第六章質量評估(時間:120分鐘分值:150分)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.甲、乙兩人從4門課程中各選修1門,則甲、乙所選的課程不相同的選法共有()A.6種B.12種C.30種D.36種解析:因為甲、乙兩人從4門課程中各選修1門,所以由分步乘法計數原理,可得甲、乙所選的課程不相同的選法種數為4×3=12.故選B.答案:B2.若Am5=2Am3,則mA.5B.3C.6D.7解析:依題意,得m!(m-5)!=2×m!(m解得m=2或m=5.又因為m≥5,所以m=5,故選A.答案:A3.(x+2)6的展開式中x3的系數是()A.20B.40C.80D.160解析:設含x3的項為第k+1項,則Tk+1=C6kx6-k·2k.令6-k=3,得k=3.故展開式中x3的系數為C63答案:D4.用紅、黃、藍三種顏色給如圖所示的六個相連的圓涂色,若每種顏色只能涂兩個圓,且相鄰兩個圓所涂顏色不能相同,則不同的涂色方案的種數為()A.12B.24C.30D.36解析:因為一種顏色只能涂兩個圓,且相鄰兩個圓所涂顏色不能相同,所以分兩類,第一類,涂前三個圓用三種顏色,有A33=6種涂法,則涂后三個圓有C21×C21=4種涂法,共有6×4=24種涂法;第二類,涂前三個圓用兩種顏色,則涂后三個圓也用兩種顏色,共有C31×C答案:C5.算籌是在珠算發明以前我國獨創并且有效的計算工具,為我國古代數學的發展做出了很大貢獻.在算籌計數法中,以“縱式”和“橫式”兩種方式來表示數字,如下表:表示多位數時,個位用縱式,十位用橫式,百位用縱式,千位用橫式,以此類推,遇零則置空,如圖:如果把5根算籌以適當的方式全部放入下面的方格中,那么可以表示的三位數的個數為()A.46B.44C.42D.40解析:按每一位算籌的根數分類一共有15種情況:(5,0,0),(4,1,0),(4,0,1),(3,2,0),(3,1,1),(3,0,2),(2,3,0),(2,2,1),(2,1,2),(2,0,3),(1,4,0),(1,3,1),(1,2,2),(1,1,3),(1,0,4).2根及以上的算籌可以表示兩個數字,運用分步乘法計數原理,則上述情況能表示的三位數的個數分別為:2,2,2,4,2,4,4,4,4,4,2,2,4,2,2.根據分類加法計數原理,得5根算籌能表示的三位數的個數為:2+2+2+4+2+4+4+4+4+4+2+2+4+2+2=44.答案:B6.已知(1+x)10=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+…+a10(1-x)10,則a8=()A.-180B.180C.45D.-45解析:令t=1-x,則x=1-t,所以有(2-t)10=a0+a1t+a2t2+…+a10t10.因為Tr+1=C10r210-r(-t)r=C10r210-r(-1)rtr,令r=8,得a8=C答案:B7.7名學生參加“知識競賽”后,向老師詢問比賽成績,老師說:“甲的成績是最中間一名,乙不是7人中成績最好的,丙不是7人中成績最差的,而且7人的成績各不相同”.他們7人不同的可能名次共有()A.120種B.216種C.384種D.504種解析:因為甲的成績是中間一名,所以只需安排其余6人名次,因為乙不排第一名,丙不排最后一名,所以由間接法可得A66-2A55+A44=720-2×答案:D8.有一個8×8網格圖,其中有一個小方格因破損而被剪去(破損位置不確定),“L”形圖形由三個相鄰的小方格組成,如圖所示.現要將這個破損的8×8網格圖剪成數個“L”形圖形,則()A.最多能剪成19個“L”形圖形B.最多能剪成20個“L”形圖形C.最多能剪成21個“L”形圖形D.前三個答案都不對解析:考慮2×3的6個方格,如圖:,每一個這樣的圖形能剪成2個“L”形圖形.該8×8網格圖一共可以剪成10個這樣“2×3”的圖形和1個田字格,1個田字格可以剪1個“L”形圖形.只要將破損的方格所在位置剪成一個恰當的田字格即可,所以最多能夠剪成21個“L”形圖形.如圖所示.答案:C二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個數字組成無重復數字的五位數,且1不能在個位,則關于這樣的五位數的個數,下列表示正確的有()A.(A9B.A94+(C.A105-2AD.A94+A31×A81解析:由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個數字組成無重復數字的五位數,且1不能在個位,則關于這樣的五位數的個數的求法,可用如下方法進行解答.