2023-2024學年北京數學九上期末質量檢測模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．數據4，3，5，3，6，3，4的眾數和中位數是（）A．3，4 B．3，5 C．4，3 D．4，52．如圖，將繞點按逆時針方向旋轉后得到，若，則的度數為（）A． B． C． D．3．如圖，將Rt△ABC（其中∠B=35°，∠C=90°）繞點A按順時針方向旋轉到△AB1C1的位置，使得點C、A、B1在同一條直線上，那么旋轉角等于（）A．55° B．70° C．125° D．145°4．如圖，四邊形OABF中，∠OAB＝∠B＝90°，點A在x軸上，雙曲線過點F，交AB于點E，連接EF．若，S△BEF＝4，則k的值為（）A．6 B．8 C．12 D．165．在同一時刻，身高米的小強在陽光下的影長為米，一棵大樹的影長為米，則樹的高度為（）A．米 B．米 C．米 D．米6．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果，那么的值是()A． B． C． D．37．若數據2，x，4，8的平均數是4，則這組數據的中位數和眾數是（）A．3和2

B．4和2

C．2和2

D．2和48．如圖，以點O為位似中心，把△ABC放大為原圖形的2倍得到△A'B'C'，以下說法中錯誤的是(

)A．△ABC∽△A'B'C' B．點C、點O、點C'三點在同一直線上 C．AO：AA'=1∶2 D．AB∥A'B'9．如圖，AB為⊙O的直徑，PD切⊙O于點C，交AB的延長線于D，且CO=CD，則∠PCA=（）A．30° B．45° C．60° D．67.5°10．已知點P是線段AB的黃金分割點（AP＞PB），AB=4，那么AP的長是（）A． B． C． D．二、填空題(每小題3分,共24分)11．在紙上剪下一個圓和一個扇形紙片，使它們恰好圍成一個圓錐（如圖所示），如果扇形的圓心角為90°，扇形的半徑為4，那么所圍成的圓錐的高為_____．12．已知，是方程的兩實數根，則__．13．拋物線y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，則當y＜0時，x的取值范圍是_____．14．如圖，已知射線，點從B點出發，以每秒1個單位長度沿射線向右運動；同時射線繞點順時針旋轉一周，當射線停止運動時，點隨之停止運動.以為圓心，1個單位長度為半徑畫圓，若運動兩秒后，射線與恰好有且只有一個公共點，則射線旋轉的速度為每秒______度.15．反比例函數y＝的圖象經過點（﹣2，3），則k的值為_____．16．把拋物線沿著軸向左平移3個單位得到的拋物線關系式是_________．17．如圖，圓心都在x軸正半軸上的半圓O1，半圓O2，…，半圓On與直線l相切．設半圓O1，半圓O2，…，半圓On的半徑分別是r1，r2，…，rn，則當直線l與x軸所成銳角為30°，且r1＝1時，r2018＝________.18．如圖，點P在函數y＝的圖象上，PA⊥x軸于點A，PB⊥y軸于點B，且△APB的面積為4，則k等于_____．三、解答題(共66分)19．（10分）計算：2cos45°tan30°cos30°+sin260°．20．（6分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑作⊙O交BC于點D，過點D作AC的垂線交AC于點E，交AB的延長線于點F．（1）求證：DE與⊙O相切；（2）若CD＝BF，AE＝3，求DF的長．21．（6分）二孩政策的落實引起了全社會的關注，某校學生數學興趣小組為了了解本校同學對父母生育二孩的態度，在學校抽取了部分同學對父母生育二孩所持的態度進行了問卷調查，調查分別為非常贊同、贊同、無所謂、不贊同等四種態度，現將調查統計結果制成了兩幅統計圖，請結合兩幅統計圖，回答下列問題：（1）在這次問卷調查中一共抽取了名學生，a=%；（2）請補全條形統計圖；（3）持“不贊同”態度的學生人數的百分比所占扇形的圓心角為度；（4）若該校有3000名學生，請你估計該校學生對父母生育二孩持“贊同”和“非常贊同”兩種態度的人數之和．22．（8分）如圖，AB是⊙O的直徑，弧ED=弧BD，連接ED、BD，延長AE交BD的延長線于點M，過點D作⊙O的切線交AB的延長線于點C．（1）若OACD，求陰影部分的面積；（2）求證：DEDM．23．（8分）如圖為某海域示意圖，其中燈塔D的正東方向有一島嶼C．一艘快艇以每小時20nmile的速度向正東方向航行，到達A處時得燈塔D在東北方向上，繼續航行0.3h，到達B處時測得燈塔D在北偏東30°方向上，同時測得島嶼C恰好在B處的東北方向上，此時快艇與島嶼C的距離是多少？（結果精確到1nmile．參考數據：≈1.41，≈1.73，≈2.45）24．（8分）如圖，要建一個底面積為130平方米的雞場，雞場一邊靠墻(墻長16米)，并在與墻平行的一邊開道1米寬的門，現有能圍成32米長的木板．求雞場的長和寬各是多少米？25．（10分）如圖，∠AED=∠C，DE=4，BC=12，CD=15，AD=3，求AE、BE的長.26．（10分）已知二次函數與軸交于、（在的左側）與軸交于點，連接、.（1）如圖1，點是直線上方拋物線上一點，當面積最大時，點分別為軸上的動點，連接、、，求的周長最小值；（2）如圖2，點關于軸的對稱點為點，將拋物線沿射線的方向平移得到新的拋物線，使得交軸于點（在的左側）.將繞點順時針旋轉至.拋物線的對稱軸上有—動點，坐標系內是否存在一點，使得以、、、為頂點的四邊形是菱形，若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由.

