PAGE221、已知P(A)=0.7,P(B)=0.8,則下列判斷正確的是（D）。A.A,B互不相容B.A,B相互獨立C.ABD.A,B相容2、將一顆塞子拋擲兩次，用X表示兩次點數之和，則X＝3的概率為（C）A.1/2B.1/12C.1/18D.1/93、某人進行射擊，設射擊的命中率為0.2,獨立射擊100次，則至少擊中9次的概率為（B）A.B.C.D.4、設，則BA.0B.25.5C.26.5D.95、設樣本來自N（0，1），常數c為以下何值時,統計量服從t分布。（C）A.0B.1C.D.-16、設~，則其概率密度為（A）A.B.C.D.7、為總體的樣本，下列哪一項是的無偏估計（A）A.B.C.D.8、設離散型隨機變量X的分布列為X123PC1/41/8則常數C為（C）（A）0（B）3/8（C）5/8（D）－3/89、設隨機變量X～N(4,25),X1、X2、X3…Xn是來自總體X的一個樣本，則樣本均值近似的服從（B）（A）N（4，25）（B）N（4，25/n）（C）N（0,1）（D）N（0，25/n）10、對正態總體的數學期望進行假設檢驗，如果在顯著水平a=0.05下，拒絕假設，則在顯著水平a=0.01下，（B）A.必接受B.可能接受，也可能拒絕C.必拒絕D.不接受，也不拒絕二、填空題（每空1.5分，共15分）1、A,B,C為任意三個事件，則A，B，C至少有一個事件發生表示為：__AUBUC_______；2、甲乙兩人各自去破譯密碼，設它們各自能破譯的概率為0.8，0.6，則密碼能被破譯的概率為_____0.92____；3、已知分布函數F(x)=A+Barctgx,則A＝＿1/2＿＿，B＝＿1/3.14＿＿＿；4、隨機變量X的分布律為，k=1,2,3,則C=__27/13_____;5、設X～b（n,p）。若EX=4，DX=2.4，則n=____10_____，p=____0.4_____。6、X為連續型隨機變量，1，0<x<1f（x）=，則P(X≤1)=____1___。0，其他7、在總體均值的所有線性無偏估計中，___樣本均值____是總體均值的無偏估計量。8、當原假設H0為假而接受H0時，假設檢驗所犯的錯誤稱為___第II類錯誤____。一.選擇題（15分，每題3分）1.如果，則事件A與B必定（C）獨立；不獨立；相容；不相容.2.已知人的血型為O、A、B、AB的概率分別是0.4；0.3；0.2；0.1。現任選4人，則4人血型全不相同的概率為：（A）0.0024；；0.24；.設則與為（C）獨立同分布的隨機變量；獨立不同分布的隨機變量；不獨立同分布的隨機變量；不獨立也不同分布的隨機變量.某人射擊直到中靶為止,已知每次射擊中靶的概率為0.75.則射擊次數的數學期望與方差分別為（A）；；；(D)．5.設是取自的樣本，以下的四個估計量中最有效的是（D）；；；．二.填空題（18分，每題3分）已知事件，有概率，，條件概率，則．設隨機變量的分布律為，則常數應滿足的條件為.3.已知二維隨機變量的聯合分布函數為，試用表示概率；.4.設隨機變量，表示作獨立重復次試驗中事件發生的次數，則m/2，m/4.5．設是從正態總體中抽取的樣本，則概率.6．設為正態總體（未知）的一個樣本，則的置信度為的單側置信區間的下限為..2、設二維隨機變量（X,Y）的聯合密度函數為求：邊緣密度函數.3、已知隨機變量與相互獨立，且,，試求：.4、學校食堂出售盒飯，共有三種價格4元，4.5元，5元。出售哪一種盒飯是隨機的，售出三種價格盒飯的概率分別為0.3，0.2，0.5。已知某天共售出200盒，試用中心極限定理求這天收入在910元至930元之間的概率。概率論與數理統計B一．單項選擇題（每小題3分，共15分）1．設事件A和B的概率為則可能為（）(A)0;(B)1;(C)0.6;(D)1/62.從1、2、3、4、5這五個數字中等可能地、有放回地接連抽取兩個數字,則這兩個數字不相同的概率為（）(A);(B);(C);(D)以上都不對3．投擲兩個均勻的骰子，已知點數之和是偶數，則點數之和為6的概率為（）(A);(B);(C);(D)以上都不對4．某一隨機變量的分布函數為，(a=0,b=1)則F(0)的值為（）(A)0.1;(B)0.5;(C)0.25;(D)以上都不對5．