試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)第Page\*MergeFormat1頁(yè)共NUMPAGES\*MergeFormat14頁(yè)2023-2024學(xué)年山東省聊城市高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)集合是10的正約數(shù)}，是小于10的素?cái)?shù)}，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正約數(shù)的概念化簡(jiǎn)集合A，根據(jù)素?cái)?shù)的概念化簡(jiǎn)集合B，然后利用交集運(yùn)算求解即可.【詳解】根據(jù)正約數(shù)的概念知，，根據(jù)素?cái)?shù)的概念知，，所以.故選：B.2．設(shè)命題p：，，則下列表示的正確的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱(chēng)量詞命題易求.【詳解】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱(chēng)量詞命題知，命題p：，的否定為：：，.故選：D3．下列四個(gè)條件中，是“”成立的充分不必要的條件為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷．【詳解】時(shí)一定有，但反之不一定，是充分必要條件，A正確；時(shí)滿足但不滿足，不是充分條件，B錯(cuò)；時(shí)滿足，但不滿足，不充分，C錯(cuò)；根據(jù)不等式的性質(zhì)與是等價(jià)的，即為充要條件，D錯(cuò)，故選：A．4．設(shè)函數(shù)，，則的值為（

）A． B．1 C．0 D．【答案】B【分析】利用分段函數(shù)的定義即可求解.【詳解】由題意，，則.故選：B.5．高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù)．設(shè)，用表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則稱(chēng)為高斯函數(shù)，也稱(chēng)取整函數(shù)，例如，．若不等式成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，求得不等式的解集，結(jié)合取整函數(shù)的定義，即可求解.【詳解】由不等式，可得，解得，則，根據(jù)取整函數(shù)定義可知．故選：D.6．設(shè)函數(shù)，若是的最小值，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立；當(dāng)時(shí)，，要使是的最小值，只需在上遞減，且，即，解得.故選：B7．有三個(gè)房間需要粉刷，粉刷方案要求：每個(gè)房間只用一種顏色，且三個(gè)房間顏色各不相同．已知三個(gè)房間的粉刷面積（單位：）分別為，，，且，三種顏色涂料的粉刷費(fèi)用（單位：元/）分別為，，，且．在不同的方案中，最低的總費(fèi)用（單位：元）是A． B． C． D．【答案】B【詳解】由，，所以，故；同理，，故.因?yàn)椋?故最低費(fèi)用為.故選B.8．已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且滿足，且當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C．0 D．1【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，確定函數(shù)的周期，再結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)及已知函數(shù)計(jì)算即得.【詳解】由，得，則是以4為周期的周期函數(shù)，又函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以．故選：C二、多選題9．已知集合，.則下列表示正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】解一元二次方程求解集合A，然后求解集合B，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】因?yàn)椋裕瑒t，，均正確，錯(cuò)誤.故選：ABD10．已知函數(shù)是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)t的可能取值為（

）A．1 B．4 C．9 D．16【答案】AB【分析】利用，求得，根據(jù)函數(shù)的定義域得到，結(jié)合選項(xiàng)，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，且，且，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，可得，即，整理得，則，要使得函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，只需．結(jié)合選項(xiàng)，A、B符合題意.故選：AB.11．設(shè)，若，且，則下列不等式恒成立的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)基本不等式的應(yīng)用依次計(jì)算，即可判斷選項(xiàng).【詳解】A：，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又，所以，故A錯(cuò)誤；B：，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，又，所以，故B正確；C：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又，所以，故C正確；D：，又，所以，故D錯(cuò)誤.