人教版高中必修1案例教學設計資料匯總

集合與函數概念

吉林省延邊二中周國華

一、教材分析

集合語言是現代數學的基本語言，使用集合語言，可以簡潔、準確地表達數學的一些

內容.本章中只將集合作為一種語言來學習，學生將學會使用最基本的集合語言去表示有

關的數學對象，發展運用數學語言進行交流的能力.

函數的學習促使學生的數學思維方式發生了重大的轉變：思維從靜止走向了運動、從

運算轉向了關系.函數是高中數學的核心內容，是高中數學課程的一個基本主線，有了這

條主線就可以把數學知識編織在一起，這樣可以使我們對知識的掌握更牢固一些.函數與

不等式、數列、導數、立體、解析、算法、概率、選修中的很多專題內容有著密切的聯

系.用函數的思想去理解這些內容，是非常重要的出發點.反過來，通過這些內容的學

習，加深了對函數思想的認識.函數的思想方法貫穿于高中數學課程的始終.高中數學課

程中，函數有許多下位知識，如必修1第二章的幕、指、對函數數，在必修四將學習三角

函數.函數是描述客觀世界變化規律的重要數學模型.

二、學情分析

1.學生的作業與試卷部分缺失，導致易錯問題分析不全面.通過布置易錯點分析的任

務，讓學生意識到保留資料的重要性.

2.學生學基本功較扎實，學習態度較端正，有一定的自主學習能力.但是沒有養成及

時復習的習慣，有些內容已經淡忘.通過自主梳理知識，讓學生感受復習的必要性，培養

學生良好的復習習慣.

3.在研究例4時，對分類的情況研究的不全面.為了突破這個難點，應用幾何畫板制

作了課件，給學生形象、直觀的感知，體會二次函數對稱軸與所給的區間的位置關系是解

決這類問題的關鍵.

三、設計思路

本節課新課中滲透的理念是：“強調過程教學，啟發思維，調動學生學習數學的積極

性”.在本節課的學習過程中，教師沒有把梳理好的知識展示給學生，而是讓學生自己進

行知識的梳理.一方讓學生體會到知識網絡化的必要性，另一方面希望學生養成知識梳理

的習慣.在本節課中不斷提出問題，采取問題驅動，引導學生積極思考，讓學生全面參

與，整個教學過程尊重學生的思維方式，引導學生在“最近發展區”發現問題、解決問

題.通過自主分析、交流合作，從而進行有機建構，解決問題，改變學生模仿式的學習方

式.在教學過程中，滲透了特殊到一般的思想、數形結合思想、函數與方程思想.在教學

過程中通過恰當的應用信息技術，從而突破難點.

四、教學目標分析

（一）知識與技能

1.了解集合的含義與表示，理解集合間的基本關系，集合的基本運算.

A：能從集合間的運算分析出集合的基本關系.B：對于分類討論問題，能區分取交還是取

并.

2.理解函數的定義，掌握函數的基本性質，會運用函數的圖象理解和研究函數的性

質.

A：會用定義證明函數的單調性、奇偶性.B：會分析函數的單調性、奇偶性、對稱性的關

系.

（二）過程與方法

1.通過學生自主知識梳理，了解自己學習的不足，明確知識的來龍去脈，把學習的內

容網絡化、系統化.

2.在解決問題的過程中，學生通過自主探究、合作交流，領悟知識的橫、縱向聯系，

體會集合與函數的本質.

（三）情感態度與價值觀

在學生自主整理知識結構的過程中，認識到材料整理的必要性，從而形成及時反思的

學習習慣，獨立獲取數學知識的能力.在解決問題的過程中，學生感受到成功的喜悅，樹

立學好數學的信心.在例4的解答過程中，滲透動靜結合的思想，讓學生養成理性思維的

品質.

五、重難點分析

重點：掌握知識之間的聯系，洞悉問題的考察點，能選擇合適的知識與方法解決問

題.

難點：含參問題的討論，函數性質之間的關系.

六.知識梳理（約10分鐘）

提出問題

問題1:把本章的知識結構用框圖形式表示出來.

問題2：一個集合中的元素應當是確定的、互異的、無序的，你能結合具體實例說明

集合的這些基本要求嗎？

問題3：類比兩個數的關系，思考兩個集合之間的基本關系.類比兩個數的運算，思

考兩個集合之間的基本運算，交、并、補.

問題4：通過本章學習，你對函數概念有什么新的認識和體會嗎？

請結合具體實例分析，表示函數的三種方法，每一種方法的特點.

問題5：分析研究函數的方向，它們之間的聯系.

在前一次晚自習上，學生相互展示自己的結果，通過相互討論，每組提供最佳的方

案.在自己的原有方案的基礎上進行補充與完善.

學生回答問題要點預設如下：

1.集合語言可以簡潔準確表達數學內容.

2.運用集合與對應進一步描述了函數的概念，與初中的函數的定義比較，突出了函數

的本質函數是描述變量之間依賴關系的重要數學模型.

3.函數的表示方法主要有三種，這三種表示方法有各自的適用范圍，要根據具體情況

選用.

4.研究函數的性質時，一般先從幾何直觀觀察圖象入手，然后運用自然語言描述函數

的圖象特征，最后抽象到用數學符號刻畫相應的數量特征，也是數學學習和研究中經常使

用的方法.

