江西省2022年初中學業水平考試

數學試題卷

說明:

1.全卷滿分120分，考試時間120分鐘.2.請將答案寫在答題卡上，否則不給分.

一、單項選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

1.下列各數中，負數是（）

A.-1B.0C.2D.5/2

2.實數a,。在數軸上的對應點的位置如圖所示，則下列結論中,正確的是（）

-?-----------*-----------

0b

A.a>hB.a=hC.a<hD.a=-b

3.下列計算正確的是（）

A.m2-m3=m6B.=

C.m(m+〃)=/%2+〃D.(m+n)2=m2+/

4.將字母"C","H"按照如圖所示的規律擺放，依次下去，則第4個圖形中字母“H”

的個數是（）

HHH

H

11HII—

C-c-c-H

H—C—HH—C—C—HII—

HHH

HHH

①②

A.9B.10C.11D.12

5.如圖是四個完全相同的小正方體搭成的幾何體，它的俯視圖為（）

6.甲、乙兩種物質的溶解度y(g)與溫度/(℃)之間的對應關系如圖所示，則下列說法中,

錯誤的是()

A.甲、乙兩種物質的溶解度均隨著溫度的升高而增大

B.當溫度升高至12c時，甲的溶解度比乙的溶解度大

C.當溫度為0℃時，甲、乙的溶解度都小于20g

D.當溫度為30℃時，甲、乙的溶解度相等

二'填空題(本大題共6小題，每小題3分，共18分)

7.因式分解：34=.

8.正五邊形的外角和等于

9.已知關于x方程/+2x+左=0有兩個相等的實數根，則Z的值是

10.甲、乙兩人在社區進行核酸采樣，甲每小時比乙每小時多采樣10人，甲采樣160人

所用時間與乙采樣140人所用時間相等，甲、乙兩人每小時分別采樣多少人？設甲每小時采

樣尤人，則可列分式方程為.

11.沐沐用七巧板拼了一個對角線長為2的正方形，再用這副七巧板拼成一個長方形（如

圖所示），則長方形的對角線長為.

12.已知點A在反比例函數y=—（x>0）的圖象上，點8在光軸正半軸上，若OAB為等

x

腰三角形，且腰長為5,則AB的長為一

三'解答題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）

13.(1)計算:|-2|+74-20；

2元<6

（2）解不等式組：

3x>—2%+5

14.以下是某同學化筒分式（工的部分運算過程:

田上rx+iiix-2

解：原式=,?八°x①

[_(x+2)(x—2)x+2J3

解：

x+1x—2x—2―

=x②

|_(x+2)(x-2)(x+2)(x-2)_|3

x+1-x—2x—2

=-----------x----③

(x+2)(x-2)3J

(1)上面的運算過程中第步出現了錯誤；

(2)請你寫出完整的解答過程.

15.某醫院計劃選派護士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁4名護士積極報名參加，

其中甲是共青團員，其余3人均是共產黨員.醫院決定用隨機抽取的方式確定人選.

(1)“隨機抽取1人，甲恰好被抽中”是事件；

A.不可能B.必然C.隨機

(2)若需從這4名護士中隨機抽取2人，請用畫樹狀圖法或列表法求出被抽到的兩名護

士都是共產黨員的概率.

16.如圖是4x4的正方形網格，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖(保留作圖痕

(1)在圖1中作乙45c的角平分線；

(2)在圖2中過點。作一條直線/,使點A,B到直線/的距離相等.

17.如圖，四邊形A8CD為菱形，點E在AC的延長線上，ZACD=ZABE.

E

DC

AB

(1)求證：ABCs.

(2)當AB=6,AC=4時，求AE的長.

四、解答題（本大題共3小題，每小題8分，共24分）

18.如圖，點A（肛4）在反比例函數y="（x>0）的圖象上，點8在y軸上，03=2,將線段

X

A8向右下方平移，得到線段8,此時點C落在反比例函數的圖象上，點。落在x軸正半

軸上，且。。=1.

（1）點、B的坐標為,點D的坐標為，點C的坐標為

（用含機的式子表示）；

（2）求人的值和直線AC的表達式.