排除法:任選5個數字,總共有A105種情況,減去1在個位或0在萬位的情況種數2A94,加上0在萬位,且1在個位的情況種數A83,可得共有A105-2A討論法:方法一若有1,(1)當1在萬位時,共有A94(2)當1在千位、百位或十位時,共有A31×A81若沒有1,萬位有A81種,剩下有A84種,共有A故有A94+A31×A81×A方法二當1在萬位時,有A94當萬位為0或1以外的數時,有(A81)2A83種,故有A94+(故選BCD.答案:BCD10.若C8m-1>3C8m,A.6 B.7 C.8 D.9解析:根據題意,對于C8m-1和3C8m,有0≤則有1≤m≤8.由C8m-1>3C8m變形可得m>27-3m,解得m>274綜上可得,274<m≤8,則m=7或m=8.故選BC答案:BC11.從6名男生和4名女生中選出4人去參加一項創新大賽,則下列說法正確的有()A.如果參賽4人中男生、女生各有2人,那么有30種不同的選法B.如果男生中的甲和女生中的乙必須在內,那么有28種不同的選法C.如果男生中的甲和女生中的乙至少有1人在內,那么有140種不同的選法D.如果4人中必須既有男生又有女生,那么有184種不同的選法解析:根據題意,依次分析選項:對于A項,如果4人中男生、女生各有2人,男生有C62=15種選法,女生有C42=6種選法,那么4人中男生、女生各有2人選法種數為15×6=90,對于B項,如果男生中的甲和女生中的乙必須在內,那么在剩下的8人中再選2人即可,有C82=28種選法,故B對于C項,在10人中任選4人,有C104=210種選法.若甲、乙都不在其中,則有C84=70種選法,故男生中的甲和女生中的乙至少有1人在內的選法種數為210-70=140,對于D項,在10人中任選4人,有C104=210種選法,只有男生的選法種數為C64=15,只有女生的選法種數為C44=1,則4故選BC.答案:BC12.若(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,且a1+a2+…+an-1=125-n,則下列結論正確的是()A.n=6B.(1+2x)n展開式中二項式系數和為729C.(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n展開式中所有項系數和為126D.a1+2a2+3a3+…+nan=321解析:因為(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,且a1+a2+…+an-1=125-n,所以a0=n,an=Cnn=令x=1,可得2+22+…+2n=n+(125-n)+1,解得n=6,故A正確.(1+2x)n展開式中二項式系數和為2n=64,故B錯誤.(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n展開式中所有項系數和為2+22+23+…+26=126,故C正確.因為(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,將n=6代入上式并對上述式子求導,得1+2(1+x)+3(1+x)2+…+6(1+x)5=a1+2a2x+3a3x2+…+6a6x5,從而a1+2a2+3a3+…+6a6=1+4+12+32+80+192=321,故D正確.故選ACD.答案:ACD三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.4名同學到3個小區參加垃圾分類宣傳活動,每名同學只去1個小區,每個小區至少安排1名同學,則不同的安排方法共有36種.解析:先從4名同學中選出2名作為一組有C42種選法,再與另外2名同學一起進行排列有A33種方法,相乘即可得不同的安排方法種數為C14.在(1-x)6的展開式中,含x3的項的系數為-20,各項系數之和為0.(用數字作答,本題第一空2分,第二空3分)解析:由已知,得Tk+1=(-1)kC6kx所以含x3的項的系數為(-1)3×C63令x=1,可得展開式各項系數和為(1-1)6=0.15.如圖所示,懸掛的9盞花燈需要取下,每次取1盞,共有1680種不同的取法.(用數字作答)

