第1頁（共1頁）普通高等學校招生全國統一考試(全國3卷)文科數學注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號，回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答案卡一并交回。一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給的四個選項中，只有一項符合）1．已知集合，，則（）A． B． C． D．2．（）A． B． C． D．3．中國古建筑借助榫卯將木構件連接起來，構件的凸出部分叫棒頭，凹進部分叫卯眼，圖中木構件右邊的小長方體是棒頭．若如圖擺放的木構件與某一帶卯眼的木構件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構件的俯視圖可以是（）4．若，則（）A． B． C． D．5．若某群體中的成員只用現金支付的概率為0.45，既用現金支付也用非現金支付的概率為0.15，則不用現金支付的概率為（）A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.76．函數 的最小正周期為（）A． B． C． D．7．下列函數中，其圖像與函數的圖像關于直線對稱的是（）A． B． C． D．8．直線分別與軸，軸交于，兩點，點在圓上，則面積的取值范圍是（）A． B． C． D．9．函數的圖像大致為（）10．已知雙曲線（）的離心率為，則點到的漸近線的距離為（）A． B． C． D．11．的內角，，的對邊分別為，，．若的面積為，則（）A． B． C． D．12．設，，，是同一個半徑為4的球的球面上四點，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為（）A． B． C． D．二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．已知向量，，．若，則________．14．某公司有大量客戶，且不同齡段客戶對其服務的評價有較大差異．為了解客戶的評價，該公司準備進行抽樣調查，可供選擇的抽樣方法有簡單隨機抽樣、分層抽樣和系統抽樣，則最合適的抽樣方法是________．15．若變量滿足約束條件則的最大值是________．16．已知函數，，則________．三、解答題（共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟，第17~31題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據要求作答．）（一）必考題：共60分。17．（12分）等比數列中，．⑴求的通項公式；⑵記為的前項和．若，求．18．（12分）某工廠為提高生產效率，開展技術創新活動，提出了完成某項生產任務的兩種新的生產方式．為比較兩種生產方式的效率，選取40名工人，將他們隨機分成兩組，每組20人，第一組工人用第一種生產方式，第二組工人用第二種生產方式．根據工人完成生產任務的工作時間（單位：min）繪制了如下莖葉圖：⑴根據莖葉圖判斷哪種生產方式的效率更高？并說明理由；⑵求40名工人完成生產任務所需時間的中位數，并將完成生產任務所需時間超過和不超過的工人數填入下面的列聯表：超過不超過第一種生產方式第二種生產方式⑶根據⑵中的列表，能否有99%的把握認為兩種生產方式的效率有差異？附：，．19．（12分）如圖，矩形所在平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點．⑴證明：平面平面；⑵在線段上是否存在點，使得平面？說明理由．20．（12分）已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點．線段的中點為．⑴證明：；⑵設為的右焦點，為上一點,且．證明:．21．（12分）已知函數．⑴求由線在點處的切線方程；⑵證明：當時，．（二）選考題：共10分，請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分．22．[選修4—4：坐標系與參數方程]（10分）在平面直角坐標系中，的參數方程為（為參數），過點且傾斜角為的直線與交于兩點．⑴求的取值范圍；⑵求中點的軌跡的參數方程．23．[選修4—5：不等式選講]（10分）設函數．⑴畫出的圖像；⑵當，，求的最小值．高考數學壓軸題小題一．選擇題（共6小題）1．（2018?新課標Ⅱ）已知f（x）是定義域為（﹣∞，+∞）的奇函數，滿足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（）A．﹣50 B．0 C．2 D．502．