19.（1）課本再現：在。中，NAO8是A8所對的圓心角，NC是A8所對的圓周角，

我們在數學課上探索兩者之間的關系時，要根據圓心。與NC的位置關系進行分類.圖1是

其中一種情況，請你在圖2和圖3中畫出其它兩種情況的圖形，并從三種位置關系中任選一

種情況證明NC=g/A03；

（2）知識應用：如圖4,若：。的半徑為2,PAP8分別與「。相切于點A,B,ZC=60°,

求P4的長.

20.圖1是某長征主題公園的雕塑，將其抽象成如圖2所示的示意圖，已知AB〃8〃/G,

A,D,H,G四點在同一直線上，測得/刈。=/4=72.9。,40=1.6皿所=6.201.（結果保留

小數點后一位）

（1）求證：四邊形DEFG為平行四邊形;

（2）求雕塑的高（即點G到AB的距離）.

(參考數據：sin72.9°?0.96,cos72.9°?0.29,tan72.9°?3.25)

五'解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）

21.在“雙減”政策實施兩個月后，某市“雙減辦”面向本市城區學生，就“'雙減’前

后參加校外學科補習班的情況”進行了一次隨機問卷調查（以下將“參加校外學科補習班”

簡稱“報班”）,根據問卷提交時間的不同，把收集到的數據分兩組進行整理，分別得到統計

表1和統計圖1：

整理描述

表1：“雙減”前后報班情況統計表（第一組）

艮班數

01234及以上合計

類另

“雙減”前10248755124m

“雙減”后2551524n0m

m

(2)分析處理：請你匯總表1和圖1中的數據，求出“雙減”后報班數為3的學生人數

所占的百分比；

(3)“雙減辦”匯總數據后，制作了“雙減”前后報班情況的折線統計圖(如圖2).請

依據以上圖表中的信息回答以下問題：

①本次調查中，“雙減”前學生報班個數中位數為，“雙減”后學生報班

個數的眾數為;

②請對該市城區學生“雙減”前后報班個數變化情況作出對比分析(用一句話來概括).

22.跳臺滑雪運動可分為助滑、起跳、飛行和落地四個階段，運動員起跳后飛行的路線是

拋物線的一部分(如圖中實線部分所示)，落地點在著陸坡(如圖中虛線部分所示)上，著陸

坡上的基準點K為飛行距離計分的參照點，落地點超過K點越遠，飛行距離分越高.2022年

北京冬奧會跳臺滑雪標準臺的起跳臺的高度。4為66m,基準點K到起跳臺的水平距離為

75m,高度為(7/為定值).設運動員從起跳點A起跳后的高度y(m)與水平距離x(m)之間

的函數關系為y=奴2+bx+c(a^0).

y^k

19

（2）①若運動員落地點恰好到達K點，月.此時。=-二/二木，求基準點K的高度加

②若'時，運動員落地點要超過K點，則。取值范圍為；

（3）若運動員飛行的水平距離為25m時，恰好達到最大高度76m,試判斷他的落地點

能否超過K點，并說明理由.

六、解答題（本大題共12分）

23.問題提出：某興趣小組在一次綜合與實踐活動中提出這樣一個問題：將足夠大的直角

三角板莊戶（/0=90。,/尸=60。）的一個頂點放在正方形中心。處，并繞點。逆時針旋轉，探

究直角三角板PEE與正方形A8CO重疊部分的面積變化情況（已知正方形邊長為2）.

圖3

（1）操作發現：如圖1，若將三角板的頂點P放在點。處，在旋轉過程中，當。尸與0B

重合時，重疊部分的面積為;當OE與BC垂直時，重疊部分的面積為:

一般地，若正方形面積為S,在旋轉過程中，重疊部分的面積3與S的關系為；

(2)類比探究：若將三角板的頂點產放在點。處，在旋轉過程中，。瓦。。分別與正方

形的邊相交于點M,N.

①如圖2,當BM=CN時，試判斷重疊部分,OMN的形狀，并說明理由；

②如圖3,當CM=CN時，求重疊部分四邊形OMCN的面積(結果保留根號)；

(3)拓展應用：若將任意一個銳角的頂點放在正方形中心。處，該銳角記為NGO"(設

NGOH=a),將NG9”繞點。逆時針旋轉，在旋轉過程中，NGO”的兩邊與正方形A8CQ

的邊所圍成的圖形的面積為S2,請直接寫出邑的最小值與最大值(分別用含a的式子表示)，

（參考數據：sinl5°=—~",cosl5。=理士亞?,tanl5。=2-6）

44

江西省2022年初中學業水平考試

數學試題卷

一、單項選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

1.下列各數中，負數是（）

A.-1B.0C.2D.72

【答案】A

【分析】根據負數的定義即可得出答案.

