大學數學實驗工程一矩陣運算與方程組求解實驗1行列式與矩陣實驗目的掌握矩陣的輸入方法.掌握利用Mathematica(4.0以上版本)對矩陣進行轉置、加、減、數乘、相乘、乘方等運算,并能求矩陣的逆矩陣和計算方陣的行列式.根本命令在Mathematica中,向量和矩陣是以表的形式給出的.1.表在形式上是用花括號括起來的假設干表達式,表達式之間用逗號隔開.如輸入{2,4,8,16}{x,x+1,y,Sqrt[2]}那么輸入了兩個向量.2.表的生成函數最簡單的數值表生成函數Range,其命令格式如下:Range[正整數n]—生成表{1,2,3,4,…,n};Range[m,n]—生成表{m,…,n};Range[m,n,dx]—生成表{m,…,n},步長為dx.(2)通用表的生成函數Table.例如,輸入命令Table[n^3,{n,1,20,2}]那么輸出{1,27,125,343,729,1331,2197,3375,4913,6859}輸入Table[x*y,{x,3},{y,3}]那么輸出{{1,2,3},{2,4,6},{3,6,9}}3.表作為向量和矩陣一層表在線性代數中表示向量,二層表表示矩陣.例如,矩陣可以用數表{{2,3},{4,5}}表示.輸入A={{2,3},{4,5}}那么輸出{{2,3},{4,5}}命令MatrixForm[A]把矩陣A顯示成通常的矩陣形式.例如,輸入命令:MatrixForm[A]那么輸出但要注意,一般地,MatrixForm[A]代表的矩陣A不能參與運算.輸入B={1,3,5,7}輸出為{1,3,5,7}輸入MatrixForm[B]輸出為雖然從這個形式看向量的矩陣形式是列向量,但實質上Mathematica不區分行向量與列向量.或者說在運算時按照需要,Mathematica自動地把向量當作行向量或列向量.下面是一個生成抽象矩陣的例子.輸入Table[a[i,j],{i,4},{j,3}]MatrixForm[%]那么輸出注:這個矩陣也可以用命令Array生成,如輸入Array[a,{4,3}]//MatrixForm那么輸出與上一命令相同.4.命令IdentityMatrix[n]生成n階單位矩陣.例如,輸入IdentityMatrix[5]那么輸出一個5階單位矩陣(輸出略).5.命令DiagonalMatrix[…]生成n階對角矩陣.例如,輸入DiagonalMatrix[{b[1],b[2],b[3]}]那么輸出{{b[1],0,0},{0,b[2],0},{0,0,b[3]}}它是一個以b[1],b[2],b[3]為主對角線元素的3階對角矩陣.6.矩陣的線性運算:A+B表示矩陣A與B的加法;k*A表示數k與矩陣A的乘法;A.B或Dot[A,B]表示矩陣A與矩陣B的乘法.7.求矩陣A的轉置的命令:Transpose[A].8.求方陣A的n次冪的命令:MatrixPower[A,n].9.求方陣A的逆的命令:Inverse[A].10.求向量a與b的內積的命令:Dot[a,b].實驗舉例矩陣A的轉置函數Transpose[A]例1.1求矩陣的轉置.輸入ma={{1,3,5,1},{7,4,6,1},{2,2,3,4}};Transpose[ma]//MatrixForm輸出為如果輸入Transpose[{1,2,3}]輸出中提示命令有錯誤.由此可見,向量不區分行向量或列向量.矩陣線性運算例1.2設求輸入A={{3,4,5},{4,2,6}};B={{4,2,7},{1,9,2}};A+B//MatrixForm4B-2A//MatrixForm輸出為如果矩陣A的行數等于矩陣B的列數,那么可進行求AB的運算.系統中乘法運算符為“.〞,即用A.B求A與B的乘積,也可以用命令Dot[A,B]實現.對方陣A,可用MatrixPower[A,n]求其n次冪.例1.3設求矩陣ma與mb的乘積.輸入Clear[ma,mb];ma={{3,4,5,2},{4,2,6,3}};mb={{4,2,7},{1,9,2},{0,3,5},{8,4,1}};ma.mb//MatrixForm輸出為矩陣的乘法運算例1.4設求AB與并求輸入Clear[A,B];A={{4,2,7},{1,9,2},{0,3,5}};B={1,0,1};A.B輸出為{11,3,5}這是列向量B右乘矩陣A的結果.