數學思想講座數學與思維發展的關系2023/12/28數學思想講座數學與思維發展的關系數學與思維發展的關系人們常把數學形容為思維的體操。培根說過，哲理使人深刻，詩歌使人聰慧，演算使人精密。其實數學不單單使人精密，數學同樣也使人深刻，使人聰慧！

哲學、詩歌——不要求每人都會數學——每人必須會

數學思想講座數學與思維發展的關系1、歸納與完全歸納

思維的一種形式是歸納。那么歸納性質的表征是什么呢？所謂歸納，是指通過對有限多個同類對象的觀察分析，猜測一種共性或規律，并證明這種共性的確是正確的一種思維方法。當“同類對象”為有限多個時，我們將對象一一驗證就可獲得結論（對或錯）；但當“同類對象”無法窮舉或實際上就是無限多時，我們原有的思維方法就無法具有說服力了。因此必須尋找一種處理無限的思維方法.即在數學上所要求的完全歸納,確保其正確性.數學思想講座數學與思維發展的關系1、歸納與完全歸納我們熟悉的完全歸納法——數學歸納法。我們來看一些（非完全歸納）例子。

數學思想講座數學與思維發展的關系1、歸納與完全歸納

數學思想講座數學與思維發展的關系1、歸納與完全歸納數學思想講座數學與思維發展的關系1、歸納與完全歸納這說明，考察一組對象的性質或規律時，可能出錯。究其原因在于對于“無窮多”的思維方式不能按照“有限多”方式來處理，否則容易出現問題。這種方法通常成為不完全歸納。數學思想講座數學與思維發展的關系1、歸納與完全歸納數學對歸納的完全性是要求十分嚴格，其意義不僅對所有的自然科學是重要的，而且對人文社會科學也是重要的。借鑒數學思維的嚴格性，可以大大提高社會科學學科的科學性。以例帶證的方法屬于不完全歸納，顯然不能令人信服。目前許多社會科學學科還是按照這種方式來解釋其命題，科學性顯然要遭到質疑。社會科學；實驗學科；數學思想講座數學與思維發展的關系2、邏輯思維的代表：演繹當歸納具有完全性時，其方法可以說屬于邏輯的范疇了。邏輯思維的代表之一是演繹思維。演義思維最早來自幾何學，其影響之廣泛使得人們特別看重演繹科學的地位。實際上，一門學科是否為成熟的是以它是否已形成一套演繹體系（公理體系）為標志的。數學的這一特點是與它極強的邏輯性和抽象性緊密聯系在一起的。數學思想講座數學與思維發展的關系2、邏輯思維的代表：演繹抽象：強抽象弱抽象。任意四邊形凸四邊形梯形平行四邊形矩形菱形正方形強抽象弱抽象數學思想講座數學與思維發展的關系2、邏輯思維的代表：演繹例子：函數概念的演變過程。17世紀：冪函數（多項式）的代名詞。18世紀：表達式（初等函數）。歐拉給出了y=f(x)的表示。初等函數——非初等函數（級數、積分表示）——解析表達式（一個式子）——分段函數（偽函數，柯西引入了“對應”術語，但還是解析式子）——Dirichlet函數：Dirichlet函數不但從表達式上突破了解析式的限制，而且還對“凡函數至少在一點連續”提出了挑戰。數學思想講座數學與思維發展的關系2、邏輯思維的代表：演繹雖然這個表達式是認為構造的，帶有主觀性質，但它卻推動了人們對函數本質的客觀認識。這也反映了認識論中的基本內涵。主觀判斷主觀事物一定要小心，不要把主觀臆相混同于主觀構想。科學需要主觀構想的。數學思想講座數學與思維發展的關系2、邏輯思維的代表：演繹Dirichlet函數——對應規則（何為對應？）——有序對（x,y）（新概念）——集合函數（泛函）——廣義函數（δ函數）——......上述過程實際上就是演繹思維弱抽象的例子.數學思想講座數學與思維發展的關系2、邏輯思維的代表：演繹再以函數為例給出強抽象的例子.連續性問題解決后,出現了可微性問題.f(x)=|x|是連續但在0點不可微的例子.問題:連續函數至少有一個可微點?Weiestrauss構造了一個處處連續但處處不可微的例子,

這個例子讓數學家驚嘆:直觀似乎告訴我們不可能