第一單元分數乘法

（一）分數乘法意義：

1、分數乘整數的意義與整數乘法的意義相同，就是求幾個相同加數的和的簡便運算。

注：“分數乘整數”指的是第二個因數必須是整數，不能是分數。

333

例如3x7表達:求7個M的和是多少？或表達：W的7倍是多少？

2、一個數乘分數的意義就是求一個數的幾分之幾是多少。

注：“一個數乘分數”指的是第二個因數必須是分數,不能是整數。（第一個因數是什么都可

以）

3J_3

例如：MxU表達:求M的片是多少？

￡j_

9x7表達:求9的7是多少？

J_￡

Ax6表達:求a的6是多少？

（二）分數乘法計算法則：

1、分數乘整數的運算法則是：分子與整數相乘，分母不變。

注：（1）為了計算簡便能約分的可先約分再計算。（整數和分母約分）

（2）約分是用整數和下面的分母約掉最大公因數。（整數千萬不能與分母相乘，計算結果必須是

最簡分數）

2、分數乘分數的運算法則是:用分子相乘的積做分子，分母相乘的積做分母。（分子乘分子，分

母乘分母）

注：（1）假如分數乘法算式中具有帶分數,要先把帶分數化成假分數再計算。

（2）分數化簡的方法是：分子、分母同時除以它們的最大公因數。

（3）在乘的過程中約分，是把分子、分母中，兩個可以約分的數先劃去，再分別在它們的上、下方

寫出約分后的數。（約分后分子和分母必須不再具有公因數，這樣計算后的結果才是最簡樸分數）

（4）分數的基本性質：分子、分母同時乘或者除以一個相同的數（0除外），分數的大小不變。

（三）積與因數的關系：

一個數（0除外）乘大于1的數，積大于這個數。axb=c，當b>1時,c>a.

一個數（0除外）乘小于1的數，積小于這個數。axb=c,當bV1時,c<a（bxO）.

一個數（0除外）乘等于1的數，積等于這個數。axb=c,當b=1時,c=a.

注：在進行因數與積的大小比較時，要注意因數為0時的特殊情況。

]]___1_

附：形如l°x（a+份的分數可折成a+b）x~b

（四）分數乘法混合運算

1、分數乘法混合運算順序與整數相同，先乘、除后加、減，有括號的先算括號里面的，再算括號

外面的。

2、整數乘法運算定律對分數乘法同樣合用；運算定律可以使一些計算簡便。

乘法互換律：axb=bxa

乘法結合律：（axb）xc=ax（bxc）

乘法分派律:ax（b±c）=axb±axc

（五）倒數的意義:乘積為1的兩個數互為倒數。

1、倒數是兩個數的關系，它們互相依存，不能單獨存在。單獨一個數不能稱為倒數。（必須說

清誰是誰的倒數）

2、判斷兩個數是否互為倒數的唯一標準是：兩數相乘的積是否為“1”。

例如：axb=l則a、b互為倒數。

3、求倒數的方法：

①求分數的倒數：互換分子、分母的位置。

②求整數的倒數：整數分之1。

③求帶分數的倒數:先化成假分數，再求倒數。

④求小數的倒數：先化成分數再求倒數。

4、1的倒數是它自身，由于1x1=1

0沒有倒數，由于任何數乘0積都是。，且0不能作分母。

5、任意數a（awO）,它的倒數為L非零整數a的倒數為+；分數2的倒數是3。

aab

6、真分數的倒數是假分數，真分數的倒數大于1,也大于它自身。

假分數的倒數小于或等于lo

帶分數的倒數小于lo

（六）分數乘法應用題一一用分數乘法解決問題

1、求一個數的幾分之幾是多少？（用乘法）

II

“1"X￡=?

例如：求25的士是多少？列式:25x±=15

55

3

甲數的5等于乙數，已知甲數是25,求乙數是多少？列式：25X±=15

注:已知單位“1”的量，求單位“1”的量的幾分之幾是多少,用單位“1”的量與分數相乘。

2、（什么）是（什么）的空。

（兒）

()=("1")X”

(幾)

3

例1:已知甲數是乙數的三，乙數是25,求甲數是多少？

33

甲數=乙數x5即25x3=15

33

注:（1）“是””的"字中間的量“乙數”是二的單位“1”的量，即二是把乙數看作單位“1”，

把乙數平均提成5份,甲數是其中的3份。

（2）“是”，，占”“比，，這三個字都相稱于，，=”號，"的”字相稱于“x”。

（3）單位“1”的量x分率=分率相應的量

3

例2:甲數比乙數多（少）5,乙數是25,求甲數是多少？

312

甲數=乙數士乙數x5即25±25X5=25X(1±5)=40(或10)

