用費馬原理導出光的反射定律和折射定律(內江師范學院工程技術學院2012級1班蘭林20120341045)［摘要］以費馬原理為基礎,用極值條件和方程有解條件導出光在兩種均勻介質分界面處的反射定律,并證明了光在反射和折射過程中,其實際光程取的是極小值.關鍵詞:費馬原理;反射定律;折射定律;光程;極小值幾何光學是以光的直線傳播定律、反射定律和折射定律為基礎建立起來的,引入光程概念后,上述三定律就可用費馬原理來概括,并由它導出.光的直線傳播定律、反射定律和折射定律、獨立傳播原理是幾何光學的基本原理,能夠很好地解釋光在傳播過程中發生的物理現象.費馬原理與光的直線傳播定律、反射定律和折射定律具有同等重要的意義,可以說后者是前者的必然結果,即由費馬原理可推出光的直線傳播定律、反射定律和折射定律.反射定律:(1)反射光線位于入射光線和法線構成的平面內;(2)反射光線和入射光線分居發現兩側;(3)反射角等于入射角，即i=i折射定律:(1)折射光線、入射光線和法線在同一平面內；折射光線和入射光線分別位于法線的兩側；光從光疏介質到光密介質時折射角小于入射角。費馬原理:光在指定的兩點間傳播，實際光程是一個極值.光在均勻介質中的直線傳播、在兩種不同介質分界面處發生反射和折射，實際光程取極小值.即iBnds二極值(極小值、極大值或恒定值) (1)A證明如圖1所示，設xoy平面是兩均勻介質n和n的分界面，光線由介質1中指定的A點12經界面反射后到達介質1中指定的B點?為確定實際光線的路徑，過A、B兩點作xoy工程技術學院本科課程論文平面垂直于界面,x軸是所作平面與分界面的交線.則實際光線在界面上的折射點就可用費馬原理來確定.首先證明共面，即折射點在交線x上軸?設A、B、C三點的坐標分別為A(x,y,0),B(x,y,0),C(x,0,z)?1122(2)A、B間光程為L=nl+(2)1122其中l=y2+(x-x)2+z2,l=y2+(x-x)2+z2,光程取極值，要求上式對x和z的一階TOC\o"1-5"\h\z1甲1 1 2v2 2導數為零.于是得d n(x—x)n(x—x)—(nl+nl -+」 -二0 (3)Qx11 12 l l12Q(n/1+n^卡+乍二012只有當z=0時,(4)式才成立，所以C點應位于x軸上?即反射光線位于入射光線和法線構成的平面內.于是有其中:l=y2+(x-x匕,l=y2+(x-x)21*112v22其次，證明異側.由（3）式知，方程的解為： x=x=x或x<x<x1212若x=x=x,則A、B兩點連線垂直與界面，入射光線、法線和反射光線三線合一；12若x<x<x則入射光線和折射光線分別位于法線兩側.12最后，證明i'=i，由圖1易知： 丿二sini, 丿二sini' （5）l l12代入（3）中，即得sini=sini，在反射角和入射角的定義范圍內可得i'=i，即反射角等于入射角.到此我們證明了反射定律符合費馬原理中的光程取極值，但未證明取極小值.如圖2所示,A、B為空間中指定的兩點,CC'為入射面與分界面交線.A、B分別為A、B11在交線上的垂足?為證明反射定律光程取極小值，我們假設在分界面上存在兩個折射點C和CC'，前者遵循反射定律，后者不遵循反射定律;過CC'作入射光線AC的平行線DC和反射光線C的垂線，同時分別過A和C分別作平行線DC'的垂線AE和CF.

在Rt^GCC和Rt^FCC中,因為ZGCCf=ZFCC且CC為公共邊，所以有FC'=GC同時在RtaGBCr、RtaEAC中，存在BC‘>GBAC>EC設路徑ABC的光程為L，對應地光沿此路徑從A傳播到B所用時間為t，與另一路ABC徑ACB對應的相應物理量分別為L和t'.于是有ACB將⑺代入上式有f ACfCBt=n 將⑺代入上式有f ACfCBt=n +n1uiui iACCBt=n+n——1uiui iEC—FC=n +niu iiCG+GB

uiECGBt=n+n iuiui iECGB最終的t=n+n<niu2uii iAC' BC+n =tu2ui i⑼(10)(11)(12)即t<t'.根據光程定義L=nl=ct，得L<L .至此，我們不但證明了反射定律符合ACBACB費馬原理取極值的條件，費馬原理取極值的條件，而且證明了光程取的是極小值.圖】 光的折射路線圖對于折射如圖1所示，設xoy平面是兩均勻介質n和n的分界面，光線由介質1中指定12的A點經界面折射到達介質2中指定的B點.為確定實際光線的路徑，通過A、B兩點作xoy平面垂直于界面,x軸是所作平面與分界面的交線.則實際光線在界面上的折射點C就可用費馬原理來確定.首先證明共面，即折射點在交線x軸上?設A、B、C三點的坐標分別為A(x,y,0),B(x,y,0),C(x,0,z)?1122A、B間光程為 L=nl+nl (13)1122其中l=y2+(x-x)2+z2,l=y2+(x-x)2+z2，光程取極值，要求上式對x和z的一階1^112'22導數為零?于是得d n(x-x)n(x-x)小(14)(15)TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"(nl+nl)=—1 1+— 2二0(14)(15)dx1112l l1 2◎(nl+nl)=箜+空二0dz11 12ll12

只有當z=0時,(15)式才成立，所以C點應位于x軸上.于是C點變成CC點,相應的坐標為CC(x,0,0),于是圖1簡化為圖2.結論:折射光線、法線和入射光線位于同一平面內.其次，證明異側.由式(14)知，方程的解為x=x=x或x<x<x1212若x=x=x,則A、B兩點連線垂直于界面，入射光線、法線和折射光線三線合一12;若x<x<x，則入射光線和折射光線分別位于法線兩側.12結論:折射光線和入射光線分居法線異側.最后，證明nsini=nsini.由圖2易知1122(x(x-x)..i二sini

l i1(x-x)2二sini22代入式⑴即得nsini=nsini.其中l=y2+(x-x)2,l=y2+(x-x)21122 1*1 1 2*2 2結論:入射角的正弦與入射光線所在介質