如果輸入B.A輸出為{4,5,12}這是行向量B左乘矩陣A的結果這里不需要先求B的轉置.求方陣A的三次方,輸入MatrixPower[A,3]//MatrixForm輸出為例1.5設求及輸入A={{1,1,1},{1,1,1},{1,2,3}}MatrixForm[A]B={{3,2,1},{0,4,1},{1,2,4}}MatrixForm[B]3A.B2A//MatrixFormTranspose[A].B//MatrixForm那么輸出及的運算結果分別為求方陣的逆例1.6設求輸入Clear[ma]ma={{2,1,3,2},{5,2,3,3},{0,1,4,6},{3,2,1,5}};Inverse[ma]//MatrixForm那么輸出注:如果輸入Inverse[ma//MatrixForm]那么得不到所要的結果,即求矩陣的逆時必須輸入矩陣的數表形式例1.7求矩陣的逆矩陣.解A={{7,12,8,24},{5,34,6,-8},{32,4,30,24},{-26,9,27,0}}MatrixForm[A]Inverse[A]//MatrixForm例1.8設求輸入Clear[A,B];A={{3,0,4,4},{2,1,3,3},{1,5,3,4},{1,2,1,5}};B={{0,3,2},{7,1,3},{1,3,3},{1,2,2}};Inverse[ma].B//MatrixForm輸出為對于線性方程組如果A是可逆矩陣,X,b是列向量,那么其解向量為例1.9解方程組輸入Clear[A,b];A={{3,2,1},{1,-1,3},{2,4,-4}};b={7,6,-2};Inverse[A].b輸出為{1,1,2}求方陣的行列式例1.10求行列式輸入Clear[A];A={{3,1,-1,2},{-5,1,3,-4},{2,0,1,-1},{1,-5,3,-3}};Det[A]輸出為40例1.11求輸入Clear[A,a,b,c,d];A={{a^2+1/a^2,a,1/a,1},{b^2+1/b^2,b,1/b,1},{c^2+1/c^2,c,1/c,1},{d^2+1/d^2,d,1/d,1}};Det[A]//Simplify那么輸出例1.12計算范德蒙行列式輸入Clear[x];Van=Table[x[j]^k,{k,0,4},{j,1,5}]//MatrixForm輸出為再輸入Det[van]那么輸出結果比擬復雜(項很多)假設改為輸入Det[van]//Simplify或Factor[Det[van]]那么有輸出(x[1]-x[2])(x[1]-x[3])(x[2]-x[3])(x[1]-x[4])(x[2]-x[4])(x[3]-x[4])(x[1]-x[5])(x[2]-x[5])(x[3]-x[5])(x[4]-x[5])例1.13設矩陣求輸入A={{3,7,2,6,4},{7,9,4,2,0},{11,5,6,9,3},{2,7,8,3,7},{5,7,9,0,6}}MatrixForm[A]Det[A]Tr[A]MatrixPower[A,3]//MatrixForm那么輸出分別為115923向量的內積向量內積的運算仍用“.〞表示,也可以用命令Dot實現例1.14求向量與的內積.輸入u={1,2,3};v={1,-1,0};u.v輸出為-1或者輸入Dot[u,v]所得結果相同.實驗習題1.設求及2.設求一般地(k是正整數).3.求的逆.4.設且求5.利用逆矩陣解線性方程組實驗2矩陣的秩與向量組的極大無關組實驗目的學習利用Mathematica求矩陣的秩,作矩陣的初等行變換;求向量組的秩與極大無關組.根本命令1.求矩陣M的所有可能的k階子式組成的矩陣的命令:Minors[M,k].2.把矩陣A化作行最簡形的命令:RowReduce[A].3.把數表1,數表2,…,合并成一個數表的命令:Join[list1,list2,…].例如輸入Join[{{1,0,1},{3,2,1}},{{1,5},{4,6}}]那么輸出{{1,0,1},{3,2,1},{1,5},{4,6}}實驗舉例求矩陣的秩例2.1設求矩陣M的秩.