一口袋中有3個紅球和2個白球，某人從該口袋中隨機摸出一球，摸得紅球得5分，摸得白球得2分，則他所得分數的數學期望為（）(A)2.5;(B)3.5;(C)3.8;(D)以上都不對二．填空題（每小題3分，共15分）1．設A、B是相互獨立的隨機事件，P(A)=0.5,P(B)=0.7,則=.2．設隨機變量，則n=______.3．隨機變量ξ的期望為，標準差為，則=_______.4．甲、乙兩射手射擊一個目標，他們射中目標的概率分別是0.7和0.8.先由甲射擊，若甲未射中再由乙射擊。設兩人的射擊是相互獨立的，則目標被射中的概率為_________.5．設連續型隨機變量ξ的概率分布密度為，a為常數，則P(ξ≥0)=_______.三．(本題10分)將4個球隨機地放在5個盒子里，求下列事件的概率(1)4個球全在一個盒子里;(2)恰有一個盒子有2個球.四．(本題10分)設隨機變量ξ的分布密度為(1)求常數A;(2)求P(ξ<1)；(3)求ξ的數學期望.五．(本題10分)設二維隨機變量(ξ,η)的聯合分布是η＝1η=2η＝4η＝5ξ＝00.050.120.150.07ξ＝10.030.100.080.11ξ＝20.070.010.110.10(1)ξ與η是否相互獨立?(2)求的分布及；六．(本題10分)有10盒種子，其中1盒發芽率為90％，其他9盒為20％.隨機選取其中1盒，從中取出1粒種子，該種子能發芽的概率為多少？若該種子能發芽，則它來自發芽率高的1盒的概率是多少？七．(本題12分)某射手參加一種游戲，他有4次機會射擊一個目標.每射擊一次須付費10元.若他射中目標，則得獎金100元，且游戲停止.若4次都未射中目標，則游戲停止且他要付罰款100元.若他每次擊中目標的概率為0.3,求他在此游戲中的收益的期望.八．(本題12分)某工廠生產的零件廢品率為5％，某人要采購一批零件，他希望以95％的概率保證其中有2000個合格品.問他至少應購買多少零件？(注：,)九．(本題6分)設事件A、B、C相互獨立，試證明與C相互獨立.十．測量某冶煉爐內的溫度，重復測量5次，數據如下（單位：℃）：1820，1834，1831，1816，1824假定重復測量所得溫度.估計，求總體溫度真值μ的0.95的置信區間.(注：,)一．一箱產品，A，B兩廠生產分別個占60％，40％，其次品率分別為1％，2％。現在從中任取一件為次品，問此時該產品是哪個廠生產的可能性最大？二．設隨機變量X的密度函數為,求(1）系數A,(2)(3)分布函數。三．已知隨機變量X的密度函數為求（1）常數；（2）X的分布函數；（3）四、（本題滿分10分）設，，，，，求（1）的數學期望；（2）的方差。五、（本題滿分18分）設二維連續型隨機變量的聯合概率密度函數為：求：（1）關于X和Y的邊緣密度函數和；（2）和；（3）條件概率密度函數；（4）Z=X+Y的概率密度函數。六、（本題滿分16分）設總體X的概率密度函數為其中為未知參數，為來自該總體的一個簡單隨機樣本。（1）求的矩估計量；（2）求的極大似然估計量；七、（本題滿分14分）水泥廠用自動包裝機包裝水泥，每袋額定重量為50公斤，某日開工后隨機抽查了9袋，稱得重量如下（單位：公斤）：49.649.350.150.049.249.949.851.050.2設每袋重量服從正態分布。（1）試問該包裝機工作是否正常?（2）若已知該天包裝機包裝的水泥重量的方差為，求水泥平均重量的置信度為95%的置信區間。（已知：，，；，，，，，，，，）答案2解：[[3解：[][]4解：設為第i盒的價格，則總價..[]概率論與數理統計B答案一．1．（D）、2.（D）、3.（A）、4.（C）、5.（C）二．1．0.85、2.n=5、3.=29、4.0.94、5.3/4三．把4個球隨機放入5個盒子中共有54=625種等可能結果3分（1）A={4個球全在一個盒子里}共有5種等可能結果,故P(A)=5/625=1/1255分(2)5個盒子中選一個放兩個球，再選兩個各放一球有種方法7分4個球中取2個放在一個盒子里，其他2個各放在一個盒子里有12種方法因此，B={恰有一個盒子有2個球}共有4×3=360種等可能結果.故10分四．解：（1）3分（2）6分（3）10分五．