（2018?新課標Ⅱ）已知F1，F2是橢圓C：=1（a＞b＞0）的左、右焦點，A是C的左頂點，點P在過A且斜率為的直線上，△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P=120°，則C的離心率為（）A． B． C． D．3．（2018?上海）設D是函數1的有限實數集，f（x）是定義在D上的函數，若f（x）的圖象繞原點逆時針旋轉后與原圖象重合，則在以下各項中，f（1）的可能取值只能是（）A． B． C． D．04．（2018?浙江）已知，，是平面向量，是單位向量．若非零向量與的夾角為，向量滿足﹣4?+3=0，則|﹣|的最小值是（）A．﹣1 B．+1 C．2 D．2﹣5．（2018?浙江）已知四棱錐S﹣ABCD的底面是正方形，側棱長均相等，E是線段AB上的點（不含端點）．設SE與BC所成的角為θ1，SE與平面ABCD所成的角為θ2，二面角S﹣AB﹣C的平面角為θ3，則（）A．θ1≤θ2≤θ3 B．θ3≤θ2≤θ1 C．θ1≤θ3≤θ2 D．θ2≤θ3≤θ16．（2018?浙江）函數y=2|x|sin2x的圖象可能是（）A． B． C． D．7．（2018?江蘇）在平面直角坐標系xOy中，若雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦點F（c，0）到一條漸近線的距離為c，則其離心率的值為．8．（2018?江蘇）若函數f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）內有且只有一個零點，則f（x）在[﹣1，1]上的最大值與最小值的和為．9．（2018?天津）已知a＞0，函數f（x）=．若關于x的方程f（x）=ax恰有2個互異的實數解，則a的取值范圍是．10．（2018?北京）已知橢圓M：+=1（a＞b＞0），雙曲線N：﹣=1．若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個交點及橢圓M的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，則橢圓M的離心率為；雙曲線N的離心率為．11．（2018?上海）已知實數x1、x2、y1、y2滿足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，則+的最大值為．12．（2018?上海）已知常數a＞0，函數f（x）=的圖象經過點P（p，），Q（q，）．若2p+q=36pq，則a=．13．（2018?浙江）已知λ∈R，函數f（x）=，當λ=2時，不等式f（x）＜0的解集是．若函數f（x）恰有2個零點，則λ的取值范圍是．14．（2018?浙江）已知點P（0，1），橢圓+y2=m（m＞1）上兩點A，B滿足=2，則當m=時，點B橫坐標的絕對值最大．15．（2018?浙江）從1，3，5，7，9中任取2個數字，從0，2，4，6中任取2個數字，一共可以組成個沒有重復數字的四位數．（用數字作答）三．解答題（共2小題）16．（2018?上海）設常數a∈R，函數f（x）=asin2x+2cos2x．（1）若f（x）為偶函數，求a的值；（2）若f（）=+1，求方程f（x）=1﹣在區間[﹣π，π]上的解．17．（2018?浙江）已知角α的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，它的終邊過點P（﹣，﹣）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β滿足sin（α+β）=，求cosβ的值．

2018年高考數學壓軸題小題參考答案與試題解析一．選擇題（共6小題）1．（2018?新課標Ⅱ）已知f（x）是定義域為（﹣∞，+∞）的奇函數，滿足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（）A．﹣50 B．0 C．2 D．50【解答】解：∵f（x）是奇函數，且f（1﹣x）=f（1+x），∴f（1﹣x）=f（1+x）=﹣f（x﹣1），f（0）=0，則f（x+2）=﹣f（x），則f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即函數f（x）是周期為4的周期函數，∵f（1）=2，∴f（2）=f（0）=0，f（3）=f（1﹣2）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，f（4）=f（0）=0，則f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）=f（1）+f（2）=2+0=2，故選：C．2．（2018?