《圖形的平移與旋轉》專題專練專題一：確定圖形變換后的坐標識的能力．現以坐標系中的平移與旋轉的圖形變換為例加以說明．例1如圖1AOB中，＝ABA2，2O的坐標是（0，0AOB平移得到△AOB，使得點A′在y軸上，點O、B在x軸上．則點B的坐標是．AOB是等腰三角形，容易得到B40AOB平移得到△AOB，使得點A在y軸上，是將圖形向左平移2個單位長度．根據B也向左平移2B′的坐標為（2，0例2已知平面直角坐標系上的三個點（00（11（10將△ABO繞點O按順時針方向旋轉135°，則點A，B的對應點坐標為A1（，B（，1析解：建立如圖2所示的直角坐標系，則＝2，所以OA＝＝2，1所以點A的坐標是（2，0AOB＝45°，所以△AOB是等腰直角三角1222，22AOBOA邊上的高為B．111211．如圖3ABC繞點C順時針旋轉90°后得到△ABC，則A點的對應點A的坐標是（（3，2）（2，2）（C3，0）（21）12．如圖4，在直角坐標系中，右邊的圖案是由左邊的圖案經過平移以后得到的．左圖案中左右眼睛的坐標分別是（－4，22，2坐標是（3，4．3．在平面直角坐標系中，已知點P010P繞著原點O0按逆時針方向旋轉60°得點P，延長OP到點P，使OPOP，再將點P繞112212著原點O按逆時針方向旋轉60°得點P，則點P的坐標是．334．如圖5，方格紙中的每個小方格都是邊長為1的正方形，我們把以格點間連線為邊的三角形稱為格點三角形ABC平面直角坐標系后，點B的坐標為（－1，－1（1）把△ABC向左平移8格后得到△ABC，畫出△ABC的圖形，并寫111111出點B的坐標；1（2）把△ABC繞點C按順時針方向旋轉90°后得到△ABCABC2222的圖形，并寫出點B的坐標．2專題二：圖形的變換分析分析圖形的變換一般選擇合適的基本圖形離或角度是多少，并由性質進行檢驗判斷的正確性．2例1將圖1方格紙中的圖形繞O點順時針旋轉90°得到的圖形是（析解：注意圖案中的每一個直角三角形順時針旋轉90°后相對應的直角邊是否垂直即可判斷哪個正確，故選擇（例2將如圖2中的正方形圖案繞中心O旋轉180°析解：注意觀察圖2中兩個等腰直角三角形相應的直角邊在同一條直線上D）是錯誤的；又因為圖2中的兩個等腰直角三角形成中心對稱圖形，則旋轉后能互相重合，則選項（）是錯誤的，故選擇（C練習二：1．將如圖3的葉片圖案旋轉180°后，得到的圖形是（圖32．如圖4，方格紙上的兩條對稱軸EF、MN相交于中心點，對△ABC分別作下列變換：①先以點A為中心順時針方向旋轉90°，再向右平移4格、向上平移4格；②先以點O為中心作中心對稱圖形，再以點A的對應點為中心逆時針方向旋轉90°；③先以直線MN為軸作軸對稱圖形，再向上平移4格，再以點A的對應點為中心順時針方向旋轉90°．其中，能將△ABC變換成△PQR的是（（）①②（）①③（C）②③（）①②③專題三：平移與旋轉變換作圖312）平移對應點，利用局部帶整體得到變換后的圖形．典例：如圖1，在網格中有一個四邊形圖案．（1）請你畫出此圖案繞點O順時針方向旋轉90°，180°，270°的圖案，你會得到一個美麗的圖案，千萬不要將陰影位置涂錯；（2）若網格中每個小正方形的邊長為1，旋轉后點A的對應點依次為A、A、A，求四邊形123AAAA的面積；123（3）這個美麗圖案能夠說明一個著名結論的正確性，請寫出這個結論．析解：只要同學們動手畫圖，即可得到答案．（1）正確畫出圖案，如圖2；1（2）如圖2，S4S435，故S22AABB△1231233四邊形AAAA的面積為34；123（3）結論：ABBCAC（或勾股定理：在直角三角22212由（2）中的面積計算公式，可知（ABBC）=4×2ABBCAC．整理后，可得到上面的結論．21．如圖3所示，畫出三角形ABC繞點C逆時針旋轉90°后的圖形2．