解：（1）ξ的邊緣分布為2分η的邊緣分布為4分因,故ξ與η不相互獨立5分（2）的分布列為01245810P0.390.030.170.090.110.110.10因此，10分另解：若ξ與η相互獨立,則應有P(ξ＝0,η＝1)＝P(ξ＝0)P(η＝1);P(ξ＝0,η＝2)＝P(ξ＝0)P(η＝2);P(ξ＝1,η＝1)＝P(ξ＝1)P(η＝1);P(ξ＝1,η＝2)＝P(ξ＝1)P(η＝2);因此，但，故ξ與η不相互獨立。六．解：由全概率公式及Bayes公式P(該種子能發芽)＝0.1×0.9+0.9×0.2＝0.275分P(該種子來自發芽率高的一盒)＝(0.1×0.9)/0.27＝1/310分七．令Ak={在第k次射擊時擊中目標}，A0={4次都未擊中目標}。于是P(A1)=0.3;P(A2)=0.7×0.3=0.21;P(A3)=0.72×0.3=0.147P(A4)=0.73×0.3=0.1029;P(A0)=0.74=0.24016分在這5種情行下，他的收益ξ分別為90元，80元，70元，60元，－140元。8分因此，12分八．解：設他至少應購買n個零件，則n≥2000，設該批零件中合格零件數ξ服從二項分布B(n,p),p=0.95.因n很大，故B(n,p)近似與N(np,npq)4分由條件有8分因，故，解得n=2123,即至少要購買2123個零件.12分九．證：因A、B、C相互獨立，故P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),P(AB)=P(A)P(B),P(ABC)=P(A)P(B)P(C).2分4分故與C相互獨立.6分一．(取出產品是B廠生產的可能性大。)二．（1）A＝1/2，（2），（3）三.(1)由,又,所以;(2)當時,=0;當時,,當時,=1,所以X的分布函數為.(3)0.1480.256,所以=0.5781.四.(1)=24;(2)=27.五.(1),(2)=,=,所以(3)當時,;(4),所以.六.(1)因,令即,解得.(2)設是樣本的觀測值,則似然函數為,當0<<1時有:,取對數得,故由解得,從而的極大似然估計量為(3)因為,所以的極大似然估計為,又,所以,故的極大似然估計為.七.(1)構造假設,,取檢驗統計量,由得拒絕域為:.又,,,,,,故應接受,即認為包裝機工作正常.(2)因為已知,所以總體均值的置信度為的置信區間為,又,故=.第一章隨機事件和概率（1）排列組合公式從m個人中挑出n個人進行排列的可能數。從m個人中挑出n個人進行組合的可能數。（2）加法和乘法原理加法原理（兩種方法均能完成此事）：m+n某件事由兩種方法來完成，第一種方法可由m種方法完成，第二種方法可由n種方法來完成，則這件事可由m+n種方法來完成。乘法原理（兩個步驟分別不能完成這件事）：m×n某件事由兩個步驟來完成，第一個步驟可由m種方法完成，第二個步驟可由n種方法來完成，則這件事可由m×n種方法來完成。（3）一些常見排列重復排列和非重復排列（有序）對立事件（至少有一個）順序問題（4）隨機試驗和隨機事件如果一個試驗在相同條件下可以重復進行，而每次試驗的可能結果不止一個，但在進行一次試驗之前卻不能斷言它出現哪個結果，則稱這種試驗為隨機試驗。試驗的可能結果稱為隨機事件。（5）基本事件、樣本空間和事件在一個試驗下，不管事件有多少個，總可以從其中找出這樣一組事件，它具有如下性質：①每進行一次試驗，必須發生且只能發生這一組中的一個事件；②任何事件，都是由這一組中的部分事件組成的。這樣一組事件中的每一個事件稱為基本事件，用來表示。基本事件的全體，稱為試驗的樣本空間，用表示。一個事件就是由中的部分點（基本事件）組成的集合。通常用大寫字母A，B，C，…表示事件，它們是的子集。為必然事件，?為不可能事件。不可能事件（?）的概率為零，而概率為零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率為1，而概率為1的事件也不一定是必然事件。（6）事件的關系與運算①關系：如果事件A的組成部分也是事件B的組成部分，（A發生必有事件B發生）：如果同時有，，則稱事件A與事件B等價，或稱A等于B：A=B。A、B中至少有一個發生的事件：AB，或者A+B。