設計意圖：通過布置任務，讓學生充分的認識自己在學習的過程中，哪些知識學習的

不透徹.讓學生更有針對的進行復習，讓復習進行的更有效.讓學生體會到知識的橫向聯

系與縱向聯系.通過類比初中與高中兩種函數的定義，讓學生體會到兩種函數的定義本質

是一樣的.

七、易錯點分析（約3分鐘）

問題6：集合中的易錯問題，函數中的易錯問題?主要是作業、訓練、考試中出現的問

題？

（任務提前布置，由課代表匯總，并且在教學課件中體現.教師不進行修改，呈現的是原始

的）

教師展示學和成果并進行點評.

對于問題6主要由學生討論分析，并回答，其他學生補充.這個過程盡量由學生來完

成，教師可以適應的引導與點評.

設計意圖：讓學生學會避開命題者制造的陷阱，通過不斷的分析，讓學生了解問題出

現的根源，充分暴露自己的思維，在交流與合作的過程中，改進自己的不足，加深對錯誤

的認識.通過交流了解別人的錯誤，自己避免出現類似的錯誤.

八、考察點分析（約5分鐘）

問題7：分析集合中的考察點，函數中的考察點.

問題8：知識的橫縱聯系.

學生回答問題要點預設如下:

1.集合中元素的互異性.

2.AQB,則集合A可以是空集.

3.交集與并集的區分，即何時取交，何時取并，特別是含參的分類討論問題.

4.函數的單調性與奇偶性的證明.

5.作業與試卷中出現的問題.

6.學生分析本章的考察點，主要分析考察的知識點、思想方法等方面.

設計意圖：讓學生了解考察點，才能知道命題者的考察意圖，才能選擇合適的知識與

思想方法來解答.例如如果試題中出現集合，無論試題以什么形式出現，考察點基本是集

合間的基本關系、集合的運算.

九、典型問題分析

例1：設集合，=(x|/+4x=0}

B-a|W+2(a+l)x+=(I)若3=/,求實數a的值；

(2)若幺。3=3,求a的值;

(3)若5113=8,求a的值.教師點評，同時板書.

(1)答案：或a=l；

(2)答案：a=1或aVI；

⑶答案：a=l.

由學生分析問題的考察點，包括知識與數學思想.(預設有以下幾個方面)從知識點

來分析，這是集合問題.考察點主要為集合的表示方法、集合中元素的特性、集合間的基

本關系、集合的運算等.學生在解第1個問時，可能漏掉特殊情況.第2、3問可能會遇到

一定的障礙，可以給學生時間進行充分的思考.

設計意圖：讓學生體會到分析考察點的好處，養成解題之前分析考察點的習慣.能順

利的找到問題的突破口，為后續的解答掃清障礙.通過一題多問、一題多解、多題歸一，

讓學生主動的形成發散思維，主動應用轉化與化歸的思想.

例2：已知函數JO)是定義在R上的奇函數，當xNO時，

/(X)=X(1+K),求函數的解析式.

變式：函數是偶函數

教師對生回答進行點評.并板書.

x(1+x),x20

xO-x),x<0

學生分析考察點、解題思路，如果不完善，其他學生補充.

學生回答問題要點預設如下：

1.考察點為函數的奇偶性與函數圖象的關系.

2.函數的奇偶性的定義.

3.轉化與化歸的思想.

法一：本題即求X<0,函數的解析式，可先利用函數的奇偶性繪制函數的圖象，把本題

轉化為二次函數的圖象與解析式的問題.

法二：本法更具有一般性，已知

X20時，函數的解析式，要分析x<0時的函數對應關系，即當一個數小于零時，函數值

應當怎樣計算.由于函數具有奇偶性，即一個數與它的相反數的函數值之間有關系，

-x>0,所以可以研究一x的函數值.

設計意圖：學生在思考的過程中，體會數形結合思想.函數的奇偶性與函數的圖象的

關系，可以根據奇偶性繪制函數圖象，也可以通過函數的圖象分析函數的奇偶性，兩者是

相輔相承的.體會轉化與化歸的思想，把要研究的轉化為已知的.考察函數的單調性的證

明，函數的奇偶性與單調性之間的關系，體會知識的縱向聯系.體會轉化與化歸的思想、

特殊與一般的數學思想，讓學生體會到問題后面隱含的本質.

例3：已知/（＞）是偶函數，而且在（0，-8）上是減函數，判斷了（＞）在（-8,0）上是增函數

還是減函數，并證明你的判斷.

變式1:函數為奇函數

變式2：你能分析奇函數（偶函數）在對稱區間上的單調性的關系嗎?試從數形兩個方面來分

析.

學生分析考察點、解題思路，如果不完善，其他學生補充.

學生回答問題要點預設如下：

1.考察點為函數的奇偶性與單調性的關系.

2.函數的單調性的定義.

3.數形結合、轉化與化歸的思想.

法一：通過函數的圖象分析.

法二：把要研究的范圍轉化為已知的范圍.

設計意圖：明確函數的性質是一個有機的整體，不是一個個知識點的簡單羅列.同時

體會知識的縱向聯系與橫向聯系，在第二個方法中進一步感受轉化與的思想.通過兩個變

式的研究過程，學生體會研究探索性問題的一般思路，即通過特殊情況分析結果，再對結

果的正確性進行證明.

例4：求/(x)=--2a-lx-1在區間［0,2］上的最大值和最小值.

(_3

變式：/(x)=4+(2a?1)x-3在區間I2,」上的最大值是1,求4的值.

教師用幾何畫板演示，二次函數對稱軸的變化對函數的最值的影響.