新課標Ⅱ）已知F1，F2是橢圓C：=1（a＞b＞0）的左、右焦點，A是C的左頂點，點P在過A且斜率為的直線上，△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P=120°，則C的離心率為（）A． B． C． D．【解答】解：由題意可知：A（﹣a，0），F1（﹣c，0），F2（c，0），直線AP的方程為：y=（x+a），由∠F1F2P=120°，|PF2|=|F1F2|=2c，則P（2c，c），代入直線AP：c=（2c+a），整理得：a=4c，∴題意的離心率e==．故選：D．3．（2018?上海）設D是函數1的有限實數集，f（x）是定義在D上的函數，若f（x）的圖象繞原點逆時針旋轉后與原圖象重合，則在以下各項中，f（1）的可能取值只能是（）A． B． C． D．0【解答】解：由題意得到：問題相當于圓上由12個點為一組，每次繞原點逆時針旋轉個單位后與下一個點會重合．我們可以通過代入和賦值的方法當f（1）=，，0時，此時得到的圓心角為，，0，然而此時x=0或者x=1時，都有2個y與之對應，而我們知道函數的定義就是要求一個x只能對應一個y，因此只有當x=，此時旋轉，此時滿足一個x只會對應一個y，因此答案就選：B．故選：B．4．（2018?浙江）已知，，是平面向量，是單位向量．若非零向量與的夾角為，向量滿足﹣4?+3=0，則|﹣|的最小值是（）A．﹣1 B．+1 C．2 D．2﹣【解答】解：由﹣4?+3=0，得，∴（）⊥（），如圖，不妨設，則的終點在以（2，0）為圓心，以1為半徑的圓周上，又非零向量與的夾角為，則的終點在不含端點O的兩條射線y=（x＞0）上．不妨以y=為例，則|﹣|的最小值是（2，0）到直線的距離減1．即．故選：A．5．（2018?浙江）已知四棱錐S﹣ABCD的底面是正方形，側棱長均相等，E是線段AB上的點（不含端點）．設SE與BC所成的角為θ1，SE與平面ABCD所成的角為θ2，二面角S﹣AB﹣C的平面角為θ3，則（）A．θ1≤θ2≤θ3 B．θ3≤θ2≤θ1 C．θ1≤θ3≤θ2 D．θ2≤θ3≤θ1【解答】解：∵由題意可知S在底面ABCD的射影為正方形ABCD的中心．過E作EF∥BC，交CD于F，過底面ABCD的中心O作ON⊥EF交EF于N，連接SN，取AB中點M，連接SM，OM，OE，則EN=OM，則θ1=∠SEN，θ2=∠SEO，θ3=∠SMO．顯然，θ1，θ2，θ3均為銳角．∵tanθ1==，tanθ3=，SN≥SO，∴θ1≥θ3，又sinθ3=，sinθ2=，SE≥SM，∴θ3≥θ2．故選：D．6．（2018?浙江）函數y=2|x|sin2x的圖象可能是（）A． B． C． D．【解答】解：根據函數的解析式y=2|x|sin2x，得到：函數的圖象為奇函數，故排除A和B．當x=時，函數的值也為0，故排除C．故選：D．二．填空題（共9小題）7．（2018?江蘇）在平面直角坐標系xOy中，若雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦點F（c，0）到一條漸近線的距離為c，則其離心率的值為2．【解答】解：雙曲線=1（a＞0，b＞0）的右焦點F（c，0）到一條漸近線y=x的距離為c，可得：=b=，可得，即c=2a，所以雙曲線的離心率為：e=．故答案為：2．8．（2018?江蘇）若函數f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）內有且只有一個零點，則f（x）在[﹣1，1]上的最大值與最小值的和為﹣3．【解答】解：∵函數f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）內有且只有一個零點，∴f′（x）=2x（3x﹣a），x∈（0，+∞），①當a≤0時，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0，函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增，f（0）=1，f（x）在（0，+∞）上沒有零點，舍去；②當a＞0時，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0的解為x＞，∴f（x）在（0，）上遞減，在（，+∞）遞增，又f（x）只有一個零點，∴f（）=﹣+1=0，解得a=3，f（x）=2x3﹣3x2+1，f′（x）=6x（x﹣1），x∈[﹣1，1]，f′（x）＞0的解集為（﹣1，0），f（x）在（﹣1，0）上遞增，在（0，1）上遞減，f（﹣1）=﹣4，f（0）=1，f（1）=0，∴f（x）min=f（﹣1）=﹣4，f（x）max=f（0）=1，∴f（x）在[﹣1，1]上的最大值與最小值的和為：f（x）max+f（x）min=﹣4+1=﹣3．