屬于A而不屬于B的部分所構成的事件，稱為A與B的差，記為A-B，也可表示為A-AB或者，它表示A發生而B不發生的事件。A、B同時發生：AB，或者AB。AB=?，則表示A與B不可能同時發生，稱事件A與事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。-A稱為事件A的逆事件，或稱A的對立事件，記為。它表示A不發生的事件。互斥未必對立。②運算：結合率：A(BC)=(AB)CA∪(B∪C)=(A∪B)∪C分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C)(A∪B)∩C=(AC)∪(BC)德摩根率：，（7）概率的公理化定義設為樣本空間，為事件，對每一個事件都有一個實數P(A)，若滿足下列三個條件：1°0≤P(A)≤1，2°P(Ω)=13°對于兩兩互不相容的事件，，…有常稱為可列（完全）可加性。則稱P(A)為事件的概率。（8）古典概型1°，2°。設任一事件，它是由組成的，則有P(A)==（9）幾何概型若隨機試驗的結果為無限不可數并且每個結果出現的可能性均勻，同時樣本空間中的每一個基本事件可以使用一個有界區域來描述，則稱此隨機試驗為幾何概型。對任一事件A，。其中L為幾何度量（長度、面積、體積）。（10）加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)當P(AB)＝0時，P(A+B)=P(A)+P(B)（11）減法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)當BA時，P(A-B)=P(A)-P(B)當A=Ω時，P()=1-P(B)（12）條件概率定義設A、B是兩個事件，且P(A)>0，則稱為事件A發生條件下，事件B發生的條件概率，記為。條件概率是概率的一種，所有概率的性質都適合于條件概率。例如P(Ω/B)=1P(/A)=1-P(B/A)（13）乘法公式乘法公式：更一般地，對事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)>0…………。（14）獨立性①兩個事件的獨立性設事件、滿足，則稱事件、是相互獨立的。若事件、相互獨立，且，則有若事件、相互獨立，則可得到與、與、與也都相互獨立。必然事件和不可能事件?與任何事件都相互獨立。?與任何事件都互斥。②多個事件的獨立性設ABC是三個事件，如果滿足兩兩獨立的條件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同時滿足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互獨立。對于n個事件類似。（15）全概公式設事件滿足1°兩兩互不相容，，2°，則有。（16）貝葉斯公式設事件，，…，及滿足1°，，…，兩兩互不相容，>0，1，2，…，，2°，，則，i=1，2，…n。此公式即為貝葉斯公式。，（，，…，），通常叫先驗概率。，（，，…，），通常稱為后驗概率。貝葉斯公式反映了“因果”的概率規律，并作出了“由果朔因”的推斷。（17）伯努利概型我們作了次試驗，且滿足每次試驗只有兩種可能結果，發生或不發生；次試驗是重復進行的，即發生的概率每次均一樣；每次試驗是獨立的，即每次試驗發生與否與其他次試驗發生與否是互不影響的。這種試驗稱為伯努利概型，或稱為重伯努利試驗。用表示每次試驗發生的概率，則發生的概率為，用表示重伯努利試驗中出現次的概率，，。第二章隨機變量及其分布（1）離散型隨機變量的分布律設離散型隨機變量的可能取值為Xk(k=1,2,…)且取各個值的概率，即事件(X=Xk)的概率為P(X=xk)=pk，k=1,2,…，則稱上式為離散型隨機變量的概率分布或分布律。有時也用分布列的形式給出：。顯然分布律應滿足下列條件：（1），，（2）。（2）連續型隨機變量的分布密度設是隨機變量的分布函數，若存在非負函數，對任意實數，有，則稱為連續型隨機變量。稱為的概率密度函數或密度函數，簡稱概率密度。密度函數具有下面4個性質：1°。2°。（3）離散與連續型隨機變量的關系積分元在連續型隨機變量理論中所起的作用與在離散型隨機變量理論中所起的作用相類似。