3、巧找單位“1”的量:在具有分數（分率）的語句中，分率前面的量就是單位“1”相應的量，或

者“占”“是”“比”字后面的量是單位“1”。

4、什么是速度？

一速度是單位時間內行駛的路程。速度=路程+時間時間=路程+速度路程=速度x時間

一一單位時間指的是1小時1分鐘1秒等這樣的大小為1的時間單位，每分鐘、每小時、每秒

鐘等。

5、求甲比乙多（少）幾分之幾？

［（甲一乙）差

多―乙二比，后面的量二比后

少：（乙一甲）+乙

第三單元分數除法

一、分數除法的意義：分數除法是分數乘法的逆運算，已知兩個數的積與其中一個因數，求另一個

因數的運算。

二、分數除法計算法則：除以一個數（。除外），等于乘上這個數的倒數。

322135

1、被除數+除數=被除數x除數的倒數。^54-3=5X3=534-5=3X3=5

2、除法轉化成乘法時，被除數一定不能變，“+”變成“x"，除數變成它的倒數。

3、分數除法算式中出現小數、帶分數時要先化成分數、假分數再計算。

4、被除數與商的變化規律：

①除以大于1的數，商小于被除數：a+b=c當b>l時，c<a（awO）

②除以小于1的數，商大于被除數：a+b=c當bVl時,c>a（axObwO）

③除以等于1的數，商等于被除數:a+b=c當b=l時，c=a

三、分數除法混合運算

1、混合運算用梯等式計算，等號寫在第一個數字的左下角。

2、運算順序：

①連除:屬同級運算，按照從左往右的順序進行計算；或者先把所有除法轉化成乘法再計算;或者

依據“除以幾個數，等于乘上這幾個數的積”的簡便方法計算。力口、減法為一級運算，乘、除法

為二級運算。

②混合運算：沒有括號的先乘、除后加、減，有括號的先算括號里面，再算括號外面。

注：（a±b）+c=a+c±b+c

四、比:兩個數相除也叫兩個數的比

1、比式中，比號（：）前面的數叫前項，比號后面的項叫做后項，比號相稱于除號，比的前項除

以后項的商叫做比值。

注：連比如:3：4：5讀作：3比4比5

2、比表達的是兩個數的關系，可以用分數表達，寫成分數的形式，讀作幾比幾。

注:區分比和比值：比值是一個數，通常用分數表達，也可以是整數、小數。

比是一個式子，表達兩個數的關系，可以寫成比，也可以寫成分數的形式。

3、比的基本性質:比的前項和后項同時乘以或除以相同的數（0除外），比值不變。

4、化簡比:化簡之后結果還是一個比，不是一個數。

（1）、用比的前項和后項同時除以它們的最大公約數。

（2）、兩個分數的比，用前項后項同時乘分母的最小公倍數，再按化簡整數比的方法來化簡。也可

以求出比值再寫成比的形式。

（3）、兩個小數的比，向右移動小數點的位置，也是先化成整數比。

5、求比值：把比號寫成除號再計算，結果是一個數（或分數），相稱于商，不是比。

6、比和除法、分數的區別：

被

除除數（不能商不變性除法是一種

除除號住）

法為。）質運算

數

分分分數線分母（不分數的基分數是一個

數子(----)能為0）本性質數

前

后項（不比的基本比表達兩個

比項比號（:）

能為0）性質數的關系

附：商不變性質：被除數和除數同時乘或除以相同的數（0除外），商不變。

分數的基本性質:分子和分母同時乘或除以相同的數（0除外），分數的大小不變。

五、分數除法和比的應用

3

1、已知單位“1”的量用乘法。例:甲是乙的二，乙是25,求甲是多少？

33

即：FP=ZLX5（15X5=9）

3

2、未知單位“1”的量用除法。例：甲是乙的《，甲是15,求乙是多少？

33

即：甲=乙*（15+[=25乂建議歹1」方一程答）

3、分數應用題基本數量關系（把分數當作比）

（1）甲是乙的幾分之幾？

33

甲=乙、幾分之幾（例：甲是15的《，求甲是多少？15x5=9）

33

乙=甲十幾分之幾（例：9是乙的求乙是多少?9丁=15）

3

幾分之幾=甲+乙（例：9是15的幾分之幾？9-15=可（“是”字相稱“+”號，乙是單位

“1”）

（2）甲比乙多（少）幾分之幾？

差

A差+乙=Z（“比”字后面的量是單位“1”的量）

15-9g2

（例:9比15少幾分之幾？（15-9）+15=15=15=5）

%

B多幾分之幾是：

1552

（例：15比9少幾分之幾?15+9=9—1=3—1=3）

￥

C少幾分之幾是：1-乙

9_32

（例:9比15少幾分之幾？1-9+15=1」5=1-5=5）

8JLJL

D甲=乙士差=乙士乙x乙=乙±乙x幾=乙（1士幾）

222

（例:甲比15少二，求甲是多少？15-15x5=15X（1-5）=9（多是“+”少是）

匹

E乙=甲+（1士幾）

223

（例:9比乙少二，求乙是多少？9-（1-5）=9+1=15）（多是“+”少是）

225

（例：15比乙多］,求乙是多少？154-（1+3）=153=9）侈是“+”少是）

4、按比例分派：把一個量按一定的比分派的方法叫做按比例分派。

例如：已知甲乙的和是56,甲、乙的比3：5,求甲、乙分別是多少？

方法一:56+（3+5）=7甲:3x7=21乙：5x7=35

35

方法二:甲：56x3+5=21乙：56x3+5=35

例如:已知甲是21,甲、乙的比3：5,求乙是多少?

方法一：21+3=7乙：5x7=35

35

方法二：甲乙的和：21+3+5=56乙：56x3+5=35

333

方法三：甲+乙=5乙=甲+5=21+5=35

5、畫線段圖：

（1）找出單位“1”的量，先畫出單位“1”，標出已知和未知。

⑵分析數量關系。

（3）找等量關系。

⑷列方程。

注：兩個量的關系畫兩條線段圖,部分和整體的關系畫一條線段圖。

第四單元圓

一、.圓的特性

1、圓是平面內封閉曲線圍成的平面圖形,.

