廣東省揭陽市榕城區(qū)空港經(jīng)濟(jì)區(qū)2024學(xué)年中考考前最后一卷數(shù)學(xué)試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）1．已知在一個不透明的口袋中有4個形狀、大小、材質(zhì)完全相同的球，其中1個紅色球，3個黃色球．從口袋中隨機(jī)取出一個球（不放回），接著再取出一個球，則取出的兩個都是黃色球的概率為（）A．34 B．23 C．92．在下列函數(shù)中，其圖象與x軸沒有交點(diǎn)的是（）A．y=2x B．y=﹣3x+1 C．y=x2 D．y=3．如圖，彈性小球從點(diǎn)P（0，1）出發(fā)，沿所示方向運(yùn)動，每當(dāng)小球碰到正方形OABC的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角，當(dāng)小球第1次碰到正方形的邊時的點(diǎn)為P1（2，0），第2次碰到正方形的邊時的點(diǎn)為P2，…，第n次碰到正方形的邊時的點(diǎn)為Pn，則點(diǎn)P2018的坐標(biāo)是（）A．（1，4） B．（4，3） C．（2，4） D．（4，1）4．如圖，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE＝∠EFC，AD∶BD＝5∶3，CF＝6，則DE的長為()A．6 B．8 C．10 D．125．已知拋物線的圖像與軸交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)），與軸交于點(diǎn).給出下列結(jié)論：①當(dāng)?shù)臈l件下，無論取何值，點(diǎn)是一個定點(diǎn)；②當(dāng)?shù)臈l件下，無論取何值，拋物線的對稱軸一定位于軸的左側(cè)；③的最小值不大于；④若，則.其中正確的結(jié)論有（）個.A．1個 B．2個 C．3個 D．4個6．中國古代在利用“計(jì)里畫方”（比例縮放和直角坐標(biāo)網(wǎng)格體系）的方法制作地圖時，會利用測桿、水準(zhǔn)儀和照板來測量距離．在如圖所示的測量距離AB的示意圖中，記照板“內(nèi)芯”的高度為EF，觀測者的眼睛（圖中用點(diǎn)C表示）與BF在同一水平線上，則下列結(jié)論中，正確的是（）A． B． C． D．7．下列等式正確的是（）A．x3﹣x2=x B．a(chǎn)3÷a3=aC． D．（﹣7）4÷（﹣7）2=﹣728．如圖，在△ABC中，BC=8，AB的中垂線交BC于D，AC的中垂線交BC于E，則△ADE的周長等于（）A．8 B．4 C．12 D．169．如圖，在矩形ABCD中AB＝，BC＝1，將矩形ABCD繞頂點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)得到矩形A'BC'D，點(diǎn)A恰好落在矩形ABCD的邊CD上，則AD掃過的部分（即陰影部分）面積為（）A． B． C． D．10．下列各數(shù)中，為無理數(shù)的是（）A． B． C． D．二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）11．如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(2，0)，點(diǎn)B(0，1)，過點(diǎn)A的直線l垂直于線段AB，點(diǎn)P是直線l上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PC⊥x軸，垂足為C，把△ACP沿AP翻折，使點(diǎn)C落在點(diǎn)D處，若以A，D，P為頂點(diǎn)的三角形與△ABP相似，則所有滿足此條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為___________________________．12．已知函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)值y隨x的增大而增大．13．使有意義的的取值范圍是__________．14．我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》卷七有下列問題：“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四．問人數(shù)、物價幾何？”意思是：現(xiàn)在有幾個人共同出錢去買件物品，如果每人出8錢，則剩余3錢；如果每人出7錢，則差4錢．問有多少人，物品的價格是多少？設(shè)有人，則可列方程為__________．15．圓錐的底面半徑為6㎝，母線長為10㎝，則圓錐的側(cè)面積為______cm216．π﹣3的絕對值是_____．17．一個扇形的圓心角為120°，弧長為2π米，則此扇形的半徑是_____米．三、解答題（共7小題，滿分69分）18．（10分）如圖，PB與⊙O相切于點(diǎn)B，過點(diǎn)B作OP的垂線BA，垂足為C，交⊙O于點(diǎn)A，連結(jié)PA，AO，AO的延長線交⊙O于點(diǎn)E，與PB的延長線交于點(diǎn)D．（1）求證：PA是⊙O的切線；（2）若tan∠BAD=，且OC=4，求BD的長．19．（5分）如圖，C是⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)P在直徑AB的延長線上，⊙O的半徑為3，PB=2，PC=1．（1）求證：PC是⊙O的切線．（2）求tan∠CAB的值．20．（8分）某商場計(jì)劃購進(jìn)一批甲、乙兩種玩具，已知一件甲種玩具的進(jìn)價與一件乙種玩具的進(jìn)價的和為40元，用90元購進(jìn)甲種玩具的件數(shù)與用150元購進(jìn)乙種玩具的件數(shù)相同．求每件甲種、乙種玩具的進(jìn)價分別是多少元？商場計(jì)劃購進(jìn)甲、乙兩種玩具共48件，其中甲種玩具的件數(shù)少于乙種玩具的件數(shù)，商場決定此次進(jìn)貨的總資金不超過1000元，求商場共有幾種進(jìn)貨方案？21．（10分）樓房AB后有一假山，其坡度為i=1：，山坡坡面上E點(diǎn)處有一休息亭，測得假山坡腳C與樓房水平距離BC=30米，與亭子距離CE=18米，小麗從樓房頂測得E點(diǎn)的俯角為45°，求樓房AB的高．（注：坡度i是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比）22．（10分）如圖，AC是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，連接PA、PB、AB、OP，已知PB是⊙O的切線．(1)求證：∠PBA=∠C；(2)若OP∥BC，且OP=9，⊙O的半徑為3，求BC的長．23．（12分）在等邊三角形ABC中，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，點(diǎn)Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ．求證：△ABP≌△CAQ；請判斷△APQ是什么形狀的三角形？試說明你的結(jié)論．24．（14分）如圖，Rt△ABC的兩直角邊AC邊長為4，BC邊長為3，它的內(nèi)切圓為⊙O，⊙O與邊AB、BC、AC分別相切于點(diǎn)D、E、F，延長CO交斜邊AB于點(diǎn)G.(1)求⊙O的半徑長；(2)求線段DG的長．

