2023-2024學年杭州市高級中學數學高三第一學期期末綜合測試試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知復數滿足，則的值為（）A． B． C． D．22．要得到函數的導函數的圖像，只需將的圖像（）A．向右平移個單位長度，再把各點的縱坐標伸長到原來的3倍B．向右平移個單位長度，再把各點的縱坐標縮短到原來的倍C．向左平移個單位長度，再把各點的縱坐標縮短到原來的倍D．向左平移個單位長度，再把各點的縱坐標伸長到原來的3倍3．已知集合，則集合（）A． B． C． D．4．如圖，在直三棱柱中，，，點分別是線段的中點，，分別記二面角，，的平面角為，則下列結論正確的是（）A． B． C． D．5．某四棱錐的三視圖如圖所示，該幾何體的體積是（）A．8 B． C．4 D．6．已知定義在上的奇函數滿足：（其中），且在區間上是減函數，令，，，則，，的大小關系（用不等號連接）為（）A． B．C． D．7．設是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，，則 D．若，，，則8．已知復數，為的共軛復數，則（）A． B． C． D．9．定義，已知函數，，則函數的最小值為（）A． B． C． D．10．已知向量，，若，則與夾角的余弦值為（）A． B． C． D．11．設等比數列的前項和為，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件12．已知集合A＝{0，1}，B＝{0，1，2}，則滿足A∪C＝B的集合C的個數為（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量=（－4，3），=（6，m），且，則m=__________.14．已知函數，則不等式的解集為____________.15．如圖,在梯形中，∥，分別是的中點，若，則的值為___________.16．將函數的圖象向左平移個單位長度，得到一個偶函數圖象，則________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，兩種坐標系中取相同的長度單位.已知直線l的參數方程為（t為參數），曲線C的極坐標方程為ρ＝4sin（θ+）.（1）求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標方程；（2）若直線l與曲線C交于M，N兩點，求△MON的面積.18．（12分）若養殖場每個月生豬的死亡率不超過，則該養殖場考核為合格，該養殖場在2019年1月到8月養殖生豬的相關數據如下表所示：月份1月2月3月4月5月6月7月8月月養殖量/千只33456791012月利潤/十萬元3.64.14.45.26.27.57.99.1生豬死亡數/只293749537798126145（1）從該養殖場2019年2月到6月這5個月中任意選取3個月，求恰好有2個月考核獲得合格的概率；（2）根據1月到8月的數據，求出月利潤y（十萬元）關于月養殖量x（千只）的線性回歸方程（精確到0.001）.（3）預計在今后的養殖中，月利潤與月養殖量仍然服從（2）中的關系，若9月份的養殖量為1.5萬只，試估計：該月利潤約為多少萬元？附：線性回歸方程中斜率和截距用最小二乘法估計計算公式如下：，參考數據：.19．（12分）設的內角的對邊分別為，已知.（1）求；（2）若為銳角三角形，求的取值范圍.20．（12分）設數列，的各項都是正數，為數列的前n項和，且對任意，都有，，，（e是自然對數的底數）.（1）求數列，的通項公式；（2）求數列的前n項和.21．（12分）已知離心率為的橢圓經過點.(1)求橢圓的方程；(2)薦橢圓的右焦點為，過點的直線與橢圓分別交于，若直線、、的斜率成等差數列，請問的面積是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由.22．（10分）在平面四邊形中，已知，.（1）若，求的面積；（2）若求的長.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

由復數的除法運算整理已知求得復數z，進而求得其模.【詳解】因為，所以故選：C【點睛】本題考查復數的除法運算與求復數的模，屬于基礎題.2、D【解析】

先求得，再根據三角函數圖像變換的知識，選出正確選項.【詳解】依題意，所以由向左平移個單位長度，再把各點的縱坐標伸長到原來的3倍得到的圖像.故選：D【點睛】本小題主要考查復合函數導數的計算，考查誘導公式，考查三角函數圖像變換，屬于基礎題.3、D【解析】

弄清集合B的含義，它的元素x來自于集合A，且也是集合A的元素.【詳解】因，所以，故，又，，則，故集合.故選：D.【點睛】本題考查集合的定義，涉及到解絕對值不等式，是一道基礎題.4、D【解析】