【詳解】解：-1是負數，2,0是正數，0既不是正數也不是負數，

故選：A.

【點睛】本題考查了實數，掌握在正數前面添加得到負數是解題的關鍵.

2.實數a,。在數軸上的對應點的位置如圖所示，則下列結論中，正確的是（）

——?-------------------------------1---------------------1------------------A

a0b

A.a>bB.a=bC.a<hD.a=-h

【答案】C

【分析】根據數軸上點的特點，進行判斷即可.

【詳解】ABC.根據數軸上點a、8的位置可知，a<0,bX）,

：.a<h,故AB錯誤，C正確；

根據數軸上點。的位置可知，a<-b,故D錯誤.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了數軸上點的特點，熟練掌握數軸上點表示的數，越向右越大,

是解題的關鍵.

3.下列計算正確的是（）

A.nf-rn'=m('B.-(m-n)=—m+n

C.m(m+〃)=J%2+〃D.(m+ri)1=m2+n2

【答案】B

【分析】利用同底數累的乘法，去括號法則，單項式乘多項式，完全平方公式對各選項

依次判斷即可.

【詳解】解：A、病病=加工加6,故此選項不符合題意;

B、-(m-n)=-m+n,故此選項符合題意；

C、m(m+n)=m2+mn^m2+n,故此選項不符合題意；

D、(m+n)2=m2+2mn+n2m2+n2,故此選項不符合題意.

故選:B.

【點睛】本題考查了整式的混合運算，涉及到同底數基的乘法，去括號法則，單項式乘

多項式的運算法則，完全平方公式等知識.熟練掌握各運算法則和3+勿2=/+2必+82的應

用是解題的關鍵.

4.將字母“C”，"H”按照如圖所示的規律擺放，依次下去，則第4個圖形中字母“H”

的個數是()

HIHIHI

H—CI—HH-CI—IC—HH—C-C-C-H

HHHHHH

①②③

A.9B.10C.11D.12

【答案】B

【分析】列舉每個圖形中”的個數，找到規律即可得出答案.

【詳解】解：第1個圖中”的個數為4,

第2個圖中”的個數為4+2,

第3個圖中H的個數為4+2x2,

第4個圖中H的個數為4+2x3=10,

故選：B.

【點睛】本題考查了規律型：圖形的變化類，通過列舉每個圖形中H的個數，找到規律:

每個圖形比上一個圖形多2個H是解題的關鍵.

5.如圖是四個完全相同的小正方體搭成的幾何體，它的俯視圖為（）

【答案】A

【分析】從上面觀察該幾何體得到一個“T”字形的平面圖形，橫著兩個正方形，中間有

一個正方形，且有兩條垂直的虛線，下方有半個正方形.畫出圖形即可.

【詳解】俯視圖如圖所示.

【點睛】本題主要考查了幾何體的三視圖，俯視圖是從上面觀察幾何體得出的平面圖

形..注意：能看到的線用實線，看不到而存在的線用虛線.

6.甲、乙兩種物質的溶解度y（g）與溫度40之間的對應關系如圖所示，則下列說法中,

錯誤的是（）

A.甲、乙兩種物質的溶解度均隨著溫度的升高而增大

B.當溫度升高至t2℃時，甲的溶解度比乙的溶解度大

C.當溫度為0℃時，甲、乙的溶解度都小于20g

D.當溫度為30c時，甲、乙的溶解度相等

【答案】D

【分析】利用函數圖象的意義可得答案.

【詳解】解：由圖象可知，A、B、C都正確，

當溫度為。時，甲、乙的溶解度都為30g,故D錯誤，

故選：D.

【點睛】本題主要考查了函數的圖象，熟練掌握橫縱坐標表示的意義是解題的關鍵.

二'填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

7.因式分解：a2—3a=.

【答案】?（?-3）

【分析】直接提公因式a即可.

【詳解】解:原式=。3-3）.

故答案為：a（。-3）.

【點睛】此題主要考查了提公因式法分解因式，關鍵是正確確定公因式.

8.正五邊形的外角和等于

【答案】360

【詳解】試題分析：任何n邊形的外角和都等于360度.

考點：多邊形的外角和.