輸入Clear[M];M={{3,2,1,3,2},{2,1,3,1,3},{7,0,5,1,8}};Minors[M,2]那么輸出{{7,11,9,5,5,1,8,8,9,11},{14,22,18,10,10,2,16,16,18,22},{7,11,9,5,5,1,8,8,9,11}}可見矩陣M有不為0的二階子式.再輸入Minors[M,3]那么輸出{{0,0,0,0,0,0,0,0,0,0}}可見矩陣M的三階子式都為0.所以例2.2矩陣的秩等于2,求常數t的值.左上角的二階子式不等于0.三階子式應該都等于0.輸入Clear[M];M={{3,2,-1,-3},{2,-1,3,1},{7,0,t,-1}};Minors[M,3]輸出為{{35-7t,45-9t,-5+t}}當時,所有的三階子式都等于0.此時矩陣的秩等于2.例2.3求矩陣的行最簡形及其秩.輸入A={{6,1,1,7},{4,0,4,1},{1,2,9,0},{1,3,16,1},{2,4,22,3}}MatrixForm[A]RowReduce[A]//MatrixForm那么輸出矩陣A的行最簡形根據矩陣的行最簡形,便得矩陣的秩為3.矩陣的初等行變換命令RowfReduce[A]把矩陣A化作行最簡形.用初等行變換可以求矩陣的秩與矩陣的逆.例2.4設求矩陣A的秩.輸入Clear[A];A={{2,-3,8,2},{2,12,-2,12},{1,3,1,4}};RowReduce[A]//MatrixForm輸出為因此A的秩為2.例2.5用初等變換法求矩陣的逆矩陣.輸入A={{1,2,3},{2,2,1},{3,4,3}}MatrixForm[A]Transpose[Join[Transpose[A],IdentityMatrix[3]]]//MatrixFormRowReduce[%]//MatrixFormInverse[A]//MatrixForm那么輸出矩陣A的逆矩陣為向量組的秩矩陣的秩與它的行向量組,以及列向量組的秩相等,因此可以用命令RowReduce求向量組的秩.例2.6求向量組的秩.將向量寫作矩陣的行,輸入Clear[A];A={{1,2,-1,1},{0,-4,5,-2},{2,0,3,0}};RowReduce[A]//MatrixForm那么輸出這里有兩個非零行,矩陣的秩等于2.因此,它的行向量組的秩也等于2.例2.7向量組是否線性相關?輸入Clear[A];A={{1,1,2,3},{1,1,1,1},{1,3,4,5},{3,1,5,7}};RowReduce[A]//MatrixForm那么輸出向量組包含四個向量,而它的秩等于3,因此,這個向量組線性相關.例2.8向量組是否線性相關?輸入Clear[A];A={{2,2,7},{3,-1,2},{1,1,3}};RowReduce[A]//MatrixForm那么輸出向量組包含三個向量,而它的秩等于3,因此,這個向量組線性無關.向量組的極大無關組例2.9求向量組的極大無關組,并將其它向量用極大無關組線性表示.輸入Clear[A,B];A={{1,1,2,4},{0,3,1,2},{3,0,7,14},{1,1,2,0},{2,1,5,0}};B=Transpose[A];RowReduce[B]//MatrixForm那么輸出在行最簡形中有三個非零行,因此向量組的秩等于3.非零行的首元素位于第一、二、四列,因此是向量組的一個極大無關組.第三列的前兩個元素分別是3,1,于是第五列的前三個元素分別是于是向量組的等價可以證明:兩個向量組等價的充分必要條件是:以它們為行向量構成的矩陣的行最簡形具有相同的非零行,因此,還可以用命令RowReduce證明兩個向量組等價.例2.10設向量求證:向量組與等價.將向量分別寫作矩陣A,B的行向量,輸入Clear[A,B];A={{2,1,-1,3},{3,-2,1,-2}};B={{-5,8,-5,12},{4,-5,3,-7}};RowReduce[A]//MatrixFormRowReduce[B]//MatrixForm那么輸出與兩個行最簡形相同,因此兩個向量組等價.實驗習題1.