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、A【分析】根據眾數和中位數的定義解答即可．【詳解】解：在這組數據中出現次數最多的是3，即眾數是3；

把這組數據按照從小到大的順序排列3，3，3，4，4，5，6，

∴中位數為4；

故選：A．本題考查一組數據的中位數和眾數，一組數據中出現次數最多的數據叫做眾數；在求中位數時，首先要把這列數字按照從小到大或從的大到小排列，找出中間一個數字或中間兩個數字的平均數即為所求．2、D【分析】由題意可知旋轉角∠BCB′=60°，則根據∠ACB′=∠BCB′+∠ACB即可得出答案．【詳解】解：根據旋轉的定義可知旋轉角∠BCB′=60°，∴∠ACB′=∠BCB′+∠ACB=60°+25°=85°．故選：D．本題主要考查旋轉的定義，解題的關鍵是找到旋轉角，以及旋轉后的不變量．3、C【解析】試題分析：∵∠B=35°，∠C=90°，∴∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣35°=55°．∵點C、A、B1在同一條直線上，∴∠BAB′=180°﹣∠BAC=180°﹣55°=125°．∴旋轉角等于125°．故選C．4、A【分析】由于，可以設F（m，n）則OA=3m，BF=2m，由于S△BEF=4，則BE=，然后即可求出E（3m，n-），依據mn=3m（n-）可求mn=1，即求出k的值．【詳解】如圖，過F作FC⊥OA于C，∵，∴OA=3OC，BF=2OC∴若設F（m，n）則OA=3m，BF=2m∵S△BEF=4∴BE=則E（3m，n-）∵E在雙曲線y=上∴mn=3m（n-）∴mn=1即k=1．故選A．此題主要考查了反比例函數的圖象和性質、用坐標表示線段長和三角形面積，表示出E點坐標是解題關鍵．5、D【分析】根據在同一時刻，物高和影長成正比，由已知列出比例式即可求得結果．【詳解】解：∵在同一時刻，∴小強影長：小強身高=大樹影長：大樹高，即0.8：1.6=4.8：大樹高，解得大樹高=9.6米，故選：D．本題考查了相似三角形在測量高度是的應用，把實際問題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性質解決問題是解題的關鍵是．6、A【解析】一個角的正弦值等于它的余角的余弦值．【詳解】∵Rt△ABC中,∠C=90°，sinA=，∴cosA===，∴∠A+∠B=90°，∴sinB=cosA=.故選A.本題主要考查銳角三角函數的定義，根據sinA得出cosA的值是解題的關鍵.7、A【分析】平均數的計算方法是求出所有數據的和，然后除以數據的總個數；據此先求得x的值，再將數據按從小到大排列，將中間的兩個數求平均值即可得到中位數，眾數是出現次數最多的數．【詳解】這組數的平均數為＝4，解得：x＝2；所以這組數據是：2，2，4，8；中位數是（2＋4）÷2＝3，2在這組數據中出現2次，4出現一次，8出現一次，所以眾數是2；故選：A．本題考查平均數和中位數和眾數的概念．8、C【分析】直接利用位似圖形的性質進而分別分析得出答案．【詳解】解：∵以點O為位似中心，把△ABC放大為原圖形的2倍得到△A'B'C'，∴△ABC∽△A'B'C'，點O、C、C'共線，AO：OA'=BO：OB'=1:2，∴AB∥A'B'，AO：OA'=1:1．∴A、B、D正確，C錯誤．故答案為：C．本題主要考查了位似變換，正確把握位似圖形的性質是解題的關鍵．9、D【分析】利用圓的切線的性質定理、等腰三角形的性質即可得出．【詳解】解：∵PD切⊙O于點C，∴OC⊥CD，在Rt△OCD中，又CD=OC，∴∠COD=45°．∵OC=OA，∴∠OCA＝×45°=22.5°．∴∠PCA=90°-22.5°=67.5°．故選：D．本題考查切線的性質定理,熟練掌握圓的切線的性質定理、等腰三角形的性質是解題的關鍵．10、A【解析】根據黃金比的定義得：，得.故選A.二、填空題(每小題3分,共24分)11、【詳解】設圓錐的底面圓的半徑為r，根據題意得2πr=，解得r=1，所以所圍成的圓錐的高=考點：圓錐的計算．12、1【分析】先根據一元二次方程根的定義得到，則可變形為，再根據根與系數的關系得到，，然后利用整體代入的方法計算代數式的值．【詳解】是方程的實數根，，，，，是方程的兩實數根，，，．故答案為1．考查了根與系數的關系：若，是一元二次方程的兩根時，，．13、x＜﹣1或x＞1．【分析】利用二次函數的對稱性得到拋物線與x軸的另一個交點坐標為（1，0），然后寫出拋物線在x軸下方所對應的自變量的范圍即可．【詳解】∵拋物線的對稱軸為直線，