2、圓的特性：外形美觀，易滾動。

3、圓心o:圓中心的點叫做圓心.圓心一般用字母。表達.圓多次對折之后,折痕的相交于圓的中

心即圓心。圓心擬定圓的位置。

半徑r:連接圓心到圓上任意一點的線段叫做半徑。在同一個圓里，有無數條半徑，且所有的半徑

都相等。半徑擬定圓的大小。

直徑d:通過圓心且兩端都在圓上的線段叫做直徑。在同一個圓里，有無數條直徑，且所有的直

徑都相等。直徑是圓內最長的線段。

d_

同圓或等圓內直徑是半徑的2倍:d=2r或r=d+2=2d=2

4、等圓:半徑相等的圓叫做同心圓，等圓通過平移可以完全重合。

同心圓:圓心重合、半徑不等的兩個圓叫做同心圓。

5、圓是軸對稱圖形：假如一個圖形沿著一條直線對折，兩側的圖形可以完全重合，這個圖形是

軸對稱圖形。折痕所在的直線叫做對稱軸。

有一條對稱軸的圖形：半圓、扇形、等腰梯形、等腰三角形、角

有二條對稱軸的圖形：長方形

有三條對稱軸的圖形:等邊三角形

有四條對稱軸的圖形：正方形

有無條對稱軸的圖形:圓，圓環

6、畫圓

(1)圓規兩腳間的距離是圓的半徑。

(2)畫圓環節:定半徑、定圓心、旋轉一周。

二、圓的周長：圍成圓的曲線的長度叫做圓的周長，周長用字母C表達。

1、圓的周長總是直徑的三倍多一些。

2、圓周率：圓的周長與直徑的比值是一個固定值，叫做圓周率，用字母n表達。

周長

即：圓周率兀=n徑=周長+直徑=3.14

所以，圓的周長(c)=直徑(d)X圓周率(兀)---周長公式：c=Rd,c=2nr

注:圓周率兀是一個無限不循環小數，3.14是近似值。

3、周長的變化的規律：半徑擴大多少倍直徑也擴大多少倍，周長擴大的倍數與半徑、直徑擴大

的倍數相同。

假如rl：r2：r3=dl：d2：d3=c1：c2：c3

4、半圓周長=圓周長一半+直徑=2x2nr=jir+d

二、圓的面積S

1、圓面積公式的推導

如圖把一個圓沿直徑等提成若干份，剪開拼成長方形，份數越多拼成的圖像越接近長方形。

tps；二j

圓的半徑=長方形的寬

圓的周長的一半=長方形的長

長方形面積=長X寬

所以：圓的面積=長方形的面積=長乂寬=圓的周長的一半（nr）X圓的半徑⑺

S圓=nrXr

5圓=nrXr=nr2

2、幾種圖形，在面積相等的情況下,圓的周長最短，而長方形的周長最長；反之，在周長相等的情

況下，圓的面積則最大，而長方形的面積則最小。

周長相同時，圓面積最大，運用這一特點,籃子、盤子做成圓形。

3、圓面積的變化的規律：半徑擴大多少倍直徑、周長也同時擴大多少倍，圓面積擴大的倍數是半

徑、直徑擴大的倍數的平方倍。

假如：rl：r2：r3=d1：d2：d3=cl：c2：c3=2：3：4

則：S1：S2：S3=4：9：16

4、環形面積=大圓-小圓=nr大2—"r小2=n（r大2-r小2）

n

扇形面積="己、荻（n表達扇形圓心角的度數）

5、跑道:每條跑道的周長等于兩半圓跑道合成的圓的周長加上兩條直跑道的和。由于兩條直跑道

長度相等，所以，起跑線不同，相鄰兩條跑道起跑線也不同，間隔的距離是：2XWX跑道寬度。

注：一個圓的半徑增長a厘米，周長就增長2na厘米

一個圓的直徑增長b厘米，周長就增長nb厘米

6、任意一個正方形的內切圓即最大圓的直徑是正方形的邊長，它們的面積比是4：n

7、常用數據

n=3.142n=6.283n=9.424n=12.565n=15.7

第五單元、百分數

一、百分數的意義:表達一個數是另一個數的百分之幾。

