山東省泰安市新泰市第二中學2024屆高三質量監測（一）數學試題試卷注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．由曲線y＝x2與曲線y2＝x所圍成的平面圖形的面積為()A．1 B． C． D．2．在中，分別為所對的邊，若函數有極值點，則的范圍是（）A． B．C． D．3．為了進一步提升駕駛人交通安全文明意識，駕考新規要求駕校學員必須到街道路口執勤站崗，協助交警勸導交通.現有甲、乙等5名駕校學員按要求分配到三個不同的路口站崗，每個路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有()A．12種 B．24種 C．36種 D．48種4．已知定義在上的函數滿足，且當時，.設在上的最大值為（），且數列的前項的和為.若對于任意正整數不等式恒成立，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．5．“且”是“”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．已知向量，且，則等于（）A．4 B．3 C．2 D．17．點為的三條中線的交點，且，，則的值為()A． B． C． D．8．在我國傳統文化“五行”中，有“金、木、水、火、土”五個物質類別，在五者之間，有一種“相生”的關系，具體是：金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.從五行中任取兩個，這二者具有相生關系的概率是（）A．0.2 B．0.5 C．0.4 D．0.89．已知函數f(x)=xex2+axeA．1 B．-1 C．a D．-a10．將函數圖象上所有點向左平移個單位長度后得到函數的圖象，如果在區間上單調遞減，那么實數的最大值為（）A． B． C． D．11．設復數滿足（為虛數單位），則在復平面內對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．已知復數為虛數單位），則z的虛部為（）A．2 B． C．4 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．將含有甲、乙、丙的6人平均分成兩組參加“文明交通”志愿者活動，其中一組指揮交通，一組分發宣傳資料，則甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一個組的概率為__________.14．曲線在點處的切線方程為________.15．設，則______.16．在中，已知，則的最小值是________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知正數x，y，z滿足xyzt（t為常數），且的最小值為，求實數t的值.18．（12分）如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD，∠ABD=30°，AB＝2CD＝2AD＝2，DE⊥平面ABCD，EF//BD，且BD＝2EF．（Ⅰ）求證：平面ADE⊥平面BDEF；（Ⅱ）若二面角CBFD的大小為60°，求CF與平面ABCD所成角的正弦值．19．（12分）已知函數．（1）若關于的不等式的整數解有且僅有一個值，當時，求不等式的解集；（2）已知，若，使得成立，求實數的取值范圍．20．（12分）如圖，已知橢圓經過點，且離心率，過右焦點且不與坐標軸垂直的直線與橢圓相交于兩點.（1）求橢圓的標準方程；（2）設橢圓的右頂點為，線段的中點為，記直線的斜率分別為，求證：為定值.21．（12分）已知，如圖，曲線由曲線：和曲線：組成，其中點為曲線所在圓錐曲線的焦點，點為曲線所在圓錐曲線的焦點.（Ⅰ）若，求曲線的方程；（Ⅱ）如圖，作直線平行于曲線的漸近線，交曲線于點，求證：弦的中點必在曲線的另一條漸近線上；（Ⅲ）對于（Ⅰ）中的曲線，若直線過點交曲線于點，求面積的最大值.22．（10分）已知橢圓的短軸長為，左右焦點分別為，，點是橢圓上位于第一象限的任一點，且當時，.（1）求橢圓的標準方程；（2）若橢圓上點與點關于原點對稱，過點作垂直于軸，垂足為，連接并延長交于另一點，交軸于點.（ⅰ）求面積最大值；（ⅱ）證明：直線與斜率之積為定值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

首先求得兩曲線的交點坐標，據此可確定積分區間，然后利用定積分的幾何意義求解面積值即可.【題目詳解】聯立方程：可得：，，結合定積分的幾何意義可知曲線y＝x2與曲線y2＝x所圍成的平面圖形的面積為：.本題選擇B選項.【題目點撥】本題主要考查定積分的概念與計算，屬于中等題.2、D【解題分析】試題分析：由已知可得有兩個不等實根.考點：1、余弦定理；2、函數的極值.【方法點晴】本題考查余弦定理，函數的極值，涉及函數與方程思想思想、數形結合思想和轉化化歸思想，考查邏輯思維能力、等價轉化能力、運算求解能力，綜合性較強，屬于較難題型.首先利用轉化化歸思想將原命題轉化為有兩個不等實根，從而可得.3、C【解題分析】

先將甲、乙兩人看作一個整體，當作一個元素，再將這四個元素分成3個部分，每一個部分至少一個，再將這3部分分配到3個不同的路口，根據分步計數原理可得選項.【題目詳解】把甲、乙兩名交警看作一個整體，個人變成了4個元素，再把這4個元素分成3部分，每部分至少有1個人，共有種方法，再把這3部分分到3個不同的路口，有種方法，由分步計數原理，共有種方案。故選：C.【題目點撥】本題主要考查排列與組合,常常運用捆綁法，插空法，先分組后分配等一些基本思想和方法解決問題，屬于中檔題.4、C【解題分析】