答案：a<0時，最大值是3-牝，最小值是-l；0Wa<0時，最大值是3-4a,最小值

是一1-a'；lMa￡2時，最大值是一1,最小值是>2時，最大值是-1,最小值

是3-4a.

-a=-1(3+272)

變式答案:4或2

學生通過直觀的演示，思考問題的考察點與解答策略.

學生回答考察點分析(預設):

1.二次函數的圖象與性質.

2.分類與整合.

3.逆向思維.

學生回答解題思路分析（預設）：

研究二次函數的對稱軸方程與所給的區間的關系.

設計意圖：通過幾何畫板的動態性，給學生直觀的感知，從而建立最近發展區，進而

突破難點.

通過對二次函數的研究，學生鞏固了上位知識函數的圖象與性質，充分體會數形結合

的優勢.學生在解答變式的過程中，體會逆向思維與正向思維的關系，體會函數與方程思

想，感受到動靜結合.

十、課后小結

1.知識網絡

2.知識的來龍去脈

3.問題中體現的數學思想

4.分析問題的基本思路

學生總結，教師板書.

設計意圖：讓學生把知識竄串，形成網絡，能迅速而準確的選用知識來解答問題.

十一、課后總結

鞏固所學，補充課上的不足.主要是本節課中沒有涉及的問題，本節課中理解有困難

的問題.

1.已知人力是定義在R上的函數，設隊’2,二

（1）試判斷以（脂反。的奇偶性；（2）試判斷鼠。第1）與門力的關系；

（3）由此你猜想得出什么樣的結論，并說明理由？

2.設函數了（x）=x'+|x-2|+l,xeR,

（1）討論/（X）的奇偶性；（2）求/（X）的最小值.

3.己知集合4=（刀|/_皿+“_】9=。），3=3|1y_?+6=0）,

C=（Z|Z3+2Z-8=0）,是否存在實數冽，同時滿足/n3w0./nc=0.

4.將長度為20C7M的鐵絲分成兩段，分別圍成一個正方形和一個圓，要使正方形與圓的面

積之和最小，正方形的周長應為多少？

十二、教學反思

在復習課中，教師要充分調動學生學習的自主性，讓學生獨立制定出適合自己的知識

結構、整理出自己在本章學習中出現的問題.在課堂上，學生通過交流與合作，體會解決

問題成功的喜悅.從而養成良好的學習習慣、樹立信心.感受知識的橫向聯系與縱向聯

系，洞悉知識的本質、問題的根源，從而形成深刻的印象，少出現或避免出現類似的問

題.通過分析知識的來龍去脈，明確知識的用途.通過典型題分析，回顧主干知識，重要

的數學思想，感受知識與數學思想的有機融合.

函數的單調性

北京景山學校許云堯

【教學目標】

1.使學生從形與數兩方面理解函數單調性的概念，初步掌握利用函數圖象和單調

性定義判斷、證明函數單調性的方法.

2.通過對函數單調性定義的探究，滲透數形結合數學思想方法，培養學生觀察、歸

納、抽象的能力和語言表達能力；通過對函數單調性的證明，提高學生的推理論證能力.

3.通過知識的探究過程培養學生細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣，

讓學生經歷從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程.

【教學重點】函數單調性的概念、判斷及證明.

【教學難點】歸納抽象函數單調性的定義以及根據定義證明函數的單調性.

【教學方法】教師啟發講授，學生探究學習.

【教學手段】計算機、投影儀.

【教學過程】

一、創設情境，引入課題

課前布置任務：

(1)由于某種原因，2008年北京奧運會開幕式時間由原定的7月25日推遲到8月8

日，請查閱資料說明做出這個決定的主要原因.

(2)通過查閱歷史資料研究北京奧運會開幕式當天氣溫變化情況.

課上通過交流，可以了解到開幕式推遲主要是天氣的原因，北京的天氣到8月中旬，

平均氣溫、平均降雨量和平均降雨天數等均開始下降，比較適宜大型國際體育賽事.

下圖是北京市今年8月8日一天24小時內氣溫隨時間變化的曲線圖.

T(°C),

32

31

30

29

居

〃

M

2M5

。1I234s678910II1213M1516171819加212223Mt(時)

引導學生識圖，捕捉信息，啟發學生思考.

問題：觀察圖形，能得到什么信息？

預案：(1)當天的最高溫度、最低溫度以及何時達到：

(2)在某時刻的溫度：

(3)某些時段溫度升高，某些時段溫度降低.

在生活中，我們關心很多數據的變化規律，了解這些數據的變化規律，對我們的生活

是很有幫助的.

問題：還能舉出生活中其他的數據變化情況嗎？

預案：水位高低、燃油價格、股票價格等.

歸納：用函數觀點看，其實就是隨著自變量的變化，函數值是變大還是變小.

K設計意圖》由生活情境引入新課，激發興趣.

二、歸納探索，形成概念

對于自變量變化時，函數值是變大還是變小，初中同學們就有了一定的認識，但是沒

有嚴格的定義，今天我們的任務首先就是建立函數單調性的嚴格定義.

1.借助圖象，直觀感知

y=x+2,/=-x+2,y=xl,y=—

問題1：分別作出函數x的圖象，并且觀察自變

量變化時，函數值有什么變化規律？

預案：（1）函數丁=X+2在整個定義域內y隨x的增大而增大；函數尸=一4+2在整

個定義域內y隨x的增大而減小.

（2）函數尸=/在〔°，*°）上y隨x的增大而增大，在（-8,0）上了隨入的增大而減小.

