4.3.2等比數(shù)列的前n

項和(1)

課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.掌握等比數(shù)列的前n項和公式及其應(yīng)用．B．會用錯位相減法求數(shù)列的和．C．能運用等比數(shù)列的前n項和公式解決一些簡單的實際問題.1.數(shù)學(xué)抽象：等比數(shù)列的前n項和公式2.邏輯推理：等比數(shù)列的前n項和公式的推導(dǎo)3.數(shù)學(xué)運算：等比數(shù)列的前n項和公式的運用4.數(shù)學(xué)建模：等比數(shù)列的前n項和公式問題1：=?“在一個月（按30天計算）我每天給你們1000元，而你們第一天給我1分，第二天給我2分，第二天給我4分…以后每天都是前一天的2倍，你們是否愿意？問題2：你離墻2米，若你第一步走1米，第2步走米，以后每步都是前一步的一半，問你能走到墻嗎？問題1：如何求解等比數(shù)列前n項和？回顧：等差數(shù)列的前n

項和公式的推導(dǎo)過程.

問題2：對于等比數(shù)列，是否也能用倒序相加的方法進行求和呢？

對于等比數(shù)列求和，不能照搬倒序相加的方法，而是要挖掘此方法的本質(zhì)，即求和的根本目的.

問題3：求和的根本目的是什么？思路：為了看清式子的特點，我們不妨把各項都用首項和公比來表示問題4：觀察①

式，相鄰兩項有什么特征？怎樣把某一項變成它的后一項？問題5：如何構(gòu)造另一個式子，與原式相減后可以消除中間項？

Sn=已知等比數(shù)列{an}的首項為a1,公比為q,則Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1

(1)qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1

+a1qn

(2)兩式相減有(1–q)Sn=a1–a1qn

（錯位相減法）當(dāng)q=1時，當(dāng)q≠1時，?a1+a2+a3+…….+an-1+an溫馨提示：公比不明確怎么辦？等比數(shù)列{an}的前n項和公式：想一想：還有其它推導(dǎo)方法嗎？等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)(一)用等比定理推導(dǎo)當(dāng)q=1

時Sn=na1因為所以或?qū)W習(xí)新知（用等比定理推導(dǎo)）（用等比定理推導(dǎo)）∵方法2：即（分母不為0）借助和式的代數(shù)特征進行恒等變形方法3：方程思想前n項和公式：兩個公式共有5個基本量:可知“三求二”.

通項公式：或

例1（2）想一想：若

整理，得所以主要內(nèi)容:主要思想方法：分類討論、方程思想、整體思想、錯位相減方法等比數(shù)列

的前n項和公式的推導(dǎo)及運用小結(jié)反思升華素養(yǎng)或這些你都記得嗎?注意：（1）等比數(shù)列前n項和公式，對于公比未知的等比數(shù)列，應(yīng)用等比數(shù)列的前n項和公式時，需討論公比是否為1；（2）等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)：錯位相減法；（3）數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用:①方程思想:等比數(shù)列求和問題中的“知三求二”問題就是方程思想的重要體現(xiàn)；②分類討論思想：由等比數(shù)列前n項和公式可知，解答等比數(shù)列求和問題時常常要用到分類討論思想.備選例題若數(shù)列{an}是各項為正的等比數(shù)列，前n項和為80，其中最大項為54，前2n項和為6560，求S100.解：由已知得，①②由②÷①得代入①得：∴{an}是遞增數(shù)列.∴最大項