（4）分布函數設為隨機變量，是任意實數，則函數稱為隨機變量X的分布函數，本質上是一個累積函數。可以得到X落入區間的概率。分布函數表示隨機變量落入區間（–∞，x]內的概率。分布函數具有如下性質：1°；2°是單調不減的函數，即時，有；3°，；4°，即是右連續的；5°。對于離散型隨機變量，；對于連續型隨機變量，。（5）八大分布0-1分布P(X=1)=p,P(X=0)=q二項分布在重貝努里試驗中，設事件發生的概率為。事件發生的次數是隨機變量，設為，則可能取值為。，其中，則稱隨機變量服從參數為，的二項分布。記為。當時，，，這就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二項分布的特例。泊松分布設隨機變量的分布律為，，，則稱隨機變量服從參數為的泊松分布，記為或者P()。泊松分布為二項分布的極限分布（np=λ，n→∞）。超幾何分布隨機變量X服從參數為n,N,M的超幾何分布，記為H(n,N,M)。幾何分布，其中p≥0，q=1-p。隨機變量X服從參數為p的幾何分布，記為G(p)。均勻分布設隨機變量的值只落在[a，b]內，其密度函數在[a，b]上為常數，即

a≤xa≤x≤b則稱隨機變量在[a，b]上服從均勻分布，記為X~U(a，b)。分布函數為

a≤x≤ba≤x≤b0，x<a，

1，1，x>b。

當a≤x1<x2≤b時，X落在區間（）內的概率為。指數分布,

0,,0,,

其中，則稱隨機變量X服從參數為的指數分布。X的分布函數為,x<0。

x<0。

記住積分公式：正態分布設隨機變量的密度函數為，，其中、為常數，則稱隨機變量服從參數為、的正態分布或高斯（Gauss）分布，記為。具有如下性質：1°的圖形是關于對稱的；2°當時，為最大值；若，則的分布函數為dtedtexFxt222)(21)(參數、時的正態分布稱為標準正態分布，記為，其密度函數記為，，分布函數為。是不可求積函數，其函數值，已編制成表可供查用。Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝。如果~，則~。。（6）分位數下分位表：；上分位表：。（7）函數分布離散型已知的分布列為

，的分布列（互不相等）如下：，若有某些相等，則應將對應的相加作為的概率。連續型先利用X的概率密度fX(x)寫出Y的分布函數FY(y)＝P(g(X)≤y)，再利用變上下限積分的求導公式求出fY(y)。第三章二維隨機變量及其分布（1）聯合分布離散型如果二維隨機向量（X，Y）的所有可能取值為至多可列個有序對（x,y），則稱為離散型隨機量。設=（X，Y）的所有可能取值為，且事件{=}的概率為pij,,稱為=（X，Y）的分布律或稱為X和Y的聯合分布律。聯合分布有時也用下面的概率分布表來表示：YXy1y2…yj…x1p11p12…p1j…x2p21p22…p2j…xipi1……這里pij具有下面兩個性質：（1）pij≥0（i,j=1,2,…）；（2）連續型對于二維隨機向量，如果存在非負函數，使對任意一個其鄰邊分別平行于坐標軸的矩形區域D，即D={(X,Y)|a<x<b,c<y<d}有則稱為連續型隨機向量；并稱f(x,y)為=（X，Y）的分布密度或稱為X和Y的聯合分布密度。 分布密度f(x,y)具有下面兩個性質：f(x,y)≥0;（2）（2）二維隨機變量的本質（3）聯合分布函數設（X，Y）為二維隨機變量，對于任意實數x,y,二元函數稱為二維隨機向量（X，Y）的分布函數，或稱為隨機變量X和Y的聯合分布函數。 分布函數是一個以全平面為其定義域，以事件的概率為函數值的一個實值函數。分布函數F(x,y)具有以下的基本性質：（1）（2）F（x,y）分別對x和y是非減的，即當x2>x1時，有F（x2,y）≥F(x1,y);當y2>y1時，有F(x,y2)≥F(x,y1);（3）F（x,y）分別對x和y是右連續的，即（4）（5）對于.（4）離散型與連續型的關系（5）邊緣分布離散型X的邊緣分布為；Y的邊緣分布為。