1

（3）函數-在（0?+8）上y隨x的增大而減小，在（-8.0）上y隨x的增大而減小.

引導學生進行分類描述（增函數、減函數）.同時明確函數的單調性是對定義域內某

個區間而言的，是函數的局部性質.

問題2：能不能根據自己的理解說說什么是增函數、減函數？

預案：如果函數J。）在某個區間上隨自變量A■的增大，y也越來越大，我們說函數

/*）在該區間上為增函數；如果函數了（乃在某個區間上隨自變量x的增大，y越來越

小，我們說函數了（X）在該區間上為減函數.

教師指出：這種認識是從圖象的角度得到的，是對函數單調性的直觀，描述性的認

識.

K設計意圖】從圖象直觀感知函數單調性，完成對函數單調性的第一次認識.

2.探究規律，理性認識

2,小

y=x+—（x>0）

問題1：下圖是函數x的圖象，能說出這個函數分別在哪個區間為增函

數和減函數嗎？

學生的困難是難以確定分界點的確切位置.

通過討論，使學生感受到用函數圖象判斷函數單調性雖然比較直觀，但有時不夠精

確，需要結合解析式進行嚴密化、精確化的研究.

K設計意圖1使學生體會到用數量大小關系嚴格表述函數單調性的必要性.

問題2：如何從解析式的角度說明/（x）=X'在為增函數？

預案：（1）在給定區間內取兩個數，例如1和2,因為所以在

[0,*。）為增函數.

（2）仿（1）,取很多組驗證均滿足，所以了（."）=?在[°，田）為增函數.

（3）任取州,血€[0.-H0）.且M<勺，因為X：-XJ=（X1+與）。1-<0,即

X1<X2,所以/（X）=X在為增函數.

對于學生錯誤的回答，引導學生分別用圖形語言和文字語言進行辨析,使學生認識到

問題的根源在于自變量不可能被窮舉，從而引導學生在給定的區間內任意取兩個自變量

工設計意圖H把對單調性的認識由感性上升到理性認識的高度,完成對概念的第二次

認識.事實上也給出了證明單調性的方法，為證明單調性做好鋪墊.

3.抽象思維，形成概念

問題：你能用準確的數學符號語言表述出增函數的定義嗎？

師生共同探究，得出增函數嚴格的定義，然后學生類比得出減函數的定義.

（1）板書定義

（2）鞏固概念

判斷題：

已知/（X）=」.因卻（-1）〈/⑵，所以屈蜘（X）是增函數

①X

②若函數〃x）滿足〃2）</（牝則函如。應區|可23]±為增函數.

③若函數/（X）在區間QZ和（2,3）上均為增函數，則函數了⑶在區間（1,3）上為增

函數.

/（x）aA/（x）=1

④因為函數」’’-X在區間（-00）和（°，+°。）上都是減函數，所以‘’"X在

（-8,0）U（0,-KO）上是減函數.

通過判斷題，強調三點：

①單調性是對定義域內某個區間而言的，離開了定義域和相應區間就談不上單調性.

②對于某個具體函數的單調區間，可以是整個定義域（如一次函數），可以是定義域內

某個區間（如二次函數），也可以根本不單調（如常函數）.

③函數在定義域內的兩個區間46上都是增（或減）函數，一般不能認為函數在

/UB上是增（或減）函數.

思考：如何說明一個函數在某個區間上不是單調函數？

K設計意圖】讓學生由特殊到一般，從具體到抽象歸納出單調性的定義，通過對判斷

題的辨析，加深學生對定義的理解，完成對概念的第三次認識.

三、掌握證法，適當延展

2

例證明函數一3-'；在（3，*°）上是增函數.

1.分析解決問題針對學生可能出現的問題，組織學生討論、交流.

證明：任取X1?X2￡（及??8）.且為＜與，設元

X】X]求差

=（毛-^a）+（---）

X1X2變形

=(Xi-xa)(l--)

—

Xi丐

斷號

■：J2<x,<x3.

xt-x3<0,^X3>2,

】）-/（即/

.?J（xX2）<0,5）<f（x3）,

2

函數'x-"輸在（匾,田）上是增函數.定論

2.歸納解題步驟

引導學生歸納證明函數單調性的步驟：設元、作差、變形、斷號、定論.

練習：證明函數/（X）=石在［0.+8）上是增函數.

問題：要證明函數/*）在區間（43上是增函數，除了用定義來證，如果可以證得

對任意的X1，4e（a,b）,且ANX?有工2-%可以嗎？

引導學生分析這種敘述與定義的等價性.讓學生嘗試用這種等價形式證明函數

/（X）=J7在［0.48）上是增函數.

K設計意圖》初步掌握根據定義證明函數單調性的方法和步驟.等價形式進一步發展

可以得到導數法，為用導數方法研究函數單調性埋下伏筆.

四、歸納小結，提高認識

學生交流在本節課學習中的體會、收獲，交流學習過程中的體驗和感受，師生合作共

同完成小結.

1.小結

(1)概念探究過程：直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性.

(2)證明方法和步驟：設元、作差、變形、斷號、定論.

(3)數學思想方法和思維方法：數形結合，等價轉化，類比等.

2.作業

書面作業：課本第60頁習題2.3第4,5,6題.

課后探究：

(1)證明：函數/(X)在區間(°演)上是增函數的充要條件是對任意的

〃了+町?/5)>0

x.x+heg.b),且AwO.有h

>?=x+—(x>0)

(2)研究函數-X'的單調性，并結合描點法畫出函數的草圖.

