在中，，，則，.在中，，，則，由正弦定理，得.則在中，，，，由余弦定理得，則.故選C.7、答案：B解析：由題意可知：，設(shè)投資這兩座城市收益為y，則有，令，則有，該二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，且開(kāi)口向下，所以，故選：B8、答案：A解析：因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以解得，即，當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)椋忠驗(yàn)楹瘮?shù)在R上為增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)椋驗(yàn)槿我猓嬖冢沟贸闪ⅲ矗裕獾?故選A.9、答案：ACD解析：A項(xiàng)，若，則，即，故A項(xiàng)正確；B項(xiàng)，若，則，所以，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；C項(xiàng)，，其中，，故當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)，故C項(xiàng)正確；D項(xiàng)，，所以，即的最大值為，故D項(xiàng)正確.10、答案：ACD解析：因?yàn)椋杂校虼诉x項(xiàng)A正確；因?yàn)椋裕驗(yàn)槌?shù)，所以數(shù)列不是等比數(shù)列，故選項(xiàng)B不正確；因?yàn)椋赃x項(xiàng)C正確；，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以選項(xiàng)D正確.故選：ACD11、答案：BCD解析：，A.的最小正周期為，錯(cuò)誤；B.，所以圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，正確；C.，所以圖象關(guān)于直線對(duì)稱，正確；D.的單調(diào)遞增區(qū)間是，，即，，正確.故選：BCD.12、答案：BCD解析：由頻率分布直方圖可知，這一組的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的小長(zhǎng)方形最高，所以這2000頭生豬的體重的眾數(shù)為150kg，A錯(cuò)誤；這2000頭生豬中體重不低于200kg的有(頭)，B正確；因?yàn)樯i的體重在內(nèi)的頻率為在內(nèi)的頻率為，且，所以這2000頭生豬體重的中位數(shù)落在區(qū)間內(nèi)，C正確；這2000頭生豬體重的平均數(shù)為，D正確.故選BCD.13、答案：解析：.所以.所以.14、答案：解析：復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.可得解得.故答案為：.15、答案：；解析：如圖，設(shè)D為AB的中點(diǎn)，連接PD，由題意知PD為圓錐的高，且，易知球O的半徑，所以，，所以；設(shè)MN的中點(diǎn)為C，連接PC，DM，則，易知，，所以，所以.過(guò)O點(diǎn)作，垂足為E，易知，則，又，則.設(shè)平面PMN截球O所得截面圓的半徑為r，則，所以截面的面積為.16、答案：解析：設(shè)該新生“進(jìn)入籃球社團(tuán)”為事件A，“進(jìn)入電子競(jìng)技社團(tuán)”為事件B，“進(jìn)入國(guó)學(xué)社團(tuán)”為事件C，則：“三個(gè)社團(tuán)他都能進(jìn)入”的概率為，“至少進(jìn)入一個(gè)社團(tuán)”的概率為，整理得到，故，故答案為：.17、答案：（1）（2）3解析：（1）因?yàn)椋椿?jiǎn)可得，由余弦定理可得，所以，且，則（2）由（1）知，由余弦定理可得，將代入，化簡(jiǎn)可得，又因?yàn)锳D平分，由角平分線定理可得，即，且，所以，又因?yàn)椋瑒t，結(jié)合余弦定理可得，解得，所以，則.18、（1）答案：證明過(guò)程見(jiàn)解析，解析：，，，，即，，，，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列.又，，，，，，，即.（2）答案：證明過(guò)程見(jiàn)解析解析：由(1)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，故.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，.綜上，.19、答案：（1）證明見(jiàn)解析（2）解析：(1)方法一：連接，因?yàn)椋珽是的中點(diǎn)，所以.

又平面平面ABC，平面，平面平面，

所以平面，則.

又因?yàn)椋?/p>

故.

所以平面.

因此.

方法二：連接，因?yàn)椋珽是AC的中點(diǎn)，所以.

又平面平面ABC，平面，平面平面，所以平面ABC.

如圖，以點(diǎn)E為原點(diǎn)，分別以射線EC，為y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

不妨設(shè)，則，，，，.

因此，.

由得.

(2)方法一：取BC中點(diǎn)G，連接EG，GF，則是平行四邊形.

由于平，故，所以平行四邊形為矩形.

由(1)得平面，則平面平面，所以EF在平面上的射影在直線上.

連接交于O，則是直線EF與平面所成的角(或其補(bǔ)角).

不妨設(shè)，則在中，，.

由于O為的中點(diǎn)，故，

所以.

因此直線EF與平面所成角的余弦值是.

方法二：設(shè)直線與平面所成角為.

由(1)可得，.

設(shè)平面的法向量為.

由得取，

故.

因此直線與平面所成的角的余弦值為.20、答案：(1).(2)的最大值為.解析：(1)由橢圓定義得，所以的周長(zhǎng)為，解得，又C的離心率為，解得，所以，所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)易知，設(shè)，由條件知，直線的方程為，將其代入橢圓方程并整理可得，則，得，故.當(dāng)時(shí)，直線的方程為，將其代入橢圓方程并整理可得，同理，可得，設(shè)的內(nèi)切圓半徑分別為，因?yàn)椋裕?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.若軸時(shí)，易知，此時(shí)，綜上，的最大值為.所以，即的最大值為.21、答案：（1）由頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形的面積總和為1，

可知，

解得.

（2）由頻率分布直方圖，知晉級(jí)成功的頻率為，

所以晉級(jí)成功的人數(shù)為，

填表如下：晉級(jí)成功晉級(jí)失敗總計(jì)男163450女94150總計(jì)2575100所以，所以有85%的把握認(rèn)為能否晉級(jí)成功與性別有關(guān).

（3）由（2）知晉級(jí)失敗的頻率為，

將頻率視為概率，則從本次考試的所有人員中，隨機(jī)抽取1人進(jìn)行約談，此人晉級(jí)失敗的概率為，

所以X可視為服從參數(shù)為4，的二項(xiàng)分布，即，

故，

，

，

，

.

所以X的分布列為X012