解析:如圖,假設9盞花燈依次用數字1~9表示.若9盞花燈可以按任意順序取下,則有A99種取法,但實際只能從下往上取(1在2之前取、2在3之前取、4在5之前取、5在6之前取、7在8之前取、8在9之前取,可以不相鄰),其取法有A99A33×A316.在某詩詞表演節目中,若《沁園春·長沙》《蜀道難》《敕勒歌》《游子吟》《關山月》《清平樂·六盤山》排在后六場,且《蜀道難》排在《游子吟》的前面,《沁園春·長沙》與《清平樂·六盤山》不相鄰且均不排在最后,則后六場的排法有144種.(用數字作答)解析:《沁園春·長沙》《蜀道難》《敕勒歌》《游子吟》《關山月》《清平樂·六盤山》分別記為A,B,C,D,E,F.第一步:在B,C,D,E中選一個排在最后,共C41=4第二步:將剩余五個節目按A與F不相鄰排序,共A55-A22×第三步:在前兩步中B排在D的前面與后面機會相等,則求B排在D的前面的情況種數,只需除以A22=2即可,即六場的排法有4×72÷2=144四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)用0,1,2,3,4,5這六個數字,完成下面問題.(1)若數字不允許重復,可以組成多少個能被5整除且百位數字不是3的不同的五位數?(2)若直線方程ax+by=0中的a,b可以從已知的六個數字中任取兩個不同的數字,則該直線方程表示的不同直線共有多少條?解:(1)當末位數字是0時,百位數字不是3,第一步,放百位有4種方法,第二步,放剩余的三個位置有4×3×2=24種,則共有4×24=96個;當末位數字是5,首位數字是3時,共有1×4×3×2×1=24個;當末位數字是5,首位數字是1或2或4時,共有(4×3×2-3×2)×3=54個;故共有96+24+54=174個.(2)a,b中有一個取0時,有2條;a,b都不取0時,有5×4=20條;a=1,b=2與a=2,b=4重復;a=2,b=1與a=4,b=2重復.故共有2+20-2=20條.18.(12分)已知An5=56Cn7,且(1-2x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a(1)求n的值;(2)求a1+a2+a3+…+an的值.解:(1)因為An5=56所以n!(n化簡,得n2-11n-60=0,解得n=15(負值舍去).(2)令x=0,得a0=1,令x=1,得a0+a1+a2+a3+…+an=-1,所以a1+a2+a3+…+an=-2.19.(12分)為提高學生學習數學的興趣,某中學擬開設數學史、微積分選修課程、數學探究、數學建模四門校本選修課程,甲、乙、丙三名同學打算在上述四門課程中隨機選擇一門進行學習,已知三人選擇課程時互不影響,且每人選擇每一門課程都是等可能的.(1)求三名同學選擇的課程互不相同的概率;(2)若甲、乙兩名同學不能選擇同一門課程,求三人共有多少種不同的選課種數;(3)若至少有兩名同學選擇數學史,求三人共有多少種不同的選課種數.解:(1)三名同學選擇課程共有43=64種情況;三名同學選擇的課程互不相同共有A43=24種情況,所求概率為2464(2)甲、乙兩名同學不選擇同一門課程共有A42=12種情況,丙有4種不同的選擇,所以甲、乙兩名同學不能選擇同一門課程共有12×4=48(3)分兩種情況討論:若有兩名同學選擇數學史,則共有C32×C31若有三名同學選擇數學史,則共有1種情況.綜上所述,總共有9+1=10種不同的選課種數.20.(12分)設1+12xm=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+amxm,a0,a1,(1)求1+12(2)求1+12xm解:(1)依題意,得a0=1,a1=m2,a2=C由題意,得2a1=a0+a2,求得m=8或m=1(舍去).所以1+12xmT5=C8412x(2)因為1+12xm=a0+a1x+a2x2+…+a即1+12x8=a0+a1x+a2x2+…+a令x=1,則a0+a1+a2+a3+…+a8=32令x=-1,則a0-a1+a2-a3+…+a8=12所以a1+a3+a5+a7=38-1所以展開式中所有含x的奇次冪的系數和為2051621.(12分)把4名男同志和4名女同志平均分成4組,到4輛不同的公共汽車上從事售票服務.(1)有多少種不同的分配方法?(2)若男同志與女同志分別分組,則有多少種不同的分配方法?解:(1)男女合在一起共有8人,每輛車上2人,可以分四個步驟完成,先安排2人上第1輛車,有C82再安排2人上第2輛車,有C62接著安排2人上第3輛車,有C42最后安排2人上第4輛車,有C22由分步乘法計數原理,得共