而拋物線與軸的一個交點坐標為（-1，0），

∴拋物線與軸的另一個交點坐標為（1，0），

∴當時，的取值范圍為或．

故答案為：或．本題考查拋物線與x軸的交點、二次函數的性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數的性質和數形結合的思想解答．14、30或60【分析】射線與恰好有且只有一個公共點就是射線與相切，分兩種情況畫出圖形，利用圓的切線的性質和30°角的直角三角形的性質求出旋轉角，然后根據旋轉速度=旋轉的度數÷時間即得答案.【詳解】解：如圖1，當射線與在射線BA上方相切時，符合題意，設切點為C，連接OC，則OC⊥BP，于是，在直角△BOC中，∵BO=2，OC=1，∴∠OBC=30°，∴∠1=60°，此時射線旋轉的速度為每秒60°÷2=30°；如圖2，當射線與在射線BA下方相切時，也符合題意，設切點為D，連接OD，則OD⊥BP，于是，在直角△BOD中，∵BO=2，OD=1，∴∠OBD=30°，∴∠MBP=120°，此時射線旋轉的速度為每秒120°÷2=60°；故答案為：30或60.本題考查了圓的切線的性質、30°角的直角三角形的性質和旋轉的有關概念，正確理解題意、熟練掌握基本知識是解題的關鍵.15、-1【解析】將點（?2，3）代入解析式可求出k的值．【詳解】把（?2，3）代入函數y＝中，得3＝，解得k＝?1．故答案為?1．主要考查了用待定系數法求反比例函數的解析式．先設y＝，再把已知點的坐標代入可求出k值，即得到反比例函數的解析式．16、【分析】先求出平移后的拋物線的頂點坐標，再利用頂點式，寫出拋物線解析式，即可．【詳解】由題意知：拋物線的頂點坐標是（0，1）．∵拋物線向左平移3個單位∴頂點坐標變為（-3，1）．∴得到的拋物線關系式是．故答案為．本題主要考查了二次函數圖像與幾何變換，正確掌握二次函數圖像與幾何變換是解題的關鍵．17、1【解析】分別作O1A⊥l，O2B⊥l，O3C⊥l，如圖，