9.已知關于x的方程/+2x+々=0有兩個相等的實數根，則人的值是

【答案】1

【分析】由一元二次方程根的判別式列方程可得答案.

【詳解】解：一元二次方程有兩個相等的實數根,

可得判別式=0,

4—4%=(),

解得：k=l.

故答案為：1.

【點睛】本題考查的是一元二次方程根的判別式，掌握根的判別式的含義是解題的關鍵.

10.甲、乙兩人在社區進行核酸采樣，甲每小時比乙每小時多采樣10人，甲采樣160人

所用時間與乙采樣140人所用時間相等，甲、乙兩人每小時分別采樣多少人？設甲每小時采

樣x人，則可列分式方程為

160140

【答案】V=一

【分析】先表示乙每小時采樣（x-10）人，進而得出甲采樣160人和乙采樣140人所用

的時間，再根據時間相等列出方程即可.

【詳解】根據題意可知乙每小時采樣（x-10）人，根據題意，得

160_140

x-x-10

故答案為：岑=事

【點睛】本題主要考查了列分式方程，確定等量關系是列方程的關鍵.

11.沐沐用七巧板拼了一個對角線長為2的正方形，再用這副七巧板拼成一個長方形（如

圖所示），則長方形的對角線長為

①

④

①、⑦/②

【答案】亞

【分析】根據圖形可得長方形的長是正方形的對角線為2,長方形的寬是正方形對角線

的一半為1，然后利用勾股定理即可解決問題.

【詳解】解：根據圖形可知：長方形的長是正方形的對角線為2,長方形的寬是正方形

對角線的一半為1，

,根據勾股定理可知，長方形的對角線長：療彳=石.

故答案為：出.

【點睛】本題主要考查了正方形的性質，七巧板，矩形的性質，勾股定理，解決本題的

關鍵是所拼成的正方形的特點確定長方形的長與寬.

12

12.已知點A在反比例函數y=—（尤＞0）的圖象上，點3在x軸正半軸上，若,OAB為等

【答案】5或2造或可

【分析】因為等腰三角形的腰不確定，所以分三種情況分別計算即可.

【詳解】解：①當A0=A3時，AB=5；

②當時，AB=5；

③當0A=03時，則05=5,B(5,0),

1?

設A(〃，一)

a

：.A(3,4)或(4,3),

/.AB=43-5)2+4?=2亞或AB=^(4-5)2+32=M;

綜上所述，A8的長為5或2店或可.

故答案為：5或2君或師.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，反比例函數圖象上點的坐標特征，考查分類討

論的思想，當時，求出點的坐標是解題的關鍵.

三'解答題(本大題共5小題，每小題6分，共30分)

13.(1)計算:|-2|+>/4-20；

2x<6

(2)解不等式組:

3x>—21+5

【答案】(1)3；(2)l<x<3

【分析】(1)根據絕對值的性質，算術平方根的意義，零指數累的意義解答即可；

(2)分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、

大大小小找不到確定不等式組的解集.

【詳解】(1)原式=2+2-1,

=3.

2xV6①

3x>—2x+5(2)

解不等式①得：x<3,解不等式②得：x>l,

，不等式組的解集為：1VXV3.

【點睛】本題考查是實數的運算和解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集

是基礎，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到'’的原則是解答此題

的關鍵.

14.以下是某同學化筒分式(含一占卜展的部分運算過程:

.x+111x-2?

解：原式=/?c、cX.①

|_(x+2)(x-2)x+2j3

x+1x—2x—2

=x②

|_(x+2)(x-2)(x+2)(x-2)_|3解：

x+1-x—2x—2

=-------------X-----(3)

(x+2)(x-2)3

(1)上面的運算過程中第步出現了錯誤；

(2)請你寫出完整的解答過程.

【答案】(1)③(2)見解析

【分析】根據分式的運算法則：先乘方，再加減，最后乘除，有括號先算括號里面的計

算即可.

【小問1詳解】

第③步出現錯誤，原因是分子相減時未變號，

故答案為：③；

【小問2詳解】

解：原式=1U/一一

(x+2)(x-2)x+2J3

x+1x—2x—2

-_(x+2)*—2)(x+2)(x-2)J3

x+1—x+2x—2

--------------------x--------

(x+2)(x-2)3

—_____3_____x_x_-_2_

(x+2)(x-2)3

1

x+2

【點睛】本題主要考查了分式的混合運算，熟練掌握分式的運算法則是解決本題的關鍵.