過點作，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法求解二面角的余弦值得答案．【詳解】解：因為，，所以，即過點作，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，則，0，，，，，，0，，，1，，，，，，，設平面的法向量，則，取，得，同理可求平面的法向量，平面的法向量，平面的法向量．，，．．故選：D．【點睛】本題考查二面角的大小的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，屬于中檔題．5、D【解析】

根據三視圖知，該幾何體是一條垂直于底面的側棱為2的四棱錐，畫出圖形，結合圖形求出底面積代入體積公式求它的體積．【詳解】根據三視圖知，該幾何體是側棱底面的四棱錐，如圖所示：結合圖中數據知，該四棱錐底面為對角線為2的正方形，高為PA=2，∴四棱錐的體積為.故選：D.【點睛】本題考查由三視圖求幾何體體積，由三視圖正確復原幾何體是解題的關鍵，考查空間想象能力．屬于中等題.6、A【解析】因為，所以，即周期為４，因為為奇函數，所以可作一個周期[-2e,2e]示意圖，如圖在（０，１）單調遞增，因為，因此，選Ａ．點睛：函數對稱性代數表示（1）函數為奇函數，函數為偶函數（定義域關于原點對稱）；（2）函數關于點對稱，函數關于直線對稱，（3）函數周期為T,則7、C【解析】

根據空間中直線與平面、平面與平面位置關系相關定理依次判斷各個選項可得結果.【詳解】對于，當為內與垂直的直線時，不滿足，錯誤；對于，設，則當為內與平行的直線時，，但，錯誤；對于，由，知：，又，，正確；對于，設，則當為內與平行的直線時，，錯誤.故選：.【點睛】本題考查立體幾何中線面關系、面面關系有關命題的辨析，考查學生對于平行與垂直相關定理的掌握情況，屬于基礎題.8、C【解析】

求出，直接由復數的代數形式的乘除運算化簡復數.【詳解】.故選：C【點睛】本題考查復數的代數形式的四則運算，共軛復數，屬于基礎題.9、A【解析】

根據分段函數的定義得，，則,再根據基本不等式構造出相應的所需的形式，可求得函數的最小值.【詳解】依題意得，，則,(當且僅當，即時“”成立.此時,，，的最小值為，故選：A.【點睛】本題考查求分段函數的最值，關鍵在于根據分段函數的定義得出，再由基本不等式求得最值，屬于中檔題.10、B【解析】

直接利用向量的坐標運算得到向量的坐標，利用求得參數m，再用計算即可.【詳解】依題意，，而，即，解得，則.故選：B.【點睛】本題考查向量的坐標運算、向量數量積的應用，考查運算求解能力以及化歸與轉化思想.11、C【解析】

根據等比數列的前項和公式，判斷出正確選項.【詳解】由于數列是等比數列，所以，由于，所以，故“”是“”的充分必要條件.故選：C【點睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查等比數列前項和公式，屬于基礎題.12、A【解析】

由可確定集合中元素一定有的元素，然后列出滿足題意的情況，得到答案.【詳解】由可知集合中一定有元素2，所以符合要求的集合有，共4種情況，所以選A項.【點睛】考查集合并集運算，屬于簡單題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、8.【解析】

利用轉化得到加以計算，得到.【詳解】向量則.【點睛】本題考查平面向量的坐標運算、平面向量的數量積、平面向量的垂直以及轉化與化歸思想的應用.屬于容易題.14、【解析】

，，分類討論即可.【詳解】由已知，，，若，則或解得或，所以不等式的解集為.故答案為：【點睛】本題考查分段函數的應用，涉及到解一元二次不等式，考查學生的計算能力，是一道中檔題.15、【解析】

建系，設設，由可得，進一步得到的坐標，再利用數量積的坐標運算即可得到答案.【詳解】以A為坐標原點，AD為x軸建立如圖所示的直角坐標系，設，則，所以，，由，得，即，又，所以，故,,所以.故答案為：2【點睛】本題考查利用坐標法求向量的數量積，考查學生的運算求解能力，是一道中檔題.16、【解析】