連續型X的邊緣分布密度為Y的邊緣分布密度為（6）條件分布離散型在已知X=xi的條件下，Y取值的條件分布為在已知Y=yj的條件下，X取值的條件分布為連續型在已知Y=y的條件下，X的條件分布密度為；在已知X=x的條件下，Y的條件分布密度為（7）獨立性一般型F(X,Y)=FX(x)FY(y)離散型有零不獨立連續型f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判斷，充要條件：①可分離變量②正概率密度區間為矩形二維正態分布＝0隨機變量的函數若X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互獨立，h,g為連續函數，則：h（X1，X2,…Xm）和g（Xm+1,…Xn）相互獨立。特例：若X與Y獨立，則：h（X）和g（Y）獨立。例如：若X與Y獨立，則：3X+1和5Y-2獨立。（8）二維均勻分布設隨機向量（X，Y）的分布密度函數為其中SD為區域D的面積，則稱（X，Y）服從D上的均勻分布，記為（X，Y）～U（D）。例如圖3.1、圖3.2和圖3.3。y1D1O1 x圖3.1yD2D21 O 2x圖3.2yD3dD3cOabx圖3.3（9）二維正態分布設隨機向量（X，Y）的分布密度函數為其中是5個參數，則稱（X，Y）服從二維正態分布，記為（X，Y）～N（由邊緣密度的計算公式，可以推出二維正態分布的兩個邊緣分布仍為正態分布，即X～N（但是若X～N（，(X，Y)未必是二維正態分布。（10）函數分布Z=X+Y根據定義計算：對于連續型，fZ(z)＝兩個獨立的正態分布的和仍為正態分布（）。n個相互獨立的正態分布的線性組合，仍服從正態分布。，Z=max,min(X1,X2,…Xn)若相互獨立，其分布函數分別為，則Z=max,min(X1,X2,…Xn)的分布函數為：分布設n個隨機變量相互獨立，且服從標準正態分布，可以證明它們的平方和的分布密度為我們稱隨機變量W服從自由度為n的分布，記為W～，其中所謂自由度是指獨立正態隨機變量的個數，它是隨機變量分布中的一個重要參數。分布滿足可加性：設則t分布設X，Y是兩個相互獨立的隨機變量，且可以證明函數的概率密度為 我們稱隨機變量T服從自由度為n的t分布，記為T～t(n)。F分布設，且X與Y獨立，可以證明的概率密度函數為我們稱隨機變量F服從第一個自由度為n1，第二個自由度為n2的F分布，記為F～f(n1,n2).第四章隨機變量的數字特征（1）一維隨機變量的數字特征離散型連續型期望期望就是平均值設X是離散型隨機變量，其分布律為P()＝pk，k=1,2,…,n，（要求絕對收斂）設X是連續型隨機變量，其概率密度為f(x)，（要求絕對收斂）函數的期望Y=g(X)Y=g(X)方差D(X)=E[X-E(X)]2，標準差，矩①對于正整數k，稱隨機變量X的k次冪的數學期望為X的k階原點矩，記為vk,即νk=E(Xk)=,k=1,2,….②對于正整數k，稱隨機變量X與E（X）差的k次冪的數學期望為X的k階中心矩，記為，即=，k=1,2,….①對于正整數k，稱隨機變量X的k次冪的數學期望為X的k階原點矩，記為vk,即νk=E(Xk)=k=1,2,….②對于正整數k，稱隨機變量X與E（X）差的k次冪的數學期望為X的k階中心矩，記為，即=k=1,2,….切比雪夫不等式設隨機變量X具有數學期望E（X）=μ，方差D（X）=σ2，則對于任意正數ε，有下列切比雪夫不等式切比雪夫不等式給出了在未知X的分布的情況下，對概率的一種估計，它在理論上有重要意義。（2）期望的性質E(C)=CE(CX)=CE(X)E(X+Y)=E(X)+E(Y)，E(XY)=E(X)E(Y)，充分條件：X和Y獨立；充要條件：X和Y不相關。（3）方差的性質D(C)=0；E(C)=CD(aX)=a2D(X)；E(aX)=aE(X)D(aX+b)=a2D(X)；E(aX+b)=aE(X)+bD(X)=E(X2)-E2(X)D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分條件：X和Y獨立；充要條件：X和Y不相關。D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，無條件成立。而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，無條件成立。