∵半圓O1，半圓O2，…，半圓On與直線L相切，

∴O1A=r1，O2B=r2，O3C=r3，

∵∠AOO1=30°，

∴OO1=2O1A=2r1=2，

在Rt△OO2B中，OO2=2O2B，即2+1+r2=2r2，

∴r2=3，

在Rt△OO2C中，OO3=2O2C，即2+1+2×3++r3=2r3，

∴r3=9=32，

同理可得r4=27=33，

所以r2018=1．

故答案為1．點睛：找規律題需要記憶常見數列1,2,3,4……n1,3,5,7……2n-12,4,6,8……2n2,4,8,16,32……1,4,9,16,25……2,6,12,20……n(n+1)一般題目中的數列是利用常見數列變形而來，其中后一項比前一項多一個常數，是等差數列，列舉找規律.后一項是前一項的固定倍數，則是等比數列，列舉找規律.18、-1【解析】由反比例函數系數k的幾何意義結合△APB的面積為4即可得出k＝±1，再根據反比例函數在第二象限有圖象即可得出k＝﹣1，此題得解．【詳解】∵點P在反比例函數y＝的圖象上，PA⊥x軸于點A，PB⊥y軸于點B，∴S△APB＝|k|＝4，∴k＝±1．又∵反比例函數在第二象限有圖象，∴k＝﹣1．故答案為﹣1．本題考查了反比例函數系數k的幾何意義，熟練掌握“在反比例函數y＝圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值|k|是解題的關鍵．三、解答題(共66分)19、【分析】將特殊角的三角函數值代入求解．【詳解】解：原式=﹣+=．本題考查了特殊角的三角函數值，解答本題的關鍵是熟記特殊角的三角函數值．20、（1）見解析；（2）DF＝2．【分析】（1）連接OD，求出AC∥OD，求出OD⊥DE，根據切線的判定得出即可；