觀察如圖4網格中的圖形，解答下列問題：4（1）將網格中圖沿水平方向向右平移，使點A移至點A處，作出平移后的圖形；（2）在（1）中移動后的圖形上再增加適當的線，組成一個新的圖形，使這個新圖形是中心對稱圖形，或是軸對稱圖形．專題四：聚焦旋轉中的角度問題發生變化，形狀、大小不發生變化．旋轉前后對應線段、對應角分別相等；旋轉與旋轉中心的連線所成的角都等于旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等．例1繞一定點旋轉180°六邊形就是這樣的圖形，小明發現將正六邊形繞著它的中心旋轉一個小于180°數：．來，易看出正六邊形是由一個正三角形連續旋轉5次，其旋轉角度為60°而得到的或是相鄰兩個等邊三角形連續旋轉2次，其旋轉角為120°而得到的．故小明發現的一個旋轉角的度數為60°或120°．例2如圖1ACB繞著30°角的頂點B順時針旋轉，使得點A與CB的延長線上的點E重合．（12）連接CDCBD3）求∠BDC的度數．51）因為旋轉后點A與CB的延長線上的點E重合，∠ABC＝30°，所以根據旋轉的意義知，∠ABE＝180°-30°＝150°，即旋轉了150°2）由旋轉的性質知BC＝，故△CBD3）因為＝BC，所以∠BCD＝∠BDC．1又∠DBE＝∠ABC＝30°，∠DBE＝∠BCD＋∠BDC，故∠BDC＝∠DBE2＝15°．例3如圖2，△ABE和△ACD都是等邊三角形，△EAC旋轉后能與△ABD重合，EC與BD相交于點．則∠DFC的度數為．析解：由旋轉圖形的對應角相等，得∠ADB＝∠ACE，根據對頂角相等，得∠AMD＝∠FMC．借助三角形內角關系，得∠DFC∠DAC．再把已知條件中的等邊三角形轉化為角度關系，容易得到∠DFC＝∠DAC＝60°．練習四：1．如圖3，△ABC，△ACD，△ADE是三個全等的正三角形，那么△ABC繞著頂點A沿逆時針方向至少旋轉，才能與△ADE完全重合．2．如圖4，在等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，將△ABC繞頂點A逆時針方向旋轉60°后得到△ABC則∠BAC等于（（）60°（）105°（C）120°（）135°專題五：圖形變換中的線段問題通過各種圖形的平移和旋轉可知圖形平移的主要因素是移動的方向和移動角相等，從而尋找圖形變換過程中的一些隱含關系．例1如圖1，△ABC是直角三角形，BC是斜邊，將△ABP繞點A逆時針旋轉后，能與△ACP重合，6如果AP＝3，那么PP的長等于．析解：由旋轉的性質及題意可知，AP＝AP，∠=90°，所以△APP是等腰直角三角形．由勾股定理可知：AP331832．2222例2如圖2，桌面上直線l上擺放著兩塊大小相同的直角三角板，它們中較小直角邊的長為6cm，較小銳角的度數為30°．（1）將△ECD沿直線l向左平移到圖3（1）的位置，使E點落在AB上，你能求出平移的距離嗎？試試看．（2ECD繞點C逆時針方向旋轉到圖（2）的位置，使E點落在AB上，請求出旋轉角的度數．1）根據平移的性質可知CC的長為平移的距離．在Rt△EBCBEC＝30°BC＝30°角所對的直角邊等于BE′＝2＝BC=23CC（623）cm．即平移的距離為（623）cm．（2BC＝CEABC＝60°BCE為等邊三角形，而∠ECE為旋轉角，所以旋轉角∠ECE為30°．1．如圖4，在等腰直角三角形ABCC＝90°BC＝2cm，如果以AC的中點O180°B落在BBB′的長度為．72．如圖5P是正三角形ABC內的一點，且＝6PB＝8PC＝10．若將△繞點A逆時針旋轉后，得到△PAB，則點P與點P之間的距離為，∠APB＝．3．如圖6，P是正方形ABCD內一點，將△ABP繞點B順時針方向旋轉與△CBP重合，若PB=3，則PP的長為．專題六：利用圖形變換求面積求解有關面積問題，可以收到事半功倍之效，現舉例如下．例1如圖1，矩形內有兩個相鄰的正方形，面積分別為9和4，那么圖中陰影部分的面積為．