《函數的單調性》教學設計說明

一、教學內容的分析

函數的單調性是學生在了解函數概念后學習的函數的第一個性質，是函數學習中第一

個用數學符號語言刻畫的概念，為進一步學習函數其它性質提供了方法依據.

對于函數單調性，學生的認知困難主要在兩個方面：(1)要求用準確的數學符號語

言去刻畫圖象的上升與下降，這種由形到數的翻譯，從直觀到抽象的轉變對高一的學生是

比較困難的；(2)單調性的證明是學生在函數內容中首次接觸到的代數論證內容，而學生

在代數方面的推理論證能力是比較薄弱的.根據以上的分析和教學大綱的要求，確定了本

節課的重點和難點.

二、教學目標的確定

根據本課教材的特點、教學大綱對本節課的教學要求以及學生的認知水平，從三個不

同的方面確定了教學目標，重視單調性概念的形成過程和對概念本質的認識；強調判斷、

證明函數單調性的方法的落實以及數形結合思想的滲透；突出語言表達能力、推理論證能

力的培養和良好思維習慣的養成.

三、教學方法和教學手段的選擇

本節課是函數單調性的起始課，采用教師啟發講授，學生探究學習的教學方法，通過

創設情境，引導探究，師生交流，最終形成概念，獲得方法.本節課使用了多媒體投影和

計算機來輔助教學，目的是充分發揮其快捷、生動、形象的特點，為學生提供直觀感性的

材料，有助于學生對問題的理解和認識.

四、教學過程的設計

為達到本節課的教學目標，突出重點，突破難點，教學上采取了以下的措施：

(1)在探索概念階段，讓學生經歷從直觀到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的

認知過程，完成對單調性定義的三次認識，使得學生對概念的認識不斷深入.

(2)在應用概念階段，通過對證明過程的分析，幫助學生掌握用定義證明函數單調性

的方法和步驟.

(3)考慮到我校學生數學基礎較好、思維較為活躍的特點，對判斷方法進行適當的

延展，加深對定義的理解，同時也為用導數研究單調性埋下伏筆.

”方程的根與函數的零點”教學設計(2)

劉宗良

內容和內容解析

本節內容有函數零點概念、函數零點與相應方程根的關系、函數零點存在

性定理.

函數零點是研究當函數/(X)的值為零時，相應的自變量X的取值，反映在函

數圖象上，也就是函數圖象與，軸的交點橫坐標.

由于函數/(X)的值為零亦即其本身已是方程的形式，因而函數的

零點必然與方程有著不可分割的聯系，事實上，若方程了(燈?°有解，則函數

存在零點，且方程的根就是相應函數的零點，也是函數圖象與，軸的交點

橫坐標.順理成章的，方程的求解問題，可以轉化為求函數零點的問題.這是

函數與方程關系認識的第一步.

零點存在性定理，是函數在某區間上存在零點的充分不必要條件.如果函

數了一/⑶在區間1物上的圖象是一條連續不斷的曲線，并且滿足

f（a）?f（8）＜0,則函數尸?/（丫）在區間（a,6）內至少有一個零點，但零點的個

數，需結合函數的單調性等性質進行判斷.定理的逆命題不成立.

方程的根與函數零點的研究方法，符合從特殊到一般的認識規律，從特殊

的、具體的二次函數入手，建立二次函數的零點與相應二次方程的聯系，然后

將其推廣到一般的、抽象的函數與相應方程的情形；零點存在性的研究，也同

樣采用了類似的方法，同時還使用了“數形結合思想”及“轉化與化歸思

想”.

方程的根與函數零點的關系研究，不僅為“用二分法求方程的近似解”的

學習做好準備，而且揭示了方程與函數之間的本質聯系，這種聯系正是中學數

學重要思想方法一一“函數與方程思想”的理論基礎.可見，函數零點概念在

中學數學中具有核心地位.

本節的教學重點是，方程的根與函數零點的關系、函數零點存在性定理.

目標和目標解析

通過本課教學，要求學生：理解并掌握方程的根與相應函數零點的關系，

在此基礎上，學會將求方程的根的問題轉化為求相應函數零點的問題；理解零

點存在性定理，并能初步確定具體函數存在零點的區間.

1.能夠結合具體方程（如二次方程），說明方程的根、相應函數圖象與，

軸的交點橫坐標以及相應函數零點的關系；

2.正確理解函數零點存在性定理：了解圖象連續不斷的意義及作用；知道

定理只是函數存在零點的一個充分條件；了解函數零點只能不止一個；

3.能利用函數圖象和性質判斷某些函數的零點個數；

4.能順利將一個方程求解問題轉化為一個函數零點問題，寫出與方程對應

的函數；并會判斷存在零點的區間（可使用計算器）.

三.教學問題診斷分析

學生已有的認知基礎是，初中學習過二次函數圖象和二次方程，并且解過“當函數值為0時，求相應自變

量的值”的問題，初步認識到二次方程與二次函數的聯系，對二次函數圖象與，軸是否相交，也有一些直

觀的認識與體會.在高中階段，已經學習了函數概念與性質，掌握了部分基本初等函數的圖象與性質.

教學的重點是方程的根與函數零點的關系及零點存在性定理的深入理解與應用.

以二次方程及相應的二次函數為例，引入函數零點的概念，說明方程的根與函數零點的關系，學生并不會

覺得困難.學生學習的難點是準確理解零點存在性定理，并針對具體函數（或方程），能求出存在零點

（或根）的區間.