（4）常見分布的期望和方差期望方差0-1分布p二項分布np泊松分布幾何分布超幾何分布均勻分布指數分布正態分布n2nt分布0(n>2)（5）二維隨機變量的數字特征期望函數的期望＝＝方差協方差對于隨機變量X與Y，稱它們的二階混合中心矩為X與Y的協方差或相關矩，記為，即與記號相對應，X與Y的方差D（X）與D（Y）也可分別記為與。相關系數對于隨機變量X與Y，如果D（X）>0,D(Y)>0，則稱為X與Y的相關系數，記作（有時可簡記為）。 ||≤1，當||=1時，稱X與Y完全相關：完全相關而當時，稱X與Y不相關。以下五個命題是等價的：①；②cov(X,Y)=0;③E(XY)=E(X)E(Y);④D(X+Y)=D(X)+D(Y);⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y).協方差矩陣混合矩對于隨機變量X與Y，如果有存在，則稱之為X與Y的k+l階混合原點矩，記為；k+l階混合中心矩記為：（6）協方差的性質cov(X,Y)=cov(Y,X);cov(aX,bY)=abcov(X,Y);cov(X1+X2,Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).（7）獨立和不相關若隨機變量X與Y相互獨立，則；反之不真。若（X，Y）～N（），則X與Y相互獨立的充要條件是X和Y不相關。第五章大數定律和中心極限定理（1）大數定律切比雪夫大數定律設隨機變量X1，X2，…相互獨立，均具有有限方差，且被同一常數C所界：D（Xi）<C(i=1,2,…),則對于任意的正數ε，有 特殊情形：若X1，X2，…具有相同的數學期望E（XI）=μ，則上式成為伯努利大數定律設μ是n次獨立試驗中事件A發生的次數，p是事件A在每次試驗中發生的概率，則對于任意的正數ε，有 伯努利大數定律說明，當試驗次數n很大時，事件A發生的頻率與概率有較大判別的可能性很小，即這就以嚴格的數學形式描述了頻率的穩定性。辛欽大數定律設X1，X2，…，Xn，…是相互獨立同分布的隨機變量序列，且E（Xn）=μ，則對于任意的正數ε有（2）中心極限定理列維－林德伯格定理設隨機變量X1，X2，…相互獨立，服從同一分布，且具有相同的數學期望和方差：，則隨機變量的分布函數Fn(x)對任意的實數x，有此定理也稱為獨立同分布的中心極限定理。棣莫弗－拉普拉斯定理設隨機變量為具有參數n,p(0<p<1)的二項分布，則對于任意實數x,有（3）二項定理若當，則 超幾何分布的極限分布為二項分布。（4）泊松定理若當，則 其中k=0，1，2，…，n，…。二項分布的極限分布為泊松分布。第六章樣本及抽樣分布（1）數理統計的基本概念總體在數理統計中，常把被考察對象的某一個（或多個）指標的全體稱為總體（或母體）。我們總是把總體看成一個具有分布的隨機變量（或隨機向量）。個體總體中的每一個單元稱為樣品（或個體）。樣本我們把從總體中抽取的部分樣品稱為樣本。樣本中所含的樣品數稱為樣本容量，一般用n表示。在一般情況下，總是把樣本看成是n個相互獨立的且與總體有相同分布的隨機變量，這樣的樣本稱為簡單隨機樣本。在泛指任一次抽取的結果時，表示n個隨機變量（樣本）；在具體的一次抽取之后，表示n個具體的數值（樣本值）。我們稱之為樣本的兩重性。樣本函數和統計量設為總體的一個樣本，稱 （）為樣本函數，其中為一個連續函數。如果中不包含任何未知參數，則稱（）為一個統計量。常見統計量及其性質樣本均值 樣本方差 樣本標準差 樣本k階原點矩 樣本k階中心矩，，，,其中，為二階中心矩。（2）正態總體下的四大分布正態分布設為來自正態總體的一個樣本，則樣本函數t分布設為來自正態總體的一個樣本，則樣本函數其中t(n-1)表示自由度為n-1的t分布。設為來自正態總體的一個樣本，則樣本函數其中表示自由度為n-1的分布。F分布設為來自正態總體的一個樣本，而為來自正態總體的一個樣本，則樣本函數其中 表示第一自由度為，第二自由度為的F分布。（3）正態總體下分布的性質與獨立。第七章參數估計（1）點估計矩估計設總體X的分布中包含有未知數，則其分布函數可以表成它的k階原點矩中也包含了未知參數，即。又設為總體X的n個樣本值，其樣本的k階原點矩為 這樣，我們按照“當參數等于其估計量時，總體矩等于相應的樣本矩”的原則建立方程，即有由上面的m個方程中，解出的m個未知參數即為參數（）