15.某醫院計劃選派護士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁4名護士積極報名參加，

其中甲是共青團員，其余3人均是共產黨員.醫院決定用隨機抽取的方式確定人選.

(1)“隨機抽取1人，甲恰好被抽中”是事件；

A.不可能B.必然C.隨機

(2)若需從這4名護士中隨機抽取2人，請用畫樹狀圖法或列表法求出被抽到的兩名護

士都是共產黨員的概率.

【答案】(1)C(2)|

【分析】(1)根據隨機事件的定義即可解決問題；

(2)從甲、乙、丙、丁名護士積極報名參加，設甲是共青團員用T表示，其余3人均是

共產黨員用G表示，從這4名護士中隨機抽取2人，所有可能出現的結果共有12種，然后利

用樹狀圖即可解決問題.

【小問1詳解】

解：“隨機抽取1人，甲恰好被抽中”是隨機事件;

故答案為：C；

【小問2詳解】

從甲、乙、丙、丁4名護士積極報名參加，設甲是共青團員用T表示，其余3人均是共

產黨員用G表示.從這4名護士中隨機抽取2人，所有可能出現的結果共有12種，如圖所示:

第一名TGGG

第二名G小小攻心

它們出現的可能性相同，所有的結果中，被抽到的兩名護士都是共產黨員的(記為事件

A）的結果有6種，則P（A）=\=；,

則被抽到的兩名護士都是共產黨員的概率為g.

【點睛】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率，隨機事件.解決本題的關鍵是掌

握列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件.用

到的知識點為：概率所求情況數與總情況數之比.

16.如圖是4x4的正方形網格，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕

（1）在圖1中作NA5C的角平分線；

（2）在圖2中過點。作一條直線/,使點A,8到直線/的距離相等.

【答案】（1）作圖見解析部分

（2）作圖見解析部分

【分析】（1）連接AC,HG,AC與HG交于點、P,作射線即可；

（2）取格點。，過點C和點。作直線/即可.

【小問1詳解】

解：如圖1,連接AC、HG,AC與加交于點P,設小正方形的邊長為1個單位,

?.?線段AC和HG是矩形的兩條對角線且交于點P,

:.AP=CP,

'又"*'AB=+F=V5?BC-d*+『=#），

AB=BC,

，BP平分NA5C,

射線BP即為所作；

【小問2詳解】

圖1

如圖2,連接A。、AB.BC、CD,直線/經過點C和點￡>,設小正方形的邊長為1個

單位,

,,AB-《22+『=石’AD=52、+『=#),

BC=d爰+f=石，CD=y/22+l2=^，

：.AB=AD=CD=BC,

...四邊形ABC。是菱形，

又■:AE=DF—11BE-AF-2，AAEB-NDFA-90°,

在AAEB和.DFA中，

AE=DF

<ZAEB=ZDFA

BE^AF

二^AEB^DFA(SAS),

：.ZABE=ZDAF,

：/ABE+ZBAE=90°,

：.ZDAF+ZBAE^9Q0,

：.44)=90°,

...四邊形ABC。是正方形，

AAD11,BC±l,^.AD=BC,

直線/即為所作.

【點睛】本題考查作圖一應用與設計作圖，考查了等腰三角形三線合一的性質，矩形的

性質，正方形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，直角三角形兩銳角互余，勾股定理

等知識.解題的關鍵是理解題意，學會利用數形結合的思想解決問題.

17.如圖，四邊形ABC。為菱形，點￡在AC的延長線上，ZACD=ZABE.

（1）求證：ABC^.AEB；

（2）當A8=6,AC=4時，求AE的長.

【答案】（1）見解析（2）AE=9

【分析】（1）根據四邊形ABC。是菱形，得出CO〃A8,AB=CB,根據平行線的性質

和等邊對等角，結合=得出NACO=NABE=NC4B=NACB,即可證明結論;

40

⑵根據視CsAA出得出1r下，代入數據進行計算，即可得出AE的值.

【小問1詳解】

證明：?.?四邊形A3CO為菱形,

ACD//AB,AB=CB,

:.ZACD=/LCAB,ZCAB=ZACB,

'：ZACD=ZABE,

：.ZACD=ZABE=NCAB=ZACB,

小問2詳解】

.AB_AC

"AE-AB

即9=4

AE6

解得：AE=9.