教學過程中，通過引導學生通過探究，發現方程的根與函數零點的關系；

而零點存在性定理的教學，則應引導學生觀察函數圖象與，軸的交點的情況，

來研究函數零點的情況，通過研究：①函數圖象不連續；②③

/⑷小）＜。,函數在區間上不單調;④/⑷/⑼函數在區間上單調,等各

種情況，加深學生對零點存在性定理的理解.

四.教學支持條件分析

本節教學目標的實現，需要借助計算機或者計算器，一方面是繪制函數圖象，通過觀察圖象加深方程的

根、函數零點以及同時函數圖象與工軸的交點的關系；另一方面，判斷零點所在區間過程中，一些函數值

的計算也必須借助計算機或計算器.

五.教學過程設計

1.方程的根與相應函數圖象的關系

復習總結一元二次方程與相應函數與X軸的交點及其坐標的關系：

A：UA-0A<0

一元二次方程根的個

數

圖象與X軸交點個數

圖象與X軸交點坐標

意圖：回顧二次函數圖象與，軸的交點和相應方程的根的關系，為一般函數及相應方程關系作準備.

問題一、上述結論對其他函數成立嗎？為什么？

在《幾何畫板》下展示如下函數的圖象：

y=2x-4「=(x-l)(x+2)(x-3)y=(/7)(x+2)(2x-6)￥=2"-8、

y=!n[x-2)

比較函數圖象與x軸的交點和相應方程的根的關系。

函數尸?/卜)的圖象與x軸交點，即當了(燈-0,該方程有幾個根，/卜)的圖象與X軸就有幾個

交點，且方程的根就是交點的橫坐標.

意圖：通過各種函數，將結論推廣到一般函數。

2.函數零點概念

對于函數把使了田一°的實數，叫做函數了?/(工)的零點.

說明：函數零點不是一個點，而是具體的自變量的取值.

3.方程的根與函數零點的關系

方程/(x)■。有實數根函數了■/(x)的圖象與x軸有交點函數F-/(x)有零

點

以上關系說明：函數與方程有著密切的聯系，從而有些方程問題可以轉化

為函數問題來求解，同樣，函數問題有時也可轉化為方程問題.這正是函數與

方程思想的基礎.

4.零點存在性定理

問題二、觀察圖象(氣溫變化圖)片段，根據該圖象片段，將其補充成完

整函數圖象，并問：是否有某時刻的溫度為0℃?為什么？(假設氣溫是連續

變化的)

意圖：通過類比得出零點存在性定理.

給出零點存在性定理：如果函數y-fW在區間上的圖象是連續不斷一

條曲線，并且有那么，函數了-/⑴在區間色⑼內有零點.即存在

。€（叫,使得今）?0,這個C也就是方程/付?0的根.

問題三、不是連續函數結論還成立嗎？請舉例說明。

^=-+2

在《幾何畫板》下結合函數x的圖象說明。

問題四、若/（a）,?",函數在區間在上一定沒有零點嗎？

問題五、若‘（a）,e）＜0,函數了?/卜）在區間在上只有一個零點嗎？可

能有幾個？

問題六、/（司/0）＜°時，增加什么條件可確定函數了一/（X）在區間在口玨上

只有一個零點？

在《幾何畫板》下結合函數y=x'+2P-2--2x的圖象說明問題四、五、

八。

意圖：通過四個問題使學生準確理解零點存在性定理.

5.例題：求函數」門）=^^+2/-6的零點的個數.

問題七、能否確定一個區間，使函數在該區間內有零點.

問題八、該函數有幾個零點？為什么？

意圖：通過例題分析，學會用零點存在性定理確定零點存在區間，并且結

合函數性質，判斷零點個數的方法.

六.目標檢測設計

1.已知函數f(X)的圖象是連續不斷的，且有如下對應值表，則函數在哪幾

個區間內有零點？為什么？

X1234610

f⑻20-5.5-2618-3

2.函數，(X)=(?4)(X-4)(X+2)在區間［_5,6］上是否存在零點？若存

在，有幾個？

3.利用函數圖象判斷下列方程有幾個根

⑴2x(x-2)=-3

(2)e""+4=4x

4.指出下列函數零點所在的大致區間

(1)〃X)=T3-3X+5

(2)/(x)=3(X+2)(X-3)(X+4)+X

最后，師生共同小結(略)

思考題：函數/(x)=bx+2x-6的零點在區間23］內有零點，如何求出這

個零點？設計意圖：為下一節“二分法”的學習做準備.