求矩陣的秩.2.求t,使得矩陣的秩等于2.3.求向量組的秩.4.當t取何值時,向量組的秩最小?5.向量組是否線性相關?6.求向量組的最大線性無關組.并用極大無關組線性表示其它向量.7.設向量求證:向量組與等價.實驗3線性方程組實驗目的熟悉求解線性方程組的常用命令,能利用Mathematica命令各類求線性方程組的解.理解計算機求解的實用意義.根本命令1.命令NullSpace,給出齊次方程組的解空間的一個基.2.命令LinearSolve,給出非齊次線性方程組的一個特解.3.解一般方程或方程組的命令Solve見Mathematica入門.實驗舉例求齊次線性方程組的解空間設為矩陣,為維列向量,那么齊次線性方程組必定有解.假設矩陣的秩等于,那么只有零解;假設矩陣的秩小于,那么有非零解,且所有解構成一向量空間.命令NullSpace給出齊次線性方程組的解空間的一個基.例3.1求解線性方程組輸入Clear[A];A={{1,1,2,1},{3,2,1,2},{0,5,7,3},{2,3,5,1}};NullSpace[A]那么輸出{{2,1,2,3}}說明該齊次線性方程組的解空間是一維向量空間,且向量(2,1,2,3)是解空間的基.注:如果輸出為空集{},那么說明解空間的基是一個空集,該方程組只有零解.例3.2求解線性方程組輸入Clear[A];A={{1,1,2,-1},{3,-2,-3,2},{0,5,7,3},{2,-3,-5,-1}};Nullspace[A]輸出為{}因此解空間的基是一個空集,說明該線性方程組只有零解.例3.3向量組是否線性相關?根據定義,如果向量組線性相關,那么齊次線性方程組有非零解.輸入Clear[A,B];A={{1,1,2,3},{1,1,1,1},{1,3,4,5},{3,1,5,7}};B=Transpose[A];NullSpace[B]輸出為{{2,1,0,1}}說明向量組線性相關,且非齊次線性方程組的特解例3.4求線性方程組的特解.輸入Clear[A,b];A={{1,1,2,1},{3,2,1,2},{0,5,7,3},{2,3,5,1}};b={4,2,2,4}LinearSolve[A,b]輸出為{1,1,1,0}注:命令LinearSolve只給出線性方程組的一個特解.例3.5求線性方程組的特解.輸入Clear[A,b];A={{1,1,2,-1},{3,-2,-1,2},{0,5,7,3},{2,-3,-5,-1}};b={4,2,2,4}Linearsolve[A,b]輸出為Linearsolve::nosol:Linearequationencounteredwhichhasnosolution.說明該方程組無解.例3.6向量是否可以由向量，，線性表示?根據定義,如果向量可以由向量組線性相關,那么非齊次線性方程組有解.輸入Clear[A,B,b];A={{1,2,-3,1},{5,-5,12,11},{0,5,7,3},{1,-3,6,3}};B=Transpose[A];b={2,-1,3,4};Linearsolve[B,b]輸出為{,,0}說明可以由線性表示,且例3.7求出通過平面上三點(0,7),(1,6)和(2,9)的二次多項式并畫出其圖形.根據題設條件有輸入Clear[x];A={{0,0,1},{1,1,1},{4,2,1}}y={7,6,9}p=LinearSolve[A,y]Clear[a,b,c,r,s,t];{a,b,c}.{r,s,t}f[x_]=p.{x^2,x,1};Plot[f[x],{x,0,2},GridLines>Automatic,PlotRange>All];那么輸出的值為{2,3,7}并畫出二次多項式的圖形(略).非齊次線性方程組的通解用命令Solve求非齊次線性方程組的通解.例3.8求出通過平面上三點(0,0),(1,1),(-1,3)以及滿足的4次多項式解設那么有輸入Clear[a,b,c,d,e];q[x_]=a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e;eqs=[q[0]==0,q[1]==1,q[-1]==3,q’[-1]==20,q’[1]==9];{A,y}=LinearEquationsToMatrices[eqs,{a,b,c,d}];p=LinearSolve[A,y];f[x_]=p.