【點睛】本題主要考查了菱形的性質，平行線的性質，等腰三角形的性質，三角形相似

的判定和性質，根據題意得出NACD=NABE=NGLB=NACB,是解題關鍵.

四、解答題(本大題共3小題，每小題8分，共24分)

18.如圖，點A(肛4)在反比例函數y=*>0)的圖象上，點8在y軸上，03=2,將線段

A8向右下方平移，得到線段8,此時點C落在反比例函數的圖象上，點。落在x軸正半

軸上，且00=1.

(1)點、B的坐標為,點D的坐標為，點C的坐標為

(用含機的式子表示);

(2)求々的值和直線AC的表達式.

【答案】(1)(0,2),(1,0),(加+1,2)

(2)1；y=-2x+6

【分析】(1)根據。8=2可得點8的坐標，根據。。=1可得點。的坐標為(1,0),由

平移規律可得點C的坐標；

(2)根據點C和。的坐標列方程可得加的值，從而得k的值，再利用待定系數法可得直線

AC的解析式.

【小問1詳解】

?.?點8在y軸上，OB=2,

：.B(0,2),

?.?點。落在x軸正半軸上，且8=1

：.D(1,0),

...線段AB向下平移2個單位，再向右平移1個單位，得到線段C。，

:點ACm,4),

：.C(m+1,2),

故答案為：(0,2),(1,0),(加+1,2)；

【小問2詳解】

?.?點A和點C在反比例函數尸々x>0)的圖象上，

X

???左=4w=2(m+1),

??721—1,

???A(1,4),C(2,2),

??.k=1x4=4,

設直線AC的表達式為：y=sx+，，

s2+s+t-=42解叫,s==6-2

直線AC的表達式為：y=-2x+6.

【點睛】此題主要考查了一次函數和反比例函數的綜合應用以及平移的性質，根據。8

和。。的長得出平移的規律是解題關鍵.

19.(1)課本再現：在O中，NAQB是所對圓心角，NC是AB所對的圓周角，我

們在數學課上探索兩者之間的關系時，要根據圓心。與NC的位置關系進行分類.圖1是其

中一種情況，請你在圖2和圖3中畫出其它兩種情況的圖形，并從三種位置關系中任選一種

情況證明NC=；NA06；

（2）知識應用：如圖4,若。的半徑為2,PAP3分別與:。相切于點A,B,ZC=60°,

求PA的長.

【答案】（1）見解析；（2）2月

【分析】（1）①如圖2,當點。在NACB的內部，作直徑，根據三角形外角的性質和等

腰三角形的性質可得結論；②如圖3,當。在NACB的外部時，作直徑CO,同理可理結論;

（2）如圖4,先根據（1）中的結論可得/AOB=120。,由切線的性質可得

NOAP=NOBP=90。,可得/。用=30。，從而得出的長.

【詳解】解：（1）①如圖2,連接CO,并延長CO交。。于點。，

AZA=ZACO,ZB=ZBCO,

ZAOD=ZA+ZACO=2ZACO,ZBOD=ZB+ZBCO=2ZBCO,

ZAOB=ZAOD+ZBOD=2ZACO+2ZBCO=2ZACB,

：.ZACB=^NA08；

如圖3,連接CO,并延長CO交。。于點。,

圖3

■:OA=OC=OB,

：.ZA=ZACO,NB=NBCO,

'：ZAOD=ZA+ZACO=2ZACO,NBOD=NB+NBCO=2/BCO,

：.ZAOB=ZAOD-ZBOD=2ZACO-2ZBCO=2ZACB,

：.ZACB=^ZAOB；

(2)如圖4,連接OA,OB,OP,

圖4

VZC=60°,

ZAOB=2ZC=120°,

'：PA,PB分別與。。相切于點A,B,

；.NOAP=NOBP=9。。,ZAPO=ZBPO=^ZAPB=^(180°-120°)=30°,

'：0A=2,

：.OP=2QA=4,

:.PA3_*=26

【點睛】本題考查了切線長定理，圓周角定理等知識，掌握證明圓周角定理的方法是解

本題的關鍵.

20.圖1是某長征主題公園的雕塑，將其抽象成如圖2所示的示意圖，已知A3〃C￡>〃FG,

A,D,H,G四點在同一直線上，測得NFEC=NA=72.9o,AO=1.6m,M=6.2m.（結果保留

小數點后一位）

（1）求證：四邊形OEFG為平行四邊形；

（2）求雕塑的高（即點G到的距離）.