參考答案一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）1、D【解題分析】試題分析：列舉出所有情況，看取出的兩個都是黃色球的情況數(shù)占總情況數(shù)的多少即可.試題解析：畫樹狀圖如下：共有12種情況，取出2個都是黃色的情況數(shù)有6種，所以概率為12故選D.考點(diǎn)：列表法與樹狀法.2、D【解題分析】

依據(jù)一次函數(shù)的圖象，二次函數(shù)的圖象以及反比例函數(shù)的圖象進(jìn)行判斷即可．【題目詳解】A．正比例函數(shù)y=2x與x軸交于（0，0），不合題意；B．一次函數(shù)y=-3x+1與x軸交于（，0），不合題意；C．二次函數(shù)y=x2與x軸交于（0，0），不合題意；D．反比例函數(shù)y=與x軸沒有交點(diǎn)，符合題意；故選D．3、D【解題分析】

先根據(jù)反射角等于入射角先找出前幾個點(diǎn)，直至出現(xiàn)規(guī)律，然后再根據(jù)規(guī)律進(jìn)行求解.【題目詳解】由分析可得p(0,1）、、、、、、等，故該坐標(biāo)的循環(huán)周期為7則有則有，故是第2018次碰到正方形的點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，1）.【題目點(diǎn)撥】本題主要考察規(guī)律的探索，注意觀察規(guī)律是解題的關(guān)鍵.4、C【解題分析】∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，又∵∠ADE=∠EFC，∴∠B=∠EFC，△ADE∽△EFC，∴BD∥EF，，∴四邊形BFED是平行四邊形，∴BD=EF，∴，解得：DE=10.故選C.5、C【解題分析】

①利用拋物線兩點(diǎn)式方程進(jìn)行判斷；

②根據(jù)根的判別式來確定a的取值范圍，然后根據(jù)對稱軸方程進(jìn)行計(jì)算；

③利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式進(jìn)行解答；

④利用兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行解答．【題目詳解】①y=ax1+（1-a）x-1=（x-1）（ax+1）．則該拋物線恒過點(diǎn)A（1，0）．故①正確；