指數函數說課稿

塘沽一中闞學雯

我本節課說課的內容是高中數學第一冊第二章第六節“指數函數”的第一課時一一指

數函數的定義，圖像及性質。我將嘗試運用新課標的理念指導本節課的教學。新課標指

出，學生是教學的主體，教師的教要應本著從學生的認知規律出發，以學生活動為主線,

在原有知識的基礎上，建構新的知識體系。我將以此為基礎從教材分析，教學目標分析，

教法學法分析和教學過程分析這幾個方面加以說明。

一、教材分析

1、教材的地位和作用

函數是高中數學學習的重點和難點，函數的思想貫穿于整個高中數學之中。本節課是

學生在已掌握了函數的一般性質和簡單的指數運算的基礎上，進一步研究指數函數，以及

指數函數的圖像與性質，它一方面可以進一步深化學生對函數概念的理解與認識，使學生

得到較系統的函數知識和研究函數的方法，同時也為今后進一步熟悉函數的性質和作用，

研究對數函數以及等比數列的性質打下堅實的基礎。因此，本節課的內容十分重要，它對

知識起到了承上啟下的作用。

2、教學的重點和難點

根據這一節課的內容特點以及學生的實際情況,學生對抽象的指數函數及其圖象缺乏

感性認識。為此，在教學過程中讓學生自己去感受指數函數的生成過程以及圖象和性質是

這一堂課的突破口。因此，指數函數的圖像、性質及其運用作為教學重點，本節課的難點

是指數函數圖像和性質的發現過程，及指數函數圖像與底的關系。

3,課前思考與準備

包括學生在學習新課前的知識儲備，和能力儲備，這不意味著我們形式化的給予學生

一個預習任務，所以我將通過課前思考題讓問題引領學生自覺地投入對新知識的探究之

中。我設計了幾個簡單問題，如下:

1、若時，總有意義，求的范圍？

2、計算并完成以下表格

n-3-2-10123

二、教學目標分析

新課標指出教學目標應包括知識目標、能力目標和情感目標這三個方面，而這三維目

標又應是緊密聯系的一個有機整體，學生學會知識與技能的過程也同時成為學生學會學

習，形成正確的價值觀的過程。以此為指導我制定了以下的教學目標

1、知識目標（直接性目標）：理解指數函數的定義，掌握指數函數的圖像、性質及

其簡單應用

2、能力目標（發展性目標）：通過教學培養學生觀察、分析、歸納等思維能力，體

會數形結合和分類討論思想以及從特殊到一般等學習數學的方法，增強識圖用圖的能力

3、情感目標（可持續性目標）：通過學習，使學生學會認識事物的特殊性與一般性

之間的關系，構建和諧的課堂氛圍，培養學生勇于提問，善于探索的思維品質。

三、教法學法分析

1、教法分析

遵循“教師的主導作用和學生的主體地位相統一的教學規律”，本節課我采用引導

發現式的教學方法并充分利用多媒體輔助教學。通過教師在教學過程中的點撥，啟發學生

通過主動觀察、主動思考、動手操作、自主探究來達到對知識的發現和接受。

2、學法分析

本節課所面對的是高中一年級的學生，這個年齡段的學生思維活躍，求知欲強，但

在思維習慣上還有待教師引導，本節課從學生原有的知識和能力出發，教師將帶領學生創

設疑問，通過合作交流、共同探索來尋求解決問題的方法。

四教學過程分析

根據新課標的理念，我把整個的教學過程分為六個階段，即：創設情境，形成概念

發現問題，探求新知深入探究，加深理解強化訓練，鞏固雙基

小結歸納，拓展深化布置作業，提高升華

1、創設情境，形成概念

在本節課的開始，我設計了一個游戲情境，學生分組，通過動手折紙，觀察對折的次

數與所得的層數之間的關系，得出對折次數x與所得層數y的關系式。在學生動手

操作的過程中激發學生學習熱情和探索新知的欲望。此時教師給出指數函數的定義，即形

如(a>0且a#l)的函數稱為指數函數，定義域為R。教師將引導學生探究為什么

定義中規定a>0且a#l呢？對a的范圍的具體分析，有利于學生對指數函數一般形式的掌

握，同時為后面研究函數的圖象和性質埋下了伏筆。在給出學生定義之后可能會有同學感

覺定義的形式十分簡單，此時教師給出問題，打破學生對定義的輕視，你能否判斷下列函

數哪些是指數函數嗎？

(1)(2)(3)(4)