由已知先求出，即，進一步可得，再將所求問題轉化為對于任意正整數恒成立，設，只需找到數列的最大值即可.【題目詳解】當時，則，，所以，，顯然當時，，故，，若對于任意正整數不等式恒成立，即對于任意正整數恒成立，即對于任意正整數恒成立，設，，令，解得，令，解得，考慮到，故有當時，單調遞增，當時，有單調遞減，故數列的最大值為，所以.故選：C.【題目點撥】本題考查數列中的不等式恒成立問題，涉及到求函數解析、等比數列前n項和、數列單調性的判斷等知識，是一道較為綜合的數列題.5、A【解題分析】

畫出“,,,所表示的平面區域,即可進行判斷.【題目詳解】如圖，“且”表示的區域是如圖所示的正方形，記為集合P，“”表示的區域是單位圓及其內部，記為集合Q，顯然是的真子集,所以答案是充分非必要條件，故選:.【題目點撥】本題考查了不等式表示的平面區域問題,考查命題的充分條件和必要條件的判斷,難度較易.6、D【解題分析】

由已知結合向量垂直的坐標表示即可求解．【題目詳解】因為，且，，則．故選：．【題目點撥】本題主要考查了向量垂直的坐標表示，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題．7、B【解題分析】

可畫出圖形，根據條件可得，從而可解出，然后根據，進行數量積的運算即可求出．【題目詳解】如圖：點為的三條中線的交點，由可得：，又因，，.故選：B【題目點撥】本題考查三角形重心的定義及性質，向量加法的平行四邊形法則，向量加法、減法和數乘的幾何意義，向量的數乘運算及向量的數量積的運算，考查運算求解能力，屬于中檔題.8、B【解題分析】

利用列舉法，結合古典概型概率計算公式，計算出所求概率.【題目詳解】從五行中任取兩個，所有可能的方法為：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土，共種，其中由相生關系的有金水、木水、木火、火土、金土，共種，所以所求的概率為.故選：B【題目點撥】本小題主要考查古典概型的計算，屬于基礎題.9、A【解題分析】

令xex=t，構造g(x)=xex，要使函數f(x)=xex2+axex-a有三個不同的零點x1,x2,【題目詳解】令xex=t，構造g(x)=xex，求導得g'(x)=故g(x)在-∞,1上單調遞增，在1,+∞上單調遞減，且x<0時，g(x)<0，x>0時，g(x)>0，g(x)max=g(1)=1e，可畫出函數g(x)的圖象（見下圖），要使函數f(x)=xex2+axex-a有三個不同的零點x1,x若a>0，即t1+t2=-a<0t1故1-x若a<-4，即t1+t2=-a>4t1故選A.【題目點撥】解決函數零點問題，常常利用數形結合、等價轉化等數學思想.10、B【解題分析】

根據條件先求出的解析式，結合三角函數的單調性進行求解即可.【題目詳解】將函數圖象上所有點向左平移個單位長度后得到函數的圖象，則，設，則當時，，，即，要使在區間上單調遞減，則得，得，即實數的最大值為，故選：B.【題目點撥】本小題主要考查三角函數圖象變換，考查根據三角函數的單調性求參數，屬于中檔題.11、A【解題分析】

由復數的除法運算可整理得到，由此得到對應的點的坐標，從而確定所處象限.【題目詳解】由得：，對應的點的坐標為，位于第一象限.故選：.【題目點撥】本題考查復數對應的點所在象限的求解，涉及到復數的除法運算，屬于基礎題.12、A【解題分析】

對復數進行乘法運算，并計算得到，從而得到虛部為2.【題目詳解】因為，所以z的虛部為2.【題目點撥】本題考查復數的四則運算及虛部的概念，計算過程要注意.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

先求出總的基本事件數，再求出甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一組的基本事件數，然后根據古典概型求解．【題目詳解】6人平均分成兩組參加“文明交通”志愿者活動，其中一組指揮交通，一組分發宣傳資料的基本事件總數共有個，甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一組的基本事件個數有：個，所以甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一組的概率為.故答案為：【題目點撥】本題主要考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題.14、【解題分析】

求導，得到和，利用點斜式即可求得結果.【題目詳解】由于，，所以，由點斜式可得切線方程為.故答案為：.【題目點撥】本題考查利用導數的幾何意義求切線方程，屬基礎題.15、121【解題分析】