根據平移后關于軸對稱可知關于對稱，進而利用特殊值構造方程，從而求得結果.【詳解】向左平移個單位長度后得到偶函數圖象，即關于軸對稱關于對稱即：本題正確結果：【點睛】本題考查根據三角函數的對稱軸求解參數值的問題，關鍵是能夠通過平移后的對稱軸得到原函數的對稱軸，進而利用特殊值的方式來進行求解.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)直線l的普通方程為x＋y－4＝0.曲線C的直角坐標方程是圓：(x－)2＋(y－1)2＝4.(2)4【解析】

（1）將直線l參數方程中的消去，即可得直線l的普通方程，對曲線C的極坐標方程兩邊同時乘以，利用可得曲線C的直角坐標方程；（2）求出點到直線的距離，再求出的弦長，從而得出△MON的面積．【詳解】解：(1)由題意有，得，x＋y＝4，直線l的普通方程為x＋y－4＝0.因為ρ＝4sin所以ρ＝2sinθ＋2cosθ，兩邊同時乘以得，ρ2＝2ρsinθ＋2ρcosθ，因為，所以x2＋y2＝2y＋2x，即(x－)2＋(y－1)2＝4，∴曲線C的直角坐標方程是圓：(x－)2＋(y－1)2＝4.(2)∵原點O到直線l的距離直線l過圓C的圓心(，1)，∴|MN|＝2r＝4，所以△MON的面積S＝|MN|×d＝4.【點睛】本題考查了直線與圓的極坐標方程與普通方程、參數方程與普通方程的互化知識，解題的關鍵是正確使用這一轉化公式，還考查了直線與圓的位置關系等知識.18、（1）；（2）；（3）利潤約為111.2萬元.【解析】

（1）首先列出基本事件，然后根據古典概型求出恰好兩個月合格的概率；（2）首先求出利潤y和養殖量x的平均值，然后根據公式求出線性回歸方程中的斜率和截距即可求出線性回歸方程；（3）根據線性回歸方程代入9月份的數據即可求出9月利潤.【詳解】（1）2月到6月中，合格的月份為2，3，4月份，則5個月份任意選取3個月份的基本事件有，，，，，，，，，，共計10個，故恰好有兩個月考核合格的概率為；（2），，，，故；（3）當千只，（十萬元）（萬元），故9月份的利潤約為111.2萬元.【點睛】本題主要考查了古典概型，線性回歸方程的求解和使用，屬于基礎題.19、（1）（2）【解析】

（1）利用正弦定理化簡已知條件，由此求得的值，進而求得的大小.（2）利用正弦定理和兩角差的正弦公式，求得的表達式，進而求得的取值范圍.【詳解】（1）由題設知，，即，所以，即，又所以.（2）由題設知，，即，又為銳角三角形，所以，即所以，即，所以的取值范圍是.【點睛】本小題主要考查利用正弦定理解三角形，考查利用角的范圍，求邊的比值的取值范圍，屬于中檔題.20、（1），（2）【解析】

（1）當時,,與作差可得,即可得到數列是首項為1,公差為1的等差數列,即可求解；對取自然對數,則,即是以1為首項,以2為公比的等比數列,即可求解；（2）由（1）可得,再利用錯位相減法求解即可.【詳解】解:（1）因為,,①當時,,解得；當時,有,②由①②得,,又,所以,即數列是首項為1,公差為1的等差數列,故,又因為,且,取自然對數得,所以,又因為,所以是以1為首項,以2為公比的等比數列,所以,即（2）由（1）知,,所以,③,④③減去④得:,所以【點睛】本題考查由與的關系求通項公式,考查錯位相減法求數列的和.21、(1)；(2)是，【解析】

(1)根據及可得，再將點代入橢圓的方程與聯立解出，即可求出橢圓的方程；(2)可設所在直線的方程為，，，，將直線的方程與橢圓的方程聯立，用根與系數的關系求出，然后將直線、、的斜率、、分別用表示，利用可求出，從而可確定點恒在一條直線上，結合圖形即可求出的面積．【詳解】(1)因為橢圓的離心率為，所以，即，又，所以，①因為點在橢圓上，所以，②由①②解得，所以橢圓C的方程為．(1)可知，，可設所在直線的方程為，由，得，設，，，則，，設直線、、的斜率分別為、、，因為三點共線，所以，即，