②∵y=ax1+（1-a）x-1（a＞0）的圖象與x軸有1個交點(diǎn)，

∴△=（1-a）1+8a=（a+1）1＞0，

∴a≠-1．

∴該拋物線的對稱軸為：x=，無法判定的正負(fù)．

故②不一定正確；

③根據(jù)拋物線與y軸交于（0，-1）可知，y的最小值不大于-1，故③正確；

④∵A（1，0），B（-，0），C（0，-1），

∴當(dāng)AB=AC時，，解得：a=,故④正確．

綜上所述，正確的結(jié)論有3個．

故選C．【題目點(diǎn)撥】考查了二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)及其性質(zhì)．（1）.拋物線是軸對稱圖形．對稱軸為直線x=-，對稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P；特別地，當(dāng)b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）；（1）.拋物線有一個頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為P(-b/1a，(4ac-b1)/4a)，當(dāng)-=0，〔即b=0〕時，P在y軸上；當(dāng)Δ=b1-4ac=0時，P在x軸上；（3）.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小；當(dāng)a>0時，拋物線開口向上；當(dāng)a<0時，拋物線開口向下；|a|越大，則拋物線的開口越小．（4）.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對稱軸的位置；當(dāng)a與b同號時（即ab>0），對稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號時（即ab<0），對稱軸在y軸右；（5）.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)；拋物線與y軸交于（0，c）；（6）.拋物線與x軸交點(diǎn)個數(shù)Δ=b1-4ac>0時，拋物線與x軸有1個交點(diǎn)；Δ=b1-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點(diǎn)；Δ=b1-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．X的取值是虛數(shù)（x=-b±√b1－4ac乘上虛數(shù)i，整個式子除以1a）；當(dāng)a>0時，函數(shù)在x=-b/1a處取得最小值f(-b/1a)=〔4ac-b1〕/4a；在{x|x<-b/1a}上是減函數(shù)，在{x|x>-b/1a}上是增函數(shù)；拋物線的開口向上；函數(shù)的值域是{y|y≥4ac-b1/4a}相反不變；當(dāng)b=0時，拋物線的對稱軸是y軸，這時，函數(shù)是偶函數(shù)，解析式變形為y=ax1+c(a≠0).6、B【解題分析】分析：由平行得出相似，由相似得出比例，即可作出判斷.詳解:∵EF∥AB,∴△CEF∽△CAB,∴,故選B.點(diǎn)睛：本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.7、C【解題分析】

直接利用同底數(shù)冪的乘除運(yùn)算法則以及有理數(shù)的乘方運(yùn)算法則分別計(jì)算得出答案．【題目詳解】解：A、x3-x2，無法計(jì)算，故此選項(xiàng)錯誤；B、a3÷a3=1，故此選項(xiàng)錯誤；C、（-2）2÷（-2）3=-，正確；D、（-7）4÷（-7）2=72，故此選項(xiàng)錯誤；故選C．【題目點(diǎn)撥】此題主要考查了同底數(shù)冪的乘除運(yùn)算以及有理數(shù)的乘方運(yùn)算，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．8、A【解題分析】

∵AB的中垂線交BC于D，AC的中垂線交BC于E，∴DA=DB，EA=EC，則△ADE的周長=AD+DE+AE=BD+DE+EC=BC=8，故選A．9、A【解題分析】