在所給的等式中令，,令，可得2個等式，再根據所得的2個等式即可解得所求.【題目詳解】令，得，令，得，兩式相加，得，所以.故答案為:.【題目點撥】本題主要考查二項式定理的應用,考查學生分析問題的能力,屬于基礎題,難度較易.16、【解題分析】分析：可先用向量的數量積公式將原式變形為：，然后再結合余弦定理整理為，再由cosC的余弦定理得到a，b的關系式，最后利用基本不等式求解即可.詳解：已知，可得，將角A,B,C的余弦定理代入得，由，當a=b時取到等號，故cosC的最小值為.點睛：考查向量的數量積、余弦定理、基本不等式的綜合運用，能正確轉化是解題關鍵.屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、t＝1【解題分析】

把變形為結合基本不等式進行求解.【題目詳解】因為即，當且僅當，，時，上述等號成立，所以，即，又x，y，z＞0，所以xyzt＝1．【題目點撥】本題主要考查基本不等式的應用，利用基本不等式求解最值時要注意轉化為適用形式，同時要關注不等號是否成立，側重考查數學運算的核心素養.18、（1）見解析（2）【解題分析】分析：(1)根據面面垂直的判定定理即可證明平面ADE⊥平面BDEF；(2)建立空間直角坐標系，利用空間向量法即可求CF與平面ABCD所成角的正弦值；也可以應用常規法，作出線面角，放在三角形當中來求解.詳解：（Ⅰ）在△ABD中，∠ABD＝30°，由AO2＝AB2+BD2－2AB·BDcos30°，解得BD＝，所以AB2+BD2=AB2，根據勾股定理得∠ADB＝90°∴AD⊥BD.又因為DE⊥平面ABCD，AD平面ABCD，∴AD⊥DE.又因為BDDE＝D，所以AD⊥平面BDEF，又AD平面ABCD，∴平面ADE⊥平面BDEF，（Ⅱ）方法一：如圖，由已知可得，，則，則三角形BCD為銳角為30°的等腰三角形.則.過點C做，交DB、AB于點G，H，則點G為點F在面ABCD上的投影.連接FG，則，DE⊥平面ABCD，則平面.過G做于點I，則BF平面，即角為二面角CBFD的平面角，則60°.則，，則.在直角梯形BDEF中，G為BD中點，，，，設，則，，則.，則，即CF與平面ABCD所成角的正弦值為．（Ⅱ）方法二：可知DA、DB、DE兩兩垂直，以D為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz.設DE＝h，則D(0，0，0)，B(0，，0)，C(－，－，h).，.設平面BCF的法向量為m＝(x，y，z)，則所以取x=，所以m＝(，-1，－)，取平面BDEF的法向量為n＝(1，0，0)，由，解得，則，又,則，設CF與平面ABCD所成角為，則sin=.故直線CF與平面ABCD所成角的正弦值為點睛：該題考查的是立體幾何的有關問題，涉及到的知識點有面面垂直的判定，線面角的正弦值，在求解的過程中，需要把握面面垂直的判定定理的內容，要明白垂直關系直角的轉化，在求線面角的有關量的時候，有兩種方法，可以應用常規法，也可以應用向量法.19、（1）（2）【解題分析】

（1）求解不等式，結合整數解有且僅有一個值，可得，分類討論，求解不等式，即得解；（2）轉化，使得成立為，利用不等式性質，求解二次函數最小值，代入解不等式即可.【題目詳解】（1）不等式，即，所以，由，解得．因為，所以，當時，，不等式等價于或或即或或，故，故不等式的解集為．（2）因為，由，可得，又由，使得成立，則，解得或．故實數的取值范圍為．【題目點撥】本題考查了絕對值不等式的求解和恒成立問題，考查了學生轉化劃歸，分類討論，數學運算的能力，屬于中檔題.20、（1）；（2）詳見解析.【解題分析】

（1）由橢圓離心率、系數關系和已知點坐標構建方程組，求得，代入標準方程中即可；（2）依題意，直線的斜率存在，且不為0，設其為，則直線的方程為，設，，通過聯立直線方程與橢圓方程化簡整理和中點的坐標表示用含k的表達式表示，，進而表示；由韋達定理表示根與系數的關系進而表示用含k的表達式表示，最后做比即得證.【題目詳解】（1）設橢圓的焦距為，則，即，所以.依題意，，即，解得，所以，.所以橢圓的標準方程為.（2）證明：依題意，直線的斜率存在，且不為0，設其為，則直線的方程為，設，.與橢圓聯立整理得，故所以，，所以.又，所以為定值，得證.【題目點撥】本題考查由離心率求橢圓的標準方程，還考查了橢圓中的定值問題，屬于較難題.21、（Ⅰ）和.；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）.【解題分析】

(Ⅰ)由，可得，解出即可；(Ⅱ)設點，設直線，與橢圓方程聯立可得：，利用，根與系數的關系、中點坐標公式，證明即可；(Ⅲ)由(Ⅰ)知，曲線，且，設直線的方程為：，與橢圓方程聯立可得