在學生判斷的過程中教師給予適時指導，學生體會哪些是指數函數的過程也是學生頭

腦中不斷完善對定義理解的過程。教師提醒學生指數函數的定義是形式定義,就必須在形式

上一摸一樣才行，進而得出只有(D是指數函數。通過這一環節使學生對定義有了更進一

步的認識。此時教師把問題引向深入，我們要研究一個函數，光有定義是遠遠不夠的，還要

對一個函數的圖像和性質進行進一步的研究。教師帶領學生進入下一個環節一一發現問

題，探求新知。

2、發現問題，探求新知

指數函數是學生在學習了函數基本概念和性質以后接觸到的第一個具體函數，所以在

這部分的安排上我更注重學生思維習慣的養成，即應從哪些方面，那些角度去探索一個具

體函數，所以我設置了以下三個問題，(1)怎樣得到指數函數的圖像？(2)指數函數圖

像的特點(3)通過圖像，你能發現指數函數的那些性質？以這三個問題為載體，帶領學生

進入本節課的發現問題，探求新知階段。這也是本節課的重點環節。

(1)函數圖像

學生分成四個小組，分別完

成通過前面知識的學習，學生可以

較快的通過描點法將圖像畫出，最后教師在多媒體上將這四個圖像給予展示，這樣做既避免

了學生在畫圖過程中占用過多時間又讓學生體會到了合作交流的樂趣。此時教師組織學生

討論，并引導學生觀察圖像的特點，得出a>l和0<a〈l這兩種情況在圖像上的特點。這

里，我將通過幾何畫板的動態演示給予學生更加直觀的體驗，從而得出結論。在此環節

中，學生對具體的函數進行觀察歸納，通過合作交流，加之多媒體的動態演示，將具體化

為抽象，并感受了對底的分類討論的思維方式，從而達到了重點的突破。

（2）根據函數圖像研究函數性質

a>l0<a<l

圖

像

定義域R值域（0,+8）

性恒過（0,1）點

在R上是增函數在R上是減函數

質

我將給出表格，引導學生根據圖像填寫。讓學生充分感受以圖像為基礎研究函數的性

質這一重要的數學思想。表格的完成將會使學生體會到很大的成功感，也將學生思考的熱

情帶入高峰，此時教師再次提出問題，底的變化與圖像位置之間是否也與存在著聯系呢，

由此將帶領學生進入本節課的第三個環節一一深入探究，加深理解，這也是本節課所要突

破的一個難點。

3、深入探究，加深理解

問題的提出將帶領學生進入本節課研究與探索的高潮。學生可能從不同的視角觀察圖

像，從而得出自己發現的規律，但此時教師并不急于給出結論，而是讓學生充分經歷知識

的形成過程，從而形成自己對本節課難點的理解和解決策略，培養學生的直覺和感悟能

力。最后教師通過多媒體，讓學生更直觀的體會指數中圖像的變化規律，即（1）在第一象

限中，隨著底增大圖像位置升高；同時引導學生從對稱性的角度上觀察圖像得到（2）底互

為倒數的兩個函數圖像關于y軸對稱。在這一環節中，通過教師的指引和學生的積極思考

使圖像與低的關系自然浮出水面，而非強加給學生，真正實現本節課難點的突破。

通過前面幾個環節，學生已基本掌握了本節課指數函數的相關知識，此時我將帶領學

生體驗運用新知識去解決問題的樂趣，進入本節課的下一個環節一一當堂訓練，共同提

高。

4、當堂訓練，鞏固雙基

例1：比較下列各題中兩值的大小

01

（1）L72S,173,（2）0.8,0.8初;一一同底指數暴比較大小

同底數基比大小，構造指數函數，利用函數單調性

(3)與(4)與一一不同底但可化同底

(5)(0.3)一叱@2)小一一底不同但同指數

不同底數幕比大小，利用圖像與底之間的關系，結合函數圖像進行比較

(6)1.703,0.931——底不同，指數也不同

利用函數圖像或中間變量進行比較

例2：已知下列不等式，比較的大小：

(1)

(2)

(3)(且)

一本例題詣在對知識的逆用，建立學生的函數思想及分類討論思想。

5、小結歸納，拓展深化

在小結歸納中我將從學生的知識，方法和體驗入手，帶領學生從以下三個方面進行小

結：

(1)通過本節課的學習，你學到了那些知識？

（2）你又掌握了哪些學習方法？

（3）你能將指數函數的學習與實際生活聯系起來嗎？

讓學生在小結中明確本節課的學習內容，強化本節課的學習重點，并為后續學習打下

基礎。所以在這一部分我的設計意圖是回顧知識，拓展深化。

6、布置作業，提高升華

將作業分為必做題和選作題兩個部分，必做題面向全體，注重知識反饋，選作題更注

重知識的延伸性和連貫性，可讓讓有能力的同學去探求。最后我布置兩道思考題

（1）今天我們所學的性質是由觀察圖像得到的，那么這些性質能否通過推理的方法得

到呢?

（2）目的在于讓學生認識到除了通過觀察圖像，演繹推理也是研究數學常用的思想，

將學生思維引領向更高的層次

（2）探究簽合同問題

A先生從今天開始每天給你10萬元,而你承擔如下任務:第一天給A先生1元,第二天

給A先生2元,，第三天給A先生4元,第四天給A先生8元，依次下去，…,A先生要和你簽

定15天的合同,你同意嗎?又A先生要和你簽定30天的合同,你能簽這個合同嗎？

答案：15天的合同可以簽，而30天的合同不能簽.

目的在于讓學生體會指數的增長速度之快，同時讓學生感受指數的用途，激發學生的

興趣。

以上六個環節環環相扣，層層深入，并充分體現教師與學生的交流互動，在教師的整

體調控下，學生通過動手操作，動眼觀察，動腦思考，層層遞進，學生親身經歷了知識的

形成和發展過程，以問題為驅動，使學生對知識的理解逐步深入。而最終的思考題又將激

發學生興趣，帶領學生進入對指數函數更進一步的思考和研究之中，從而達到知識在課堂

以外的延伸。

函數的單調性

湖北省黃石實驗高中楊瑞強

教學目標

知識目標：初步理解增函數、減函數、函數的單調性、單調區間的概念,

并掌握判斷一些簡單函數單調性的方法。

能力目標：啟發學生能夠發現問題和提出問題，學會分析問題和創造地解

決問題；通過觀察一一猜想一一推理一一證明這一重要的思想方法，進一步培

養學生的邏輯推理能力和創新意識。

德育目標：在揭示函數單調性實質的同時進行辯證唯物主義思想教育。：

教學重點：函數單調性的有關概念的理解

教學難點：利用函數單調性的概念判斷或證明函數單調性

教具：多媒體課件、實物投影儀

教學過程:

一、創設情境，導入課題

［引例1］如圖為2006年黃石市元旦24小時內的氣溫變化圖.觀察這張氣

溫變化圖：

問題1：氣溫隨時間的增大如何變化?

問題2：怎樣用數學語言來描述“隨著時間的增大氣溫逐漸升高”這一特

征？

［引例2］觀察二次函數/的圖象，從左向右函數圖象如何變化？并總結

歸納出函數圖象中自變量x和y值之間的變化規律。

結論：（1）y軸左側：逐漸下降；y軸右側：逐漸上升