析解：將圖1中兩陰影部分平移到一起，如圖2，得長方形ABCD，易知該長方形的長AD為小正方形邊長，寬CD為兩個正方形邊長之差．因此，只需求出兩個正方形邊長，則陰影部分面積就不難求出了．因為大正方形的面積為9，小正方形的面積為4，所以，大正方形的邊長為3，小正方形的邊長為2，所以圖中陰影部分的面積為（3－2）＝2．例2如圖3，矩形ABCD中，橫向陰影部分是矩形，另一陰影部分是平行四邊形，依照圖中標注的數據，計算圖中空白部分的面積，其面積是（（）bcabacc（）abbcacc222（C）bcabacc（）bbcaab224中陰影部分的平行四邊形和長方形的8寬都是，大長方形的寬是b，依據平行四邊形、長方形的面積公式，顯然陰影部分的平行四邊形和長方形的面積都是．這樣可以發現，只要把圖3中兩個陰影部分平移成圖53中四塊空白圖形可組成長為（acbc）的矩形．因此，空白部分的面積為(ac)(bc)abbcacc，故選（2例2如圖6，三個圓是同心圓（圓心相同），則圖中陰影部分的面積為．析解：將最里面的陰影部分按順時針旋轉180°，再把第二層的陰影部分按順時針旋轉90°后，與最外層的陰影部分組成了一個四分之一的圓的面積，即如11圖7，所以圖中陰影部分的面積為：π2π．r44練習六：如圖8，長方形ABCD中表示一塊草坪，點E、F分別在邊AB、CD上，BF∥，四邊形EBFD是一條水泥小路，若＝12米，AB＝7米，且BE＝2米，則草坪的面積為．參考答案：練習一：1．Ｃ25，4）3．(，3)41）B的坐標(1)2）B的坐標（5，5）12練習二：1．D2．D練習三：1．作圖略．21）如下圖所示：9（2）新圖形是軸對稱圖形．答案不惟一．練習四：1．1202．B練習五：1．25（提示：OB215，所以BBOB25）2226150△PPAP6，又利用勾股定理可得BPP為直角三角形，且∠BPP90，可求∠APB906103．32練習六：60平方米．10寬都是，大長方形的寬是b，依據平行四邊形、長方形的面積公式，顯然陰影部分的平行四邊形和長方形的面積都是．這樣可以發現，只要把圖3中兩個陰影部分平移成圖53中四塊空白圖形可組成長為（acbc）的矩形．因此，空白部分的面積為(ac)(bc)abbcacc，故選（2例2如圖6，三個圓是同心圓（圓心相同），則圖中陰影部分的面積為．析解：將最里面的陰影部分按順時針旋轉180°，再把第二層的陰影部分按順時針旋轉90°后，與最外層的陰影部分組成了一個四分之一的圓的面積，即如11圖7，所以圖中陰影部分的面積為：π2π．r44練習六：如圖8，長方形ABCD中表示一塊草坪，點E、F分別在邊AB、CD上，BF∥，四邊形EBFD是一條水泥小路，若＝12米，AB＝7米，且BE＝2米，則草坪的面積為．參考答案：練習一：1．Ｃ25，4）3．(，3)41）B的坐標(1)2）B的坐標（5，5）12練習二：1．D2．D練習三：1．作圖略．21）如下圖所示：9（2）新圖形是軸對稱圖形．答案不惟一．練習四：1．1202．B練習五：1．25（提示：OB215，所以BBOB25）2226150△PPAP6，又利用勾股定理可得BPP為直角三角形，且∠BPP90，可求∠APB906103．32練習六：60平方米．10寬都是，大長方形的寬是b，依據平行四邊形、長方形的面積公式，顯然陰影部分的平行四邊形和長方形的面積都是．這樣可以發現，只要把圖3中兩個陰影部分平移成圖53中四塊空白圖形可組成長為（acbc）的矩形．因此，空白部分的面積為(ac)(bc)abbcacc，故選（2例2如圖6，三個圓是同心圓（圓心相同），則圖中陰影部分的面積為．析解：將最里面的陰影部分按順時針旋轉180°，再把第二層的陰影部分按順時針旋轉90°后，與最外層的陰影部分組成了一個四分之一的圓的面積，即如11圖7，所以圖中陰影部分的面積為：π2π．r44練習六：如圖8，長方形ABCD中表示一塊草坪，點E、F分別在邊AB、CD上，BF∥，四邊形EB