故選：BC.12．對(duì)于分式不等式有多種解法，其中一種方法如下，將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為，然后將對(duì)應(yīng)方程的所有根標(biāo)注在數(shù)軸上，形成，，，，五個(gè)區(qū)間，其中最右邊的區(qū)間使得的值為正值，并且可得x在從右向左的各個(gè)區(qū)間內(nèi)取值時(shí)的值為正、負(fù)依次相間，即可得到所求不等式的解集．利用此法求解下列問(wèn)題：定義區(qū)間、、、的長(zhǎng)度均為，若滿足的x構(gòu)成的區(qū)間的長(zhǎng)度和為2，則實(shí)數(shù)t的取值可以是（

）A． B． C． D．1【答案】ACD【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化分式不等式為整式不等式，然后根據(jù)各選項(xiàng)中值寫(xiě)出不等式的解集，計(jì)算區(qū)間長(zhǎng)度和即可得．【詳解】等價(jià)于且，且．當(dāng)時(shí)滿足條件的x構(gòu)成的區(qū)間為，長(zhǎng)度為2，符合題意，A正確；當(dāng)時(shí)滿足條件的x構(gòu)成的區(qū)間為，長(zhǎng)度為1，不符合題意，B不正確；當(dāng)時(shí)滿足條件的x構(gòu)成的區(qū)間為，長(zhǎng)度為2，符合題意，C正確；當(dāng)時(shí)滿足條件的x構(gòu)成的區(qū)間為，長(zhǎng)度為2，符合題意，D正確．故選：ACD．三、填空題13．若關(guān)于x的不等式的解集是，則的值為．【答案】【分析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為，且和是的兩根，列出方程組，求得的值，即可求解.【詳解】由的解集是，可得，且和是的兩根，則且，即且，解得，所以．故答案為：.14．若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【答案】【分析】討論，，結(jié)合一次函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性得出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，要使得函數(shù)在上單調(diào)遞增，必須，解得.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故答案為：15．對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，定義設(shè)函數(shù)，，則函數(shù)的最小值為．【答案】1【分析】首先求解函數(shù)的解析式，再求解函數(shù)的最小值.【詳解】令，，即，，得，當(dāng)，，當(dāng)，，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，．故答案為：16．為了保證信息安全傳輸，有一種系統(tǒng)稱(chēng)為秘密密鑰密碼系統(tǒng)，其加密、解密原理如下：明文x，密文t密文t明文y．現(xiàn)在加密密鑰為冪函數(shù)，解密密鑰為反比例函數(shù)，過(guò)程如下：發(fā)送方發(fā)送明文“4”，通過(guò)加密后得到密文“2”，再發(fā)送密文“2”，接受方通過(guò)解密密鑰得到明文“6”．若接受方得到明文“4”，則發(fā)送方發(fā)送的明文為．【答案】9【分析】設(shè)加密密鑰為冪函數(shù)，代點(diǎn)求出解析數(shù)，解密密鑰為反比例函數(shù)，代點(diǎn)求出解析式，再代入明文“4”得出答案.【詳解】設(shè)加密密鑰為冪函數(shù)，，則，則，解密密鑰為反比例函數(shù)，，，則，所以通過(guò)逆運(yùn)算可得，當(dāng)接受方得到明文“4”時(shí)，則發(fā)送方發(fā)送明文為“9”．故答案為：9四、解答題17．已知全集，集合，集合．(1)若，求；(2)若集合A，B滿足條件______（從下列三個(gè)條件中任選一個(gè)作答），求實(shí)數(shù)m的取值集合．條件①是的充分條件；②；③，，使得，【答案】(1);(2).【分析】（1）解出集合，結(jié)合集合的運(yùn)算，求出并集即可;（2）找到集合間的基本關(guān)系，建立不等式組，即可求出參數(shù)m的取值集合．【詳解】（1）集合，當(dāng)時(shí)，集合，所以；（2）集合，集合．當(dāng)選擇條件①時(shí)，滿足是的充分條件，即，則集合，即，，要使，只需，解得，所以，即實(shí)數(shù)m的取值集合是．當(dāng)選擇條件②時(shí)，，則集合，即，，由集合，得，或，要使，只需，解得，所以，即實(shí)數(shù)m的取值集合是．當(dāng)選擇條件③時(shí)，，，使得，則集合,且，即，,要使，只需解得，所以，即實(shí)數(shù)m的取值集合是．18．已知實(shí)數(shù)a，b滿足，，且.(1)求的最小值；(2)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）解法一：把變?yōu)椋褂没静坏仁角蠼饧纯桑唤夥ǘ喊炎冃蔚茫没静坏仁街械某?shù)代換技巧求解即可；（2）把不等式恒成立轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，利用基本不等式求解最值，從而，解一元二次不等式即可.【詳解】（1）解法一：因?yàn)椋遥瑒t，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.