注：百分數是專門用來表達一種特殊的倍比關系的，表達兩個數的比，所以，百分數又叫比例或百

分率，百分數不能帶單位。

1、百分數和分數的區別和聯系：

(1)聯系:都可以用來表達兩個量的倍比關系。

(2)區別:意義不同:百分數只表達倍比關系，不表達具體數量，所以不能帶單位。分數不僅表達倍

比關系，還能帶單位表達具體數量。

百分數的分子可以是小數,分數的分子只以是整數。

注：百分數在生活中應用廣泛，所涉及問題基本和分數問題相同，分母是100的分數并不是百分數,

必須把分母寫成“％”才是百分數，所以“分母是10。的分數就是百分數”這句話是錯誤的。

“％”的兩個0要小寫，不要與百分數前面的數混淆。一般來講，出勤率、成活率、合格率、對的

率能達成100%,出米率、出油率達不到100%,完畢率、增長了百分之幾等可以超過100%。一

般出粉率在70、80%,出油率在30、40%o

2、小數、分數、百分數之間的互化

(1)百分數化小數:小數點向左移動兩位，去掉。

(2)小數化百分數：小數點向右移動兩位，添上。

(3)百分數化分數：先把百分數寫成分母是100的分數，然后再化簡成最簡分數。

(4)分數化百分數：分子除以分母得到小數，(除不盡的保存三位小數)然后化成百分數。

⑸小數化分數：把小數成分母是10、100、1000等的分數再化簡。

⑹分數化小數:分子除以分母。

二、百分數應用題

1、求常見的百分率如:達標率、及格率、成活率、發芽率、出勤率等求百分率就是求一個數是

另一個數的百分之幾

2、求一個數比另一個數多（或少）百分之幾，實際生活中，人們常用增長了百分之幾、減少了

百分之幾、節約了百分之幾等來表達增長、或減少的幅度。

求甲比乙多百分之幾（甲一乙）+乙

求乙比甲少百分之幾（甲-乙）小甲

3、求一個數的百分之幾是多少一個數（單位“1”）X百分率

4、已知一個數的百分之幾是多少，求這個數部分量+百分率=一個數（單位“1”）

5、折扣折扣、打折的意義：幾折就是十分之幾也就是百分之幾十

通

折扣成數兒分之兒百分之兒小數

用

百分之八

八折八成十分之八0.8

十

八成十分之八百分之八

0.85

五點五十五m

百分之五

五折五成十分之五0.5

十

6、納稅繳納的稅款叫做應納稅額。

（應納稅額上（總收入）=（稅率）

（應納稅額）=（總收入）X（稅率）

7、利率

（1）存入銀行的錢叫做本金。

（2）取款時銀行多支付的錢叫做利息。

（3）利息與本金的比值叫做利率。

利息=本金X利率X時間

稅后利息=利息一利息的應納稅額=利息-利息X5%

注：國債和教育儲蓄的利息不納稅

8、百分數應用題型分類

里

（1）求甲是乙的百分之幾——（甲+乙）X100%=X100%=百分之幾

差差

（2）求甲比乙多（少）百分之幾----比字后面x100%=乙xlOO%

例

甲是50,乙是40,甲是乙的百分之幾？（50是40的百分之幾？）504-40=125%

甲是50,乙是40,乙是甲的百分之幾？（40是50的百分之幾？）40+50=80%

乙是40,甲是乙的125%,甲數是多少？（40的125%是多少？）40x125%=50

甲是50,乙是甲的80%,乙數是多少？（50的80%是多少？）50x80%=40

乙是40,乙是甲的80%，甲數是多少？（一個數的80%是40,這個數是多少？）40+80%=50

甲是50,甲是乙的125%,乙數是多少？（一個數的125%是50,這個數是多少