第二節柯西積分定理一、單連通區域的柯西積分定理二、復函數的牛頓－萊布尼茲公式三、多連通區域上的柯西積分定理一、單連通區域的柯西積分定理1.

問題的提出此時積分與路線無關.觀察上節例2,觀察上節例1,由于不滿足柯西－黎曼方程,故而在復平面內處處不解析.由以上討論可知,積分是否與路線有關,可能決定于被積函數的解析性及區域的連通性.2.

單連通區域的柯西積分定理定理3.2.1(Cauchy積分定理)證2.

單連通區域的柯西積分定理定理3.2.1(Cauchy積分定理)證注：定理3.2.2(Cauchy－Goursat積分定理)

Goursat例1解根據柯西－古爾薩(Cauchy-Goursat)定理,有例2解根據柯西－古爾薩(Cauchy-Goursat)定理,有例2解根據柯西－古爾薩(Cauchy-Goursat)定理,有例3解根據柯西－古爾薩(Cauchy-Goursat)定理得及上節例2知,定理3.2.2'定理3.2.3(推廣的Cauchy積分定理)定理3.2.4證定理3.2.4證定理3.2.5二、復函數的牛頓－萊布尼茲公式1.

原函數定義3.2.1注：定理3.2.6證定理3.2.6證推論3.2.12.

牛頓－萊布尼茲公式定理3.2.7證

NewdonLeibniz2.

牛頓－萊布尼茲公式定理3.2.7證

NewdonLeibniz另證例4解由牛頓-萊布尼茲公式知,例5解(使用了微積分學中的“湊微分”法)例6解此方法使用了微積分中“分部積分法”例6解此方法使用了微積分中“分部積分法”例6另解由牛頓-萊布尼茲公式知,三、多連通區域上的柯西積分定理1.

問題的提出根據本章第一節例2可知,由此希望將柯西積分定理推廣到多連通域中.2.

多連通區域上的柯西積分定理多連通區域D單連通區域D多連通區域D單連通區域D定理3.2.8(多連通區域上的柯西積分定理)證例7解根據多連通區域上的柯西積分定理得例8證明根據多連通區域上的柯西積分定理得例8證明根據多連通區域上的柯西積分定理得例9解依題意知,根據多連通區域上的柯西積分定理得例10解解EdouardGoursat

EdouardGoursat

1858-1936EdouardGoursatwasaFrenchmathematicianwhoisbestknownforhisversionoftheCauchy-Goursattheoremstatingthattheintegralofafunctionroundasimpleclosedcontouriszeroifthefunctionisanalyticinsidethecontour.

SirIsaacNewtonSirIsaacNewton1643-1727IsaacNewtonwasthegreatestEnglishmathematicianofhisgeneration.Helaidthefoundationfordifferentialandintegralcalculus.Hisworkonopticsandgravitationmakehimoneofthegreatestscientiststheworldhasknown.

GottfriedWilhelmvonLeibnizGottfriedWilhelmvonLeibniz1646-1716GottfriedLeibnizwasaGermanmathematicianwhodevelopedthepresentdaynotationforthedifferentialandintegralcalculusthoughheneverthoughtofthederivativeasalimit.Hisphilosophyisalsoimportantandheinventedanearlycalculatingmachine.

GottfriedWilhelmvonLeibnizGottfriedWilhelmvonLeibniz1646-1716GottfriedLeibnizwasaGermanmathematicianwhodevelopedthepresentdaynotationforthedifferentialandintegralcalculusthoughhenever