（參考數據：sin72.9°?0.96,cos72.9°?0.29,tan72.9°?3.25）

【答案】（1）見解析（2）雕塑的高為7.5m,詳見解析

【分析】（1）根據平行四邊形的定義可得結論；

（2）過點G作GPL4B于P,計算AG的長，利用〃的正弦可得結論.

【小問1詳解】

證明：??,AB"CO〃尸G,

.?.z.C￡）G=zA,

,:乙FEC=zA,

:?乙FEC=KCDG,

：.EF//DG,

?:FG//CD,

???四邊形OEFG為平行四邊形；

【小問2詳解】

如圖，過點G作GPL4B于P,

???四邊形DEFG為平行四邊形,

.,.DG=EF=6.2,

■：AD=1.6,

.?.AG=OG+AO=6.2+1.6=7.8,

在Rf/XAPG中,si小”

AG

PG

——=0.96,

7.8

.-.PG=7.8x0.96=7.488=7.5.

【點睛】本題考查解直角三角形的應用，解題的關鍵是理解題意，正確作輔助線構建直

角三角形解決問題.

五'解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）

21.在“雙減”政策實施兩個月后，某市“雙減辦”面向本市城區學生，就“'雙減’前

后參加校外學科補習班的情況”進行了一次隨機問卷調查（以下將“參加校外學科補習班”

簡稱“報班”）,根據問卷提交時間的不同，把收集到的數據分兩組進行整理，分別得到統計

表1和統計圖1：

整理描述

表1：“雙減”前后報班情況統計表（第一組）

艮班數

01234及以上合計

類另

“雙減”前10248755124m

“雙減”后2551524n0m

“雙減”前后報班情況統計圖(第二組)

(1)根據表1,m的值為.，區的值為

m

(2)分析處理:請你匯總表1和圖1中的數據，求出“雙減”后報班數為3的學生人數

所占的百分比;

(3)“雙減辦”匯總數據后，制作了“雙減”前后報班情況的折線統計圖(如圖2).請

依據以上圖表中的信息回答以下問題：

①本次調查中，“雙減”前學生報班個數的中位數為,“雙減”后學生報班

個數的眾數為;

②請對該市城區學生“雙減”前后報班個數變化情況作出對比分析(用一句話來概括).

【答案】(1)300；《

(2)見解析；2.4%

(3)①1；0；②見解析

【分析】(1)將表1中“雙減前”各個數據求和確定m的值，然后再計算求得n值，從而

求解；

(2)通過匯總表1和圖1求得“雙減后”報班數為3的學生人數，從而求解百分比；

(3)①根據中位數和眾數的概念分析求解；②根據“雙減”政策對學生報班個數的影響結果角

度進行分析說明.

【小問1詳解】

m=102+48+75+51+24m=300

解:由題意得,解得

255+15+24++0=〃=6

.?_6_1

*'m-300-50*

故答案為：300；—

【小問2詳解】

匯總表1和圖1可得:

總

01234及以上

數

1818

“雙減”前46500

722182

4241

“雙減”后1500

23402

，“雙減”后報班數為3的學生人數所占的百分比為一；xl00%=2.4%；

【小問3詳解】

“雙減”前共調查500個數據，從小到大排列后，第250個和第251個數據均為1,

，“雙減”前學生報班個數的中位數為1,

“雙減”后學生報班個數出現次數最多的是0,

，“雙減”后學生報班個數的眾數為0,

故答案為：1；0；

②從“雙減”前后學生報班個數的變化情況說明：“雙減”政策宣傳落實到位，參加校外培訓機

構的學生大幅度減少，“雙減”取得了顯著效果.

【點睛】本題考查統計的應用，理解題意，對數據進行采集和整理，掌握中位數和眾數

的概念是解題關鍵.

22.跳臺滑雪運動可分為助滑、起跳、飛行和落地四個階段，運動員起跳后飛行的路線是

拋物線的一部分（如圖中實線部分所示），落地點在著陸坡（如圖中虛線部分所示）上，著陸

坡上的基準點K為飛行距離計分的參照點，落地點超過K點越遠，飛行距離分越高.2022年

北京冬奧會跳臺滑雪標準臺的起跳臺的高度。4為66m,基準點K到起跳臺的水平距離為

75m,高度為（%為定值）.設運動員從起跳點A起跳后的高度y（m）與水平距離x（m）之間

的函數關系為^=62+公+。370）.