本題首先利用A點(diǎn)恰好落在邊CD上，可以求出A′C＝BC′＝1，又因?yàn)锳′B＝可以得出△A′BC為等腰直角三角形，即可以得出∠ABA′、∠DBD′的大小，然后將陰影部分利用切割法分為兩個部分來求，即面積ADA′和面積DA′D′【題目詳解】先連接BD,首先求得正方形ABCD的面積為，由分析可以求出∠ABA′＝∠DBD′＝45°，即可以求得扇形ABA′的面積為，扇形BDD′的面積為，面積ADA′＝面積ABCD－面積A′BC－扇形面積ABA′＝；面積DA′D′＝扇形面積BDD′－面積DBA′－面積BA′D′＝，陰影部分面積＝面積DA′D′+面積ADA′＝【題目點(diǎn)撥】熟練掌握面積的切割法和一些基本圖形的面積的求法是本題解題的關(guān)鍵.10、D【解題分析】A．=2，是有理數(shù)；B．=2，是有理數(shù)；C．，是有理數(shù)；D．，是無理數(shù)，故選D.二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）11、【解題分析】∵點(diǎn)A(2，0)，點(diǎn)B(0，1)，∴OA=2,OB=1,.∵l⊥AB,∴∠PAC＋OAB=90°.∵∠OBA+∠OAB=90°,∴∠OBA=∠PAC.∵∠AOB=∠ACP,∴△ABO∽△PAC,.設(shè)AC=m,PC=2m,.當(dāng)點(diǎn)P在x軸的上方時，由得,,,,PC=1,,由得,,∴m＝2,∴AC=2,PC=4,∴OC＝2+2=4,∴P（4,4）.當(dāng)點(diǎn)P在x軸的下方時，由得,,,,PC=1,,由得,,∴m＝2,∴AC=2,PC=4,∴OC＝2-2=0,∴P（0,4）.所以P點(diǎn)坐標(biāo)為或（4,4）或或（0,4）【題目點(diǎn)撥】本題考察了相似三角形的判定，相似三角形的性質(zhì)，平面直角坐標(biāo)系點(diǎn)的坐標(biāo)及分類討論的思想.在利用相似三角形的性質(zhì)列比例式時，要找好對應(yīng)邊，如果對應(yīng)邊不確定，要分類討論.因點(diǎn)P在x軸上方和下方得到的結(jié)果也不一樣，所以要分兩種情況求解.請?jiān)诖颂顚懕绢}解析!12、x≤﹣1．【解題分析】試題分析：∵=，a=﹣1＜0，拋物線開口向下，對稱軸為直線x=﹣1，∴當(dāng)x≤﹣1時，y隨x的增大而增大，故答案為x≤﹣1．考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)．13、【解題分析】

根據(jù)二次根式的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)求解即可.【題目詳解】由題意可得：，解得：.所以答案為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.14、【解題分析】

根據(jù)每人出8錢，則剩余3錢；如果每人出7錢，則差4錢，可以列出相應(yīng)的方程，本題得以解決【題目詳解】解：由題意可設(shè)有人,列出方程：故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查由實(shí)際問題抽象出一元一次方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程．15、60π【解題分析】

圓錐的側(cè)面積=π×底面半徑×母線長，把相應(yīng)數(shù)值代入即可求解．解：圓錐的側(cè)面積=π×6×10=60πcm1．16、π﹣1．【解題分析】

根據(jù)絕對值的性質(zhì)即可解答.【題目詳解】π﹣1的絕對值是π﹣1．故答案為π﹣1．【題目點(diǎn)撥】本題考查了絕對值的性質(zhì)，熟練運(yùn)用絕對值的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.17、1【解題分析】

根據(jù)弧長公式l＝nπr180，可得r＝【題目詳解】解：∵l＝nπr∴r＝180lnπ＝故答案為：1．【題目點(diǎn)撥】考查了弧長的計(jì)算，解答本題的關(guān)鍵是掌握弧長公式：l＝nπr180（弧長為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為三、解答題（共7小題，滿分69分）18、（1）證明見解析；（2）【解題分析】試題分析：（1）連接OB，由SSS證明△PAO≌△PBO，得出∠PAO=∠PBO=90°即可；（2）連接BE，證明△PAC∽△AOC，證出OC是△ABE的中位線，由三角形中位線定理得出BE=2OC，由△DBE∽△DPO可求出．試題解析：（1）連結(jié)OB，則OA=OB．如圖1，∵OP⊥AB，∴AC=BC，∴OP是AB的垂直平分線，∴PA=PB．在△PAO和△PBO中，∵，∴△PAO≌△PBO（SSS），∴∠PBO=∠PAO．∵PB為⊙O的切線，B為切點(diǎn)，∴∠PBO=90°，∴∠PAO=90°，即PA⊥OA，∴PA是⊙O的切線；（2）連結(jié)BE．如圖2，∵在Rt△AOC中，tan∠BAD=tan∠CAO=，且OC=4，∴AC=1，則BC=1．在Rt△APO中，∵AC⊥OP，∴△PAC∽△AOC，∴AC2=OC?PC，解得PC=9，∴OP=PC+OC=2．在Rt△PBC中，由勾股定理，得PB=，∵AC=BC，OA=OE，即OC為△ABE的中位線．∴OC=BE，OC∥BE，∴BE=2OC=3．∵BE∥OP，∴△DBE∽△DPO，∴，即，解得BD=．19、（1）見解析；（2）12【解題分析】