解法二：由，，且，得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.（2）由可得，由（1）可得，所以要使不等式恒成立，只需，即，解得，所以實(shí)數(shù)x的取值范圍為.19．已知函數(shù)．(1)若時(shí)，求函數(shù)的定義域；(2)若對(duì)時(shí)，函數(shù)均有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由二次根式有意義的條件、定義域的概念即可得解.（2）由題意只需，即可，從而轉(zhuǎn)換為恒成立問(wèn)題即可得解.（3）首先由題意或或，其次直接由減函數(shù)的定義分析得到，由此即可得解.【詳解】（1）若，要使函數(shù)有意義，由，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?（2）由題意，，函數(shù)均有意義，即，，，故只需，，即只需且即可.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.（3）當(dāng)時(shí)，為常函數(shù)，不符合題意，再由（2）可知或或；設(shè)，，且．，由，可得，要使函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，只需，則，解得，或，綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.20．隨著人類(lèi)生活質(zhì)量的提高，生活用水越來(lái)越多，水污染也日益嚴(yán)重，水資源愈來(lái)愈成為世界關(guān)注的問(wèn)題，許多國(guó)家都積極響應(yīng)節(jié)約水資源的號(hào)召.為此我們的國(guó)家也提出了比較科學(xué)的處理污水的辦法.近年來(lái)，某企業(yè)每年需要向自來(lái)水廠繳納水費(fèi)約4萬(wàn)元，為了緩解供水的壓力，決定對(duì)污水進(jìn)行凈化再利用，以降低自來(lái)水的使用量.該企業(yè)經(jīng)測(cè)算，企業(yè)擬安裝一種使用壽命為4年的污水凈化設(shè)備.這種凈水設(shè)備的購(gòu)置費(fèi)（單位：萬(wàn)元）與設(shè)備的占地面積x（單位：平方米）成正比，比例系數(shù)為0.2.預(yù)計(jì)安裝后該企業(yè)每年需繳納的水費(fèi)C（單位：萬(wàn)元）與設(shè)備占地面積x之間的函數(shù)關(guān)系為（，k為常數(shù)）.將該企業(yè)的凈水設(shè)備購(gòu)置費(fèi)與安裝后4年需繳水費(fèi)之和合計(jì)為y（單位：萬(wàn)元）.(1)試解釋的實(shí)際意義，根據(jù)題意求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)要使y不超過(guò)7.2萬(wàn)元，求設(shè)備占地面積x的取值范圍；(3)當(dāng)設(shè)備占地面積x為多少時(shí)，y的值最小？【答案】(1)表示不安裝設(shè)備時(shí)每年繳納的水費(fèi)約為4萬(wàn)元，(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題目條件求出k，即可求出解析式；（2）由題意解不等式即可；（3）對(duì)函數(shù)變形，利用基本不等式求解最值即可.【詳解】（1）表示不安裝設(shè)備時(shí)每年繳納的水費(fèi)約為4萬(wàn)元，則，解得，所以，即；（2）要滿足題意，則，即，化簡(jiǎn)得，解得，即設(shè)備占地面積x的取值范圍為.（3），當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以設(shè)備占地面積為時(shí)，y的值最小.21．學(xué)習(xí)與探究問(wèn)題：正實(shí)數(shù)x，y，滿足，求的最小值．求解本問(wèn)題的方法很多，其中一種求解方法是：，當(dāng)且僅當(dāng)，即，而時(shí)，即，且時(shí)取等號(hào)成立．這種解題方法叫作“1”的代換．(1)利用上述求解方法解決下列問(wèn)題：若實(shí)數(shù)a，b，x，y滿足，試比較與的大小，并注明等號(hào)成立的條件；(2)利用（1）的結(jié)論，求的最小值，并注明使得T取得最小值時(shí)t的值．【答案】(1)當(dāng)且僅當(dāng)且x，y同號(hào)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)x，y滿足；(2)當(dāng)時(shí)，T有最小值．【分析】（1）根據(jù)題意，得到，根據(jù)，再集合不等式，即可求解；（2）令且，由（1）得到，求得，，得到，即可求解.【詳解】（1）解：由，可得，又由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)且x，y同號(hào)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)x，y滿足.（2）解：令且，由，即，則，，解得，，因?yàn)椋裕瑒t，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即等號(hào)成立，此時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，有最小值．22．已知函數(shù)，．(1)若命題：，為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)求函數(shù)的最小值；(3)若，，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)；