（2）求出∠1=∠2=∠F=30°，求出AD=DF，解直角三角形求出AD，即可求出答案．【詳解】（1）證明：連接OD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，又∵AB＝AC，∴∠1＝∠2，∵OA＝OD，∴∠2＝∠ADO，∴∠1＝∠ADO，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴∠ODF＝∠AED＝90°，∴OD⊥ED，∵OD過O，∴DE與⊙O相切；（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠1＝∠2，CD＝BD，∵CD＝BF，∴BF＝BD，∴∠3＝∠F，∴∠4＝∠3+∠F＝2∠3，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠4＝2∠3，∵∠ODF＝90°，∴∠3＝∠F＝30°，∠4＝∠ODB＝60°，∵∠ADB＝90°，∴∠2＝∠1＝30°，∴∠2＝∠F，∴DF＝AD，∵∠1＝30°，∠AED＝90°，∴AD＝2ED，∵AE2+DE2＝AD2，AE＝3，∴AD＝2，∴DF＝2．本題考查了等腰三角形的性質，三角形的外角性質，圓周角定理，切線的判定定理，解直角三角形等知識點，能綜合運用定理進行推理是解此題的關鍵．21、（1）50，30；（2）答案見解析；（3）36；（4）1800人．【分析】（1）由贊同的人數除以贊同的人數所占的百分比，即可求出樣本容量，再求出無所謂態度的人數，進而求出a的值；（2）由（1）可知無所謂態度的人數，將條形統計圖補充完整即可；（3）求出不贊成人數的百分數，即可求出圓心角的度數；（4）求出“贊同”和“非常贊同”兩種態度的人數所占的百分比，用樣本估計總體的思想計算即可．【詳解】（1）20÷40%=50（人），無所謂態度的人數為50﹣10﹣20﹣5=15，則a=；（2）補全條形統計圖如圖所示：（3）不贊成人數占總人數的百分數為×100%=10%，持“不贊同”態度的學生人數的百分比所占扇形的圓心角為10%×360°=36°，（4）“贊同”和“非常贊同”兩種態度的人數所占的百分數為×100%=60%，則該校學生對父母生育二孩持“贊同”和“非常贊同”兩種態度的人數之和為3000×60%=1800人．考點：條形統計圖；扇形統計圖；用樣本估計總體．22、（1）4-π；（2）參見解析．【解析】試題分析：（1）連接OD，由已知條件可證出三角形ODC是等腰直角三角形，OD的長度知道，∠DOB的度數是45度，這樣，陰影的面積就等于等腰直角三角形ODC的面積減去扇形ODB的面積．（2）連接AD，由已知條件可證出AD垂直平分BM，從而得到DM=DB，又因為弧DE=弧DB，DE=DB，所以DE就等于DM了．試題解析：（1）連接OD，∵CD是⊙O切線，∴OD⊥CD∵OA="CD"=，OA=OD∴OD=CD=∴△OCD為等腰直角三角形∠DOC=∠C=45°S陰影=S△OCD-S扇OBD=××－．（2）連接AD．∵AB是⊙O直徑∴∠ADB=∠ADM=90°又∵弧ED=弧BD∴ED="BD"∠MAD=∠BAD∴△AMD≌△ABD∴DM="BD"∴DE=DM．如圖所示：考點：圓的性質與三角形綜合知識．23、此時快艇與島嶼C的距離是20nmile．【分析】過點D作DE⊥AB于點E，過點C作CF⊥AB于點F，由DE∥CF，DC∥EF，∠CFE=90°可得出四邊形CDEF為矩形，設DE=xnmile，則AE=x（nmile），BE=x（nmile），由AB=6nmile，可得出關于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再在Rt△CBF中，通過解直角三角形可求出BC的長．【詳解】解：過點D作DE⊥AB于點E，過點C作CF⊥AB于點F，如圖所示．則DE∥CF，∠DEA＝∠CFA＝90°．∵DC∥EF，∴四邊形CDEF為平行四邊形．又∵∠CFE＝90°，∴?CDEF為矩形，∴CF＝DE．根據題意，得：∠DAB＝45°，∠DBE＝60°，∠CBF＝45°．設DE＝x（nmile），在Rt△DEA中，∵tan∠DAB＝，∴AE＝＝x（nmile）．在Rt△DEB中，∵tan∠DBE＝，∴BE＝＝x（nmile）．∵AB＝20×0.3＝6（nmile），AE﹣BE＝AB，∴x﹣x＝6，解得：x＝9+3，∴CF＝DE＝（9+3）nmile．在Rt△CBF中，sin∠CBF＝，∴BC＝≈20（nmile）．答：此時快艇與島嶼C的距離是20nmile．本題考查了解直角三角形的應用——方向角問題，通過解直角三角形求出BC的長是解題的關鍵．24、雞場的長和寬分別為13m，10m．【分析】設雞場的垂直于墻的一邊長為x，而與墻平行的一邊開一道1m寬的門，現有能圍成32m長的木板，那么平行于墻的一邊長為（32-2x+1），而雞場的面積為130m2，由此即可列出方程，解方程就可以解決問題．【詳解】解：設雞場的垂直于墻的一邊長為x，

依題意得（32-2x+1）x=130，

2x2-33x+130=0，

（x-10）（2x-13）=0，

∴x1=10或x2=6.5，

當x1=10時，32-2x+1=13＜16；

當x2=6.5時，32-2x+1=20＞16，不合題意舍去．

答：雞場的長和寬分別為13m，10m．本題考查一元二次方程的應用，解題關鍵是弄懂題意，找出題目中的等量關系，要注意判斷所求的解是否符合題意，舍去不合題意的解．25、AE=6,BE=3.【解析】先根據已知條件求證△ABC∽△ADE，然后根據相似三角形對應邊成比例，代入數值即可求解．【詳解】∵∠AED=∠C，∠A為公共角∴△ABC∽△ADE∴又∵DE=4，BC=12，CD=15，AD=3，∴AC=15+3=18∴∴AE=6，AB=9∴BE=9-6=3本題考查了相似三角形的性質和判定，利用相似三角形對應邊成比例即可解題.26、（1）；（1）存在，理由見解析；，，，，【分析】（1）利用待定系數法求出A，B，C的坐標，如圖1中，作PQ∥y軸交B