5.2三角函數(shù)的概念第五章

三角函數(shù)5.2.1三角函數(shù)的概念探索新知停頓

問題1如何研究具體的函數(shù)類型，我們研究對數(shù)函數(shù)的路徑是什么?背景概念圖象和性質應用回顧：在初中我們是如何定義銳角三角函數(shù)的？ACB在Rt△ABC中，它們是以銳角為自變量，邊的比值為函數(shù)值的三角函數(shù).對邊鄰邊斜邊特殊角的三角函數(shù)值探索新知上述定義只限于直角三角形中的銳角，而現(xiàn)在角的定義已經(jīng)拓廣到任意角，如:停頓師生互動，探索新知

問題2如圖：圓O上的點P以A為起點做逆時針方向旋轉。如何借助角α的大小變化刻畫點P的位置變化呢？

先研究單位圓上點P的變化情況。﹒探索新知

一般地，任意給定一個角

∈R，它的終邊OP與單位圓交點P的坐標，無論是橫坐標x還是縱坐標y，都是唯一確定的.

所以，點P的橫坐標x、縱坐標y都是角

的函數(shù).

以原點O為圓心，以單位長度（r=1）為半徑的圓稱為單位圓。yox1M探索新知探索新知任意角三角函數(shù)的定義

注意：正弦，余弦，正切都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數(shù)值的函數(shù)，我們將他們稱為三角函數(shù).設

是一個任意角，

∈R

，它的終邊OP與單位圓相交于點P(x，y).

﹒

我們將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)，通常將它們記為：正弦函數(shù)

余弦函數(shù)

正切函數(shù)

探索新知根據(jù)三角函數(shù)的定義，確定它們的定義域（弧度制）思考三角函數(shù)定義域

R

R﹒探索新知思考：初中我們學習的銳角三角函數(shù)與任意角三角函數(shù)的定義有什么區(qū)別和聯(lián)系？銳角三角函數(shù)

任意角三角函數(shù)探索新知P解：如圖，在直角坐標系中，作

，易知∠AOB的終邊與單位圓的交點坐標為

，所以

典型例題例2

如圖,設α是一個任意角,它的終邊上任意一點P(不與原點O重合)的坐標為(x，y),點P與原點的距離為r.求證：α結論：任意角α的三角函數(shù)值僅與α有關，與點P在角的終邊上的位置無關.∽

典型例題③

叫做的正切，即任意角的三角函數(shù)第二定義xyMP(x,y)

變式：已知角α的終邊過點P(-12a,5a)（a≠0）,求角α的三角函數(shù)值。那么①叫做的正弦，即

②

叫做的余弦，即探索新知設角是一個任意角，是終邊上的任意一點，點與原點的距離α0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°α的弧度sinαcosαtanα特殊角的三角函數(shù)值--

---探索新知-前面我們學習了三角函數(shù)的定義，根據(jù)已有的學習經(jīng)驗，你認為接下來應研究三角函數(shù)的哪些問題？由三角函數(shù)的定義以及任意角α是的終邊與單位圓交點所在的象限，你能發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)值的符號有什么規(guī)律嗎？探索新知三角函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx定義域象限角三角函數(shù)值符號探究：根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義，確定正弦、余弦、正切函數(shù)在弧度制下的定義域，再確定這三種三角函數(shù)的值在各個象限的符號．

象限角函數(shù)值取正：一全二正弦，三切四余弦.

答案：√，×，×.

答案：C.典型例題

證明：先證充分性．因為①式sinθ<0成立，所以θ角的終邊可能位于第三或第四象限，也可能與y軸的負半軸重合；又因為②式tanθ＞0成立，所以θ角的終邊可能位于第一或第三象限．例3.求證：角θ為第三象限角的充要條件是

因為①②式都成立，所以θ角的終邊只能位于第三象限．于是角θ為第三象限角．典型例題

再證必要性．因為①式sinθ＜0成立，由定義①②式都成立．例3求證：角θ為第三象限角的充要條件是

典型例題練習：(1)若，試指出所在的象限；(2)若在第三象限，判斷

的符號.第三象限典型例題探究2：現(xiàn)在我們嘗試從三角函數(shù)的定義出發(fā)，討論一下什么時候三角函數(shù)取值相等？由三角函數(shù)的定義，可以知道：終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等.由此，我們可以得到一組公式：公式一

探索新知（1）誘導公式一體現(xiàn)了三角函數(shù)周期性取值的規(guī)律，這是“單位圓上的點繞圓周旋轉整數(shù)周仍然回到原來位置”的特征的反映．

（2）利用公式一可以把求任意角的三角函數(shù)值，轉化為求0～2π角的三角函數(shù)值．同時，由公式一可以發(fā)現(xiàn)，只要討論清楚三角函數(shù)在區(qū)間[0，2π]上的性質，那么三角函數(shù)在整個定義域上的性質就清楚了．（2）你認為誘導公式一有什么作用？追問：（1）觀察誘導公式一，對三角函數(shù)的取值規(guī)律你有什么進一步的發(fā)現(xiàn)？它反映了圓的什么特性？探索新知【例