（1）連接OC、BC，根據(jù)題意可得OC2+PC2=OP2，即可證得OC⊥PC，由此可得出結(jié)論．（2）先根據(jù)題意證明出△PBC∽△PCA，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出邊的比值，由此可得出結(jié)論．【題目詳解】（1）如圖，連接OC、BC∵⊙O的半徑為3，PB=2∴OC=OB=3，OP=OB+PB=5∵PC=1∴OC2+PC2=OP2∴△OCP是直角三角形，∴OC⊥PC∴PC是⊙O的切線．（2）∵AB是直徑∴∠ACB=90°∴∠ACO+∠OCB=90°∵OC⊥PC∴∠BCP+∠OCB=90°∴∠BCP=∠ACO∵OA=OC∴∠A=∠ACO∴∠A=∠BCP在△PBC和△PCA中：∠BCP=∠A，∠P=∠P∴△PBC∽△PCA，∴∴tan∠CAB=【題目點(diǎn)撥】本題考查了切線與相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握切線的判定與相似三角形的判定與性質(zhì).20、（1）甲，乙兩種玩具分別是15元/件，1元/件；（2）共有四種方案．【解題分析】

（1）設(shè)甲種玩具進(jìn)價x元/件，則乙種玩具進(jìn)價為（40﹣x）元/件，根據(jù)已知一件甲種玩具的進(jìn)價與一件乙種玩具的進(jìn)價的和為40元，用90元購進(jìn)甲種玩具的件數(shù)與用150元購進(jìn)乙種玩具的件數(shù)相同可列方程求解．（2）設(shè)購進(jìn)甲種玩具y件，則購進(jìn)乙種玩具（48﹣y）件，根據(jù)甲種玩具的件數(shù)少于乙種玩具的件數(shù)，商場決定此次進(jìn)貨的總資金不超過1000元，可列出不等式組求解．【題目詳解】解：設(shè)甲種玩具進(jìn)價x元/件，則乙種玩具進(jìn)價為（40﹣x）元/件，x=15，經(jīng)檢驗(yàn)x=15是原方程的解．∴40﹣x=1．甲，乙兩種玩具分別是15元/件，1元/件；（2）設(shè)購進(jìn)甲種玩具y件，則購進(jìn)乙種玩具（48﹣y）件，，解得20≤y＜2．因?yàn)閥是整數(shù)，甲種玩具的件數(shù)少于乙種玩具的件數(shù)，∴y取20，21，22，23，共有4種方案．考點(diǎn)：分式方程的應(yīng)用；一元一次不等式組的應(yīng)用．21、（39+9）米．【解題分析】

過點(diǎn)E作EF⊥BC的延長線于F，EH⊥AB于點(diǎn)H，根據(jù)CE=20米，坡度為i=1：，分別求出EF、CF的長度，在Rt△AEH中求出AH，繼而可得樓房AB的高．【題目詳解】解：過點(diǎn)E作EF⊥BC的延長線于F，EH⊥AB于點(diǎn)H，在Rt△CEF中，∵=tan∠ECF，∴∠ECF=30°，∴EF=CE=10米，CF=10米，∴BH=EF=10米，HE=BF=BC+CF=（25+10）米，在Rt△AHE中，∵∠HAE=45°，∴AH=HE=（25+10）米，∴AB=AH+HB=（35+10）米．答：樓房AB的高為（35+10）米．【題目點(diǎn)撥】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題；坡度坡角問題，掌握概念正確計(jì)算是本題的解題關(guān)鍵．22、(1)證明見解析；(2)BC=1．【解題分析】

（1）連接OB，根據(jù)切線的性質(zhì)和圓周角定理求出∠PBO=∠ABC=90°，即可求出答案；

（2）求出△ABC∽△PBO，得出比例式，代入求出即可．【題目詳解】(1)連接OB，∵PB是⊙O的切線，∴PB⊥OB，∴∠PBA+∠OBA=90°，∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC=90°，∠C+∠BAC=90°，∵OA=OB，∴∠OBA=∠BAO，∴∠PBA=∠C；(2)∵⊙O的半徑是3，∴OB=3，AC=6，∵OP∥BC，∴∠BOP=∠OBC，∵OB=