{x^4,x^3,x^2,x,1};Plot[f[x],{x,-1,1},GridLines->Automatic,PlotRange->All];那么輸出所求多項式非齊次線性方程組的通解用命令solve求非齊次線性方程組的通解.例3.9解方程組輸入solve[{x-y+2z+w==1,2x-y+z+2w==3,x-z+w==2,3x-y+3w==5},{x,y,z,w}]輸出為{{x2-w+z,y1+3z}}即,.于是,非齊次線性方程組的特解為(2,1,0,0).對應的齊次線性方程組的根底解系為(1,3,1,0)與(-1,0,0,1).例3.10解方程組解法1用命令solve輸入solve[{x-2y+3z-4w==4,y-z+w==-3,x+3y+w==1,-7y+3z+3w==-3},{x,y,z,w}]輸出為{{x-8,y3,z6,w0}}即有唯一解,，，.解法2這個線性方程組中方程的個數等于未知數的個數,而且有唯一解,此解可以表示為.其中是線性方程組的系數矩陣,而是右邊常數向量.于是,可以用逆陣計算唯一解.輸入Clear[A,b,x];A={{1,-2,3,-4},{0,1,-1,1},{1,3,0,1},{0,-7,3,1}};b={4,-3,1,-3};x=Inverse[A].b輸出為{-8,3,6,0}解法3還可以用克拉默法計算這個線性方程組的唯一解.為計算各行列式,輸入未知數的系數向量,即系數矩陣的列向量.輸入Clear[a,b,c,d,e];a={1,0,1,0};b={-2,1,3,-7};c={3,-1,0,3};d={-4,1,1,1};e={4,-3,1,-3};Det[{e,b,c,d}]/Det[{a,b,c,d}]Det[{a,e,c,d}]/Det[{a,b,c,d}]Det[{a,b,e,d}]/Det[{a,b,c,d}]Det[{a,b,c,e}]/Det[{a,b,c,d}]輸出為-8360例3.10當為何值時,方程組無解、有唯一解、有無窮多解?當方程組有解時,求通解.先計算系數行列式,并求,使行列式等于0.輸入Clear[a];Det[{{a,1,1},{1,a,1},{1,1,a}}];Solve[%0,a]那么輸出{{a2},{a1},{a1}}當,時,方程組有唯一解.輸入Solve[{a*xyz1,xa*yz1,xya*z1},{x,y,z}]那么輸出{{xyz}}當2時,輸入Solve[{2x+y+z==1,x2y+z==1,x+y2z==1},{x,y,z}]那么輸出{}說明方程組無解.當=1時,輸入Solve[{x+y+z==1,x+y+z==1,x+y+z==1},{x,y,z}]那么輸出{{x1yz}}}說明有無窮多個解.非齊次線性方程組的特解為(1,0,0),對應的齊次線性方程組的根底解系為為(1,1,0)與(1,0,1).例3.11求非齊次線性方程組的通解.解法1輸入A={{2,1,1,1},{3,2,1,3},{1,4,3,5}};b={1,4,2};particular=LinearSolve[A,b]nullspacebasis=NullSpace[A]generalsolution=t*nullspacebasis[[1]]+k*nullspacebasis[[2]]+Flatten[particular]generalsolution//MatrixForm解法2輸入B={{2,1,1,1,1},{3,2,1,3,4},{1,4,3,5,2}}RowReduce[B]//MatrixForm根據增廣矩陣的行最簡形,易知方程組有無窮多解.其通解為(k,t為任意常數)實驗習題1.解方程組2.解方程組3.解方程組4.解方程組5.用三種方法求方程組的唯一解.6.當為何值時,方程組有唯一解、無解、有無窮多解?對后者求通解.實驗4交通流模型(綜合實驗)實驗目的利用線性代數中向量和矩陣的運算,線性方程組的求解等知識,建立交通流模型.掌握線性代數在交通規劃方面的應用.應用舉例假設某城市局部單行街