9．（2018?天津）已知a＞0，函數f（x）=．若關于x的方程f（x）=ax恰有2個互異的實數解，則a的取值范圍是（4，8）．【解答】解：當x≤0時，由f（x）=ax得x2+2ax+a=ax，得x2+ax+a=0，得a（x+1）=﹣x2，得a=﹣，設g（x）=﹣，則g′（x）=﹣=﹣，由g′（x）＞0得﹣2＜x＜﹣1或﹣1＜x＜0，此時遞增，由g′（x）＜0得x＜﹣2，此時遞減，即當x=﹣2時，g（x）取得極小值為g（﹣2）=4，當x＞0時，由f（x）=ax得﹣x2+2ax﹣2a=ax，得x2﹣ax+2a=0，得a（x﹣2）=x2，當x=2時，方程不成立，當x≠2時，a=設h（x）=，則h′（x）==，由h′（x）＞0得x＞4，此時遞增，由h′（x）＜0得0＜x＜2或2＜x＜4，此時遞減，即當x=4時，h（x）取得極小值為h（4）=8，要使f（x）=ax恰有2個互異的實數解，則由圖象知4＜a＜8，故答案為：（4，8）10．（2018?北京）已知橢圓M：+=1（a＞b＞0），雙曲線N：﹣=1．若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個交點及橢圓M的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，則橢圓M的離心率為；雙曲線N的離心率為2．【解答】解：橢圓M：+=1（a＞b＞0），雙曲線N：﹣=1．若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個交點及橢圓M的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，可得橢圓的焦點坐標（c，0），正六邊形的一個頂點（，），可得：，可得，可得e4﹣8e2+4=0，e∈（0，1），解得e=．同時，雙曲線的漸近線的斜率為，即，可得：，即，可得雙曲線的離心率為e==2．故答案為：；2．11．（2018?上海）已知實數x1、x2、y1、y2滿足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，則+的最大值為+．【解答】解：設A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，可得A，B兩點在圓x2+y2=1上，且?=1×1×cos∠AOB=，即有∠AOB=60°，即三角形OAB為等邊三角形，AB=1，+的幾何意義為點A，B兩點到直線x+y﹣1=0的距離d1與d2之和，顯然A，B在第三象限，AB所在直線與直線x+y=1平行，可設AB：x+y+t=0，（t＞0），由圓心O到直線AB的距離d=，可得2=1，解得t=，即有兩平行線的距離為=，即+的最大值為+，故答案為：+．12．（2018?上海）已知常數a＞0，函數f（x）=的圖象經過點P（p，），Q（q，）．若2p+q=36pq，則a=6．【解答】解：函數f（x）=的圖象經過點P（p，），Q（q，）．則：，整理得：=1，解得：2p+q=a2pq，由于：2p+q=36pq，所以：a2=36，由于a＞0，故：a=6．故答案為：613．（2018?浙江）已知λ∈R，函數f（x）=，當λ=2時，不等式f（x）＜0的解集是{x|1＜x＜4}．若函數f（x）恰有2個零點，則λ的取值范圍是（1，3]∪（4，+∞）．【解答】解：當λ=2時函數f（x）=，顯然x≥2時，不等式x﹣4＜0的解集：{x|2≤x＜4}；x＜2時，不等式f（x）＜0化為：x2﹣4x+3＜0，解得1＜x＜2，綜上，不等式的解集為：{x|1＜x＜4}．函數f（x）恰有2個零點，函數f（x）=的草圖如圖：函數f（x）恰有2個零點，則1＜λ≤3或λ＞4．故答案為：{x|1＜x＜4}；（1，3]∪（4，+∞）．14．（2018?浙江）已知點P（0，1），橢圓+y2=m（m＞1）上兩點A，B滿足=2，則當m=5時，點B橫坐標的絕對值最大．【解答】解：設A（x1，y1），B（x2，y2），由P（0，1），=2，可得﹣x1=2x2，1﹣y1=2（y2﹣1），即有x1=﹣2x2，y1+2y2=3，又x12+4y12=4m，即為x22+y12=m，①x22+4y22=4m，②①﹣②得（y1﹣2y2）（y1+2y2）=﹣3m，可得y1﹣2y2=﹣m，解得y1=，y2=，則m=x22+（）2，即有x22=m﹣（）2==，即有m=5時，x22有最大值4，即點B橫坐標的絕對值最大．故答案為：5．15．（2018?浙江）從1，3，5，7，9中任取2個數字，從0，2，4，6中任取2個數字，一共可以組成1260個沒有重復數字的四位數．（用數字作答）【解答】解：從1，3，5，7，9中任取2個數字有種方法，從2，4，