（1）C的值為;

1Q

（2）①若運動員落地點恰好到達K點，且此時。=-三,。=木，求基準點K的高度力；

②若時，運動員落地點要超過K點，則。的取值范圍為；

（3）若運動員飛行的水平距離為25m時，恰好達到最大高度76m,試判斷他的落地點

能否超過K點，并說明理由.

9

【答案】（1）66（2）①基準點K高度為21機；②

（3）他的落地點能超過K點，理由見解析.

【分析】（1）根據起跳臺的高度。4為66加，即可得c=66；

1QI9

（2）①由a=-—,b=—,知曠=--x2+—x+66,根據基準點K到起跳臺的水平距

離為75機，即得基準點K的高度"為21機;

②運動員落地點要超過K點，即是x=75時，y>21,故-\*752+75匕+66>21,即可解

得答案；

(3)運動員飛行的水平距離為25m時，恰好達到最大高度76m即是拋物線的頂點為(25,

2

76),設拋物線解析式為y=a(x-25)2+76,可得拋物線解析式為y=-法(%-25)2+76,

當x=75時，y=36,從而可知他的落地點能超過K點.

【小問1詳解】

解：?.?起跳臺的高度0A為66m,

：.A(0,66),

把A(0,66)代入得：

c=66,

故答案為：66；

【小問2詳解】

]Q

解：①?；a=--，b——，

5010

'.y=--—x2+—x+66,

5010

???基準點K到起跳臺的水平距離為75m,

19

y=--X752Hx75+66=21,

,5010

基準點K的高度力為21〃z；

②

；?y=——x2+/7x+66,

,50

???運動員落地點要超過K點，

當%=75時，y>21,

BP--X752+75/?+66>21,

9

解得心言，

9

故答案為：b>—；

小問3詳解】

解：他的落地點能超過K點，理由如下：

???運動員飛行的水平距離為25m時，恰好達到最大高度76m,

.??拋物線的頂點為（25,76）,

設拋物線解析式為y=a（x-25）2+76,

把（0,66）代入得：

66=a（0-25）2+76,

,2

解得a=-――）

125

2

???拋物線解析式為>=-商（廠25）2+76,

2

當尤=75時，y=----x（75-25）2+76=36,

V36>21,

他的落地點能超過K點.

【點睛】本題考查二次函數的應用，解題的關鍵是讀懂題意，能根據題意把實際問題轉

化為數學問題.

六、解答題（本大題共12分）

23.問題提出：某興趣小組在一次綜合與實踐活動中提出這樣一個問題：將足夠大的直角

三角板「￡戶（"=90。,/產=60。）的一個頂點放在正方形中心。處，并繞點。逆時針旋轉，探

究直角三角板尸所與正方形ABC。重疊部分的面積變化情況（已知正方形邊長為2）.

圖2

（1）操作發現：如圖1，若將三角板的頂點P放在點。處，在旋轉過程中，當OF與0B

重合時，重疊部分的面積為;當。尸與垂直時，重疊部分的面積為

一般地，若正方形面積為S,在旋轉過程中，重疊部分的面積R與S的關系為

（2）類比探究：若將三角板的頂點尸放在點。處，在旋轉過程中，。瓦。尸分別與正方

形的邊相交于點M,N.

①如圖2,當8M=CN時，試判斷重疊部分.的形狀，并說明理由；

②如圖3,當CM=CN時，求重疊部分四邊形OMCN的面積（結果保留根號）；

（3）拓展應用：若將任意一個銳角的頂點放在正方形中心。處，該銳角記為NGO”（設

NGOH=a）,將NGOH繞點。逆時針旋轉，在旋轉過程中，NGQ”的兩邊與正方形ABCQ

的邊所圍成的圖形的面積為邑，請直接寫出邑的最小值與最大值（分別用含々的式子表示）,

(參考數據：sinl5。：——，,cosl5o=#+、,tanl5o=2-G)

44

【答案】（1）i,i,S=；s

（2）①OMN是等邊三角形，理由見解析；②0-1

/、a，a

(3)tany,l-tanl450-y

2

【分析】（1）如